China Western Mathematical Olympiad 2008

Prove a product-sum identity for a recursively defined sequence

A sequence of real numbers $a_1,a_2,\dots$ is defined by $a_1\ne 0,1$, $a_2=1-a_1$, $a_{n+1}=1-a_n(a_{n-1}\cdots a_1)$, $n=1,2,\dots$. Prove that for any positive integer $n$, $a_1{a}_2\cdots a_n\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\cdots +\frac{1}{a_1{a}_2\cdots a_n}\right)=1.$ (Posed by Li Shenghong)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Prove l’identità del prodotto-somma di una sequenza definita ricorrentemente

Una sequenza di numeri reali $a_1,a_2,\dots$ è definita da $a_1\ne 0,1$, $a_2=1-a_1$, $a_{n+1}=1-a_n(a_{n-1}\cdots a_1)$, $n=1,2,\dots$. Prove che per qualsiasi numero intero positivo $n$, $a_1{a}_2\cdots a_n\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\cdots +\frac{1}{a_1{a}_2\cdots a_n}\right)=1.$ (posato da Li Shenghong)

src_cn_cwmo_2008__Q01

In an isosceles triangle with inscribed circle, prove a concyclicity and a ratio relation involving points built from the incircle

In $△ABC$, $AB=AC$, the inscribed circle $I$ touches $BC$, $CA$ and $AB$ at points $D$, $E$ and $F$ respectively. $P$ is a point on arc $\widehat{EF}$ (not containing $D$). Line $BP$ intersects the circle $I$ at another point $Q$, and lines $EP$, $EQ$ meet line $BC$ at $M$, $N$ respectively. Prove that (1) $P$, $F$, $B$, $M$ are concyclic. (2) $\frac{EM}{EN}=\frac{BD}{BP}$. (Posed by Bian Hongping)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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In un triangolo con triangolo con cerchio inciso, dimostrare una conciclicità e una relazione di rapporto che coinvolgono punti costruiti dall’incircolo

In $△ABC$, $AB=AC$, il cerchio inciso $I$ tocca $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente ai punti $D$, $E$ e $F$. $P$ è un punto di arco $\widehat{EF}$ (non contenente $D$). La linea $BP$ interseca il cerchio $I$ in un altro punto $Q$ e le linee $EP$, $EQ$ incontrano la linea $BC$ rispettivamente a $M$ e $N$. Prove che (1) $P$, $F$, $B$, $M$ sono conciclici. (2) $\frac{EM}{EN}=\frac{BD}{BP}$. (Possibile da Bian Hongping)

src_cn_cwmo_2008__Q02

For m given positive integers, prove infinitely many n make a weighted power sum composite

Given an integer $m⩾2$ and $m$ positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_m$, prove that there exist infinitely many positive integers $n$ such that $a_1\cdot 1^n+a_2\cdot 2^n+\cdots +a_m\cdot m^n$ is composite. (Posed by Chen Yonggao)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

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Per m dati numeri interi positivi, dimostrare infinitamente molti n fare una potenza ponderata somma composta

Date un intero $m⩾2$ e un intero positivo $m$ $a_1,a_2,\dots ,a_m$, dimostrate che esistono infinitamente molti interi positivi $n$ in modo tale che $a_1\cdot 1^n+a_2\cdot 2^n+\cdots +a_m\cdot m^n$ sia composto. (Posato da Chen Yonggao)

src_cn_cwmo_2008__Q03

Determine boundedness conditions for a sequence defined by x_{n+1}=a x_n^n + b

Given an integer $n⩾2$, and two real numbers $a$, $b$ with $a>0$ and $b\ne 0$, the sequence $\{x_n\}$ is such that $x_1=b$ and $x_{n+1}=a{x}_n^n+b$, $n=1,2,\dots$. Prove that: (1) When $b<0$ and $n$ is even, the sequence $\{x_n\}$ is bounded if and only if $a{b}^{n-1}⩾2$; (2) When $b<0$ and $n$ is odd, or when $b>0$, the sequence $\{x_n\}$ is bounded if and only if $a{b}^{n-1}⩽\frac{(n-1{)}^{n-1}}{n^n}$. (Posed by Zhu Huawei and Fu Yunhao)

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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Determinare le condizioni di confine per una sequenza definita da x_{n+1}=a x_n^n + b

