China Western Mathematical Olympiad 2009

Subset of reals closed under polynomial roots and coefficients

Let $M$ be a subset of $\mathbb{R}$ obtained by deleting finitely many real numbers from $\mathbb{R}$. Prove that for any given positive number $n$, there exists a polynomial $f(x)$ of degree $n$ such that all its coefficients and its $n$ real roots are in $M$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Sottoinsieme di reali chiusi sotto radici e coefficienti polinomici

$M$ sia un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ ottenuto eliminando finitamente molti numeri reali da $\mathbb{R}$. Prova che per un dato numero positivo $n$ esiste un polinomio $f(x)$ di grado $n$ tale che tutti i suoi coefficienti e le sue radici reali $n$ siano in $M$.

src_cn_cwmo_2009__Q01

Smallest set A containing all cyclic consecutive sums of n reals

Let $n\ge 3$ be any given integer. Determine the smallest positive integer $k$ for which there exists a set $A$ of $k$ real numbers and $n$ real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ which are distinct from each other such that $x_1+x_2,x_2+x_3,\dots ,x_{n-1}+x_n,x_n+x_1$ are all in the set $A$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 3 Fonte: apri libro PDF

Settito più piccolo A contenente tutte le somme cicliche consecutive di n reali

$n\ge 3$ sia un dato numero intero. Determinare il numero intero positivo $k$ più piccolo per il quale esiste un insieme $A$ di numeri reali $k$ e $n$ di numeri reali $x_1,x_2,\dots ,x_n$ che sono distinti l’uno dall’altro in modo tale che $x_1+x_2,x_2+x_3,\dots ,x_{n-1}+x_n,x_n+x_1$ siano tutti nel insieme $A$.

Risposta: 3 src_cn_cwmo_2009__Q02

Orthocenter line with AE=AF gives concyclic points P,A,E,F

Let $H$ be the orthocenter of an acute triangle $ABC$, and $D$ be the midpoint of the side $BC$. A line passing through the point $H$ meets the sides $AB$, $AC$ at the points $F$, $E$ respectively, such that $AE=AF$. The line $EF$ meets the circumcircle of $△ABC$ at the point $P$. Prove that $P$, $A$, $E$, $F$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Linea orthocentrica con AE=AF dà punti conciclici P,A,E,F

Che $H$ sia l’ortocentro di un triangolo acuto $ABC$, e $D$ sia il punto medio del lato $BC$. Una linea che attraversa il punto $H$ incontra i lati $AB$, $AC$ rispettivamente nei punti $F$ e $E$, in modo tale che $AE=AF$. La linea $EF$ incontra il circoncircolo di $△ABC$ al punto $P$. Provare che $P$, $A$, $E$, $F$ sono conciclici.

src_cn_cwmo_2009__Q03

Infinitely many n making 2^n+3^n-1 through 2^n+3^n-k all composite

Prove that for any given positive integer $k$, there exist infinitely many positive integers $n$ such that the numbers $2^n+3^n-1,2^n+3^n-2,\dots ,2^n+3^n-k$ are all composite.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Infinitamente molti n che rendono 2^n+3^n-1 fino a 2^n+3^n-k tutti composti

Prova che per un dato intero positivo $k$, esistono infinitamente molti interi positivi $n$ in modo che i numeri $2^n+3^n-1,2^n+3^n-2,\dots ,2^n+3^n-k$ siano tutti composti.

src_cn_cwmo_2009__Q04

Last two digits of x_2009 in sequence with x_0 in {5,7}

Let $x_n$ be a sequence such that $x_0\in \{5,7\}$, and $x_{n+1}\in \left\{\frac{1}{2}{x}_n,7x_n\right\}$ for $n=1,2,\dots$. Determine all possible cases of the last two digits of $x_{2009}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Induzione Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 07, 25, 43 Fonte: apri libro PDF

Le ultime due cifre di x_2009 in sequenza con x_0 in {5,7}

Se $x_n$ è una sequenza tale da $x_0\in \{5,7\}$ e $x_{n+1}\in \left\{\frac{1}{2}{x}_n,7x_n\right\}$ per $n=1,2,\dots$. Determinare tutti i possibili casi delle ultime due cifre di $x_{2009}$.

