China Western Mathematical Olympiad 2007

Acute triangle, cevians forming a similar triangle, prove P is centroid

Let $P$ be an interior point of an acute-angled triangle $ABC$. The lines $AP$, $BP$, $CP$ meet $BC$, $CA$, $AB$ at $D$, $E$, $F$ respectively. Given that $△DEF\sim △ABC$. Prove that $P$ is the centroid of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Triangolo acuto, ceviani formando un triangolo simile, dimostrare P è centroid

$P$ sia un punto interno di un triangolo angolato acuto $ABC$. Le linee $AP$, $BP$, $CP$ incontrano rispettivamente $BC$, $CA$, $AB$ a $D$, $E$ e $F$. Dato che $△DEF\sim △ABC$. Provare che $P$ è il centroide di $△ABC$.

src_cn_cwmo_2007__Q01

Two circles, perpendicularity OD perp MN iff concyclicity of P,Q,M,N

Let $C$ and $D$ be two intersection points of circle $O_1$ and circle $O_2$. A line, passing through $D$, intersects circle $O_1$ at points $A$ and $B$ respectively. The points $P$ and $Q$ are on circle $O_2$ and circle $O_1$, respectively. The lines $PD$ and $AC$ intersect at $M$, and the lines $QD$ and $BC$ intersect at $N$. Suppose $O$ is the circumcenter of the triangle $ABC$, prove that $OD\perp MN$ if and only if $P$, $Q$, $M$, $N$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

*Due cerchi, perpendicolare OD per MN se conciclicità di P,Q,M,N *

I punti $C$ e $D$ siano due punti di intersezione del cerchio $O_1$ e del cerchio $O_2$. Una linea che attraversa $D$ incrocia il cerchio $O_1$ rispettivamente nei punti $A$ e $B$. I punti $P$ e $Q$ sono rispettivamente sul cerchio $O_2$ e sul cerchio $O_1$. Le linee $PD$ e $AC$ si incrociano a $M$, e le linee $QD$ e $BC$ si incrociano a $N$. Supponiamo che $O$ sia il centro circoncentrale del triangolo $ABC$, dimostriamo che $OD\perp MN$ se e solo se $P$, $Q$, $M$, $N$ sono conciclici.

src_cn_cwmo_2007__Q02

Prove sum-of-fractions inequality for reals summing to 3

Suppose $a$, $b$, $c$ are real numbers, with $a+b+c=3$. Prove that $\frac{1}{5a^2-4a+11}+\frac{1}{5b^2-4b+11}+\frac{1}{5c^2-4c+11}\le \frac{1}{4}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la disuguaglianza della somma delle frazioni per i valori reali che sommano a 3

Supponiamo che $a$, $b$, $c$ siano numeri reali, con $a+b+c=3$. Provare che $\frac{1}{5a^2-4a+11}+\frac{1}{5b^2-4b+11}+\frac{1}{5c^2-4c+11}\le \frac{1}{4}.$

src_cn_cwmo_2007__Q03

Interior point of triangle, integer p,q,r making weighted vector sum small

Let $O$ be an interior point of the triangle $ABC$. Prove that there exist positive integers $p$, $q$ and $r$, such that $\left|p\cdot \overrightarrow{OA}+q\cdot \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{OC}\right|<\frac{1}{2007}.$

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Punto interno del triangolo, numero intero p,q,r rendendo piccola la somma dei vettori ponderati

$O$ sia un punto interno del triangolo $ABC$. Prova che esistono integri positivi $p$, $q$ e $r$, in modo tale che $\left|p\cdot \overrightarrow{OA}+q\cdot \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{OC}\right|<\frac{1}{2007}.$

src_cn_cwmo_2007__Q04

Existence of triangle with integer sides: shortest side 2007, largest angle twice smallest

Is there a triangle with sides of integral length, such that the length of the shortest side is $2007$ and the largest angle is twice the smallest?

Topic: Geometria piana, Trigonometria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: No Fonte: apri libro PDF

Esistenza di triangolo con lati interi: lato più corto 2007, angolo più grande doppio più piccolo

C’è un triangolo con lati di lunghezza integrale, in modo che la lunghezza del lato più corto sia $2007$ e l’angolo più grande sia il doppio più piccolo?

Risposta: No src_cn_cwmo_2007__Q05

Find all positive integers x1,…,xs,y satisfying a given system of conditions

Find all positive integers $x_1,x_2,\dots ,x_s,y$ satisfying the following conditions $\{\begin{array}{ll}\lfloor x_i+x_j\rfloor =0,& 1\le i<j\le s,\\ \lfloor x\rfloor +1=x_k{y}^s.& \end{array}$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti gli integri positivi x1,…,xs,y che soddisfano un dato sistema di condizioni

Trovare tutti i numeri interi positivi $x_1,x_2,\dots ,x_s,y$ che soddisfano le seguenti condizioni $\{\begin{array}{ll}\lfloor x_i+x_j\rfloor =0,& 1\le i<j\le s,\\ \lfloor x\rfloor +1=x_k{y}^s.& \end{array}$

src_cn_cwmo_2007__Q06

Interior point P with DEF congruent to ABC implies P is centroid

Let $P$ be an interior point of the acute-angled triangle $ABC$. The lines $AP$, $BP$, $CP$ meet $BC$, $CA$, $AB$ at $D$, $E$, $F$ respectively. Given $△DEF\cong △ABC$. Prove that $P$ is the centroid of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Punto interno P con DEF congruente ad ABC implica P è centroid

$P$ sia un punto interno del triangolo a angolo acuto $ABC$. Le linee $AP$, $BP$, $CP$ incontrano rispettivamente $BC$, $CA$, $AB$ a $D$, $E$ e $F$. Con $△DEF\cong △ABC$. Provare che $P$ è il centroide di $△ABC$.

src_cn_cwmo_2007__Q07