Data una cifra integrale $n⩾2$ e due numeri reali $a$, $b$ con $a>0$ e $b\ne 0$, la sequenza $\{x_n\}$ è tale che $x_1=b$ e $x_{n+1}=a{x}_n^n+b$, $n=1,2,\dots$. Prova che: (1) Quando $b<0$ e $n$ sono pari, la sequenza $\{x_n\}$ è delimitata se e solo se $a{b}^{n-1}⩾2$; (2) Quando $b<0$ e $n$ sono pari, o quando $b>0$, la sequenza $\{x_n\}$ è delimitata se e solo se $a{b}^{n-1}⩽\frac{(n-1{)}^{n-1}}{n^n}$. (Posato da Zhu Huawei e Fu Yunhao)

src_cn_cwmo_2008__Q04

Four frogs on a line jump by reflection over another frog; prove they cannot reach equal neighbor distances of 2008

Four frogs are positioned at four points on a straight line so that the distances between any two neighboring frogs are all equal to one unit of length. A frog may jump and reach a new point that is the reflection of its original position, by taking any one of the other three frogs as the reference point. Prove that there is no case where the distances between any two neighboring points, where the frogs stay, will equal to $2008$ units of length. (Posed by Liu Shixiong)

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

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Quattro rane in una linea saltano per riflessione su un’altra rane; dimostrano di non poter raggiungere distanze uguali alle vicine del 2008

Quattro rane sono posizionate in quattro punti su una linea retta in modo che le distanze tra due rane vicine siano tutte uguali a un’unità di lunghezza. Una rana può saltare e raggiungere un nuovo punto che riflette la sua posizione originale, prendendo come punto di riferimento una delle altre tre rane. Prove che non esiste un caso in cui le distanze tra due punti vicini, dove rimangono le rane, siano uguali a $2008$ unità di lunghezza. (Posato da Liu Shixiong)

src_cn_cwmo_2008__Q05

Maximize xyz subject to a symmetric radical constraint with x,y,z in (0,1)

Given $x$, $y$, $z\in (0,1)$ satisfying $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2$, find the maximum value of $xyz$. (Posed by Tang Lihua)

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{27}{64}$ Fonte: apri libro PDF

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Maximizzare xyz soggetto a una limitazione radicale simmetrica con x,y,z in (0,1)

Se $x$, $y$, $z\in (0,1)$ soddisfa $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2$, si trova il valore massimo di $xyz$. (Posato da Tang Lihua)

Risposta: $\frac{27}{64}$ src_cn_cwmo_2008__Q06

Find the greatest k allowing three k-element sets of distinct nonnegative integers with componentwise sums equal to n

For a given positive integer $n$, find the greatest positive integer $k$, such that there exist three sets of $k$ distinct nonnegative integers, $A=\{x_1,x_2,\dots ,x_k\}$, $B=\{y_1,y_2,\dots ,y_k\}$ and $C=\{z_1,z_2,\dots ,z_k\}$ with $x_i+y_i+z_i=n$ for any $1⩽i⩽k$. (Posed by Li Shenghong)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $k=\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor +1$ Fonte: apri libro PDF

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Ricerca la k più grande consentendo tre set di k-elementi di numeri interi non negativi distinti con somme di componenti uguali a n

Per un dato intero positivo $n$, trovare il più grande intero positivo $k$, in modo tale che esistano tre set di $k$ diversi interi non negativi, $A=\{x_1,x_2,\dots ,x_k\}$, $B=\{y_1,y_2,\dots ,y_k\}$ e $C=\{z_1,z_2,\dots ,z_k\}$ con $x_i+y_i+z_i=n$ per qualsiasi $1⩽i⩽k$. (Posato da Li Shenghong)

Risposta: $k=\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor +1$ src_cn_cwmo_2008__Q07

For an interior point of a regular n-gon, prove the sum of distances to the vertices is at least the sum to the opposite intersection points

Let $P$ be an interior point of a regular $n$-gon $A_1{A}_2\cdots A_n$, the lines $A_{i}P$ meet the regular $n$-gon $A_1{A}_2\cdots A_n$ at another point $B_i$, where $i=1,2,\dots ,n$. Prove that ${\sum }_{i=1}^{n}P{A}_i⩾{\sum }_{i=1}^{n}P{B}_i.$ (Posed by Feng Zhigang)

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Per un punto interno di un n-gon regolare, dimostrare che la somma delle distanze alle vertici è almeno la somma dei punti di intersezione opposti

Se $P$ è un punto interno di un normale $n$-gon $A_1{A}_2\cdots A_n$, le linee $A_{i}P$ incontrano il normale $n$-gon $A_1{A}_2\cdots A_n$ in un altro punto $B_i$, dove $i=1,2,\dots ,n$. Prove che ${\sum }_{i=1}^{n}P{A}_i⩾{\sum }_{i=1}^{n}P{B}_i.$ (Posato da Feng Zhigang)

src_cn_cwmo_2008__Q08