Risposta: 07, 25, 43 src_cn_cwmo_2009__Q05

AMN~ABC iff AD passes through circumcenter, via perpendiculars from A

Let $D$ be a point on the side $BC$ of an acute triangle $ABC$. The circle with diameter $BD$ meets the lines $AB$ and $AD$ respectively at the points $Y$ and $Q$, which are different from the points $B$ and $D$. The circle with diameter $CD$ meets the lines $AC$ and $AD$ respectively at the points $P$ and $X$, which are different from the points $C$ and $D$. Through the point $A$ draw two lines which are perpendicular to $PX$ and $QY$ with the feet of perpendicular $M$ and $N$ respectively. Prove that $△AMN\odot △ABC$ if and only if $AD$ passes through the circumcenter of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

AMN~ABC se l’AD passa attraverso il circondario, attraverso le perpendicolari da A

Il $D$ deve essere un punto sul lato $BC$ di un triangolo acuto $ABC$. Il cerchio di diametro $BD$ incontra rispettivamente le linee $AB$ e $AD$ nei punti $Y$ e $Q$, differenti dai punti $B$ e $D$. Il cerchio di diametro $CD$ incontra rispettivamente le linee $AC$ e $AD$ nei punti $P$ e $X$, differenti dai punti $C$ e $D$. Attraverso il punto $A$ disegnare due linee perpendicolari a $PX$ e $QY$ con i piedi perpendicolari $M$ e $N$ rispettivamente. Prove che $△AMN\odot △ABC$ se e solo se $AD$ passa attraverso il circondario di $△ABC$.

src_cn_cwmo_2009__Q06

Smallest number of students s>12 ensuring 3 share 4 identical correct answers

There are $s$ ($s>12$) students participating in a mathematics contest. The examination paper consists of 15 fill-in-the-blank questions. For each question, the score of a correct answer is 1 point, and no point will be awarded if the answer is wrong or left blank. After analyzing all the possible cases of score distributions of these $s$ students, one finds out that if the sum of total scores of any 12 students is not less than 16 points, then there are at least 3 students among these $s$ students who answer at least 4 identical questions correctly. Determine the smallest possible value of $s$.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 911 Fonte: apri libro PDF

Il minor numero di studenti s>12 assicurando che 3 condividano 4 risposte corrette identiche

Ci sono studenti $s$ ($s>12$) che partecipano a un concorso di matematica. Il documento di esame è composto da 15 domande complete. Per ogni domanda, il punteggio di una risposta corretta è di 1 punto e nessun punto verrà assegnato se la risposta è errata o lasciata in bianco. Dopo aver analizzato tutti i possibili casi di distribuzione dei punteggi di questi studenti $s$, si scopre che se la somma dei punteggi totali di qualsiasi 12 studenti non è inferiore a 16 punti, allora ci sono almeno 3 studenti tra questi studenti $s$ che rispondono correttamente ad almeno 4 domande identiche. Determinare il minimo valore possibile di $s$.

Risposta: 911 src_cn_cwmo_2009__Q07

Find smallest lambda(n) bounding |a_k| in terms of max(|a_1|,|a_n|)

Let $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($n\ge 3$) be real numbers satisfying $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$ and $2a_k\le a_{k-1}+a_{k+1}$ for $k=2,3,\dots ,n-1$. Determine the smallest $\lambda (n)$, such that for any $k\in \{1,2,\dots ,n\}$, one has $|a_k|\le \lambda (n)\cdot \max \{|a_1|,|a_n|\}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Telescoping, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{n+1}{n-1}$ Fonte: apri libro PDF

*Trovare la lambda più piccola con il limite.

$a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($n\ge 3$) siano numeri reali che soddisfino $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$ e $2a_k\le a_{k-1}+a_{k+1}$ per $k=2,3,\dots ,n-1$. Determinare il più piccolo $\lambda (n)$, in modo che per qualsiasi $k\in \{1,2,\dots ,n\}$ si abbia $|a_k|\le \lambda (n)\cdot \max \{|a_1|,|a_n|\}.$

Risposta: \frac{n+1}{n-1} src_cn_cwmo_2009__Q08