China Western Mathematical Olympiad 2010

Prove order of 2 modulo Fermat prime power

Suppose that $m$ and $k$ are non-negative integers, and $p=2^{2^m}+1$ is a prime number. Prove that

(a) $2^{2^{m+1}{p}^k}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^{k+1})$;

(b) $2^{m+1}{p}^k$ is the smallest positive integer $n$ satisfying the congruence equation $2^n\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^{k+1})$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ordine di prova di 2 modulo Fermat potenza primaria

Supponiamo che $m$ e $k$ siano integri non negativi, e $p=2^{2^m}+1$ sia un numero primo. Prove questo .

(a) $2^{2^{m+1}{p}^k}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^{k+1})$;

b) $2^{m+1}{p}^k$ è il numero intero positivo più piccolo $n$ che soddisfa l’equazione di congruenza $2^n\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^{k+1})$.

src_cn_cwmo_2010__Q01

Prove four points concyclic in circle with two tangents

As shown in Fig. 2.1, $AB$ is a diameter of a circle with center $O$. Let $C$ and $D$ be two different points on the circle on the same side of $AB$, and the lines tangent to the circle at points $C$ and $D$ meet at $F$. Lines $EF$ and $AB$ meet at $M$. Prove that $E$, $C$, $M$ and $D$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove quattro punti conciclici in cerchio con due tangenti

Come mostrato nella figura. 2.1, $AB$ è il diametro di un cerchio con centro $O$. Le linee tangenti al cerchio nei punti $C$ e $D$ si incontrano a $F$. Le linee $EF$ e $AB$ si incontrano a $M$. Prova che $E$, $C$, $M$ e $D$ sono conciclici.

src_cn_cwmo_2010__Q02

Find all n with n pairwise single-intersection k-subsets of {1,…,n}

Determine all possible values of positive integer $n$ such that there are $n$ different $k$-element subsets $A_1,A_2,\dots ,A_n$ of the set $\{1,2,\dots ,n\}$ with $|A_i\cap A_j|=1$ for all $1\le i<j\le n$ and $2\le k\le 3$.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i n con n sottoinsiemi di k di intersezione singola in coppia di {1,…,n}

Determinare tutti i possibili valori del numero intero positivo $n$ in modo che ci siano $n$ diversi $k$-sottotitoli $A_1,A_2,\dots ,A_n$ dell’insieme $\{1,2,\dots ,n\}$ con $|A_i\cap A_j|=1$ per tutti $1\le i<j\le n$ e $2\le k\le 3$.

src_cn_cwmo_2010__Q03

Prove upper bound on max product given three moment constraints

Let $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ be non-negative numbers satisfying the following conditions simultaneously:

(1) $\sum _{i=1}^n(a_i-b_i)=1$;

(2) $\sum _{i=1}^{n}i(a_i-b_i)=0$;

(3) $\sum _{i=1}^n{i}^2(a_i+b_i)\le 10$.

Prove that ${\max }_{1\le k\le n}{a}_k{b}_k\le \frac{10}{n^2}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove il limite superiore del prodotto massimo dato il limite di tre momenti

$a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ siano numeri non negativi che soddisfino contemporaneamente le seguenti condizioni:

(1) $\sum _{i=1}^n(a_i-b_i)=1$;

(2) $\sum _{i=1}^{n}i(a_i-b_i)=0$;

(3) $\sum _{i=1}^n{i}^2(a_i+b_i)\le 10$.

Prove che ${\max }_{1\le k\le n}{a}_k{b}_k\le \frac{10}{n^2}$.

src_cn_cwmo_2010__Q04

Find all k>1 for which linear recurrence sequence has repeated sum property

Let $k$ be an integer and $k>1$. Define a sequence $\{a_n\}$ as follows: $a_1=0$, $a_2=1$ and $a_{n+1}=k{a}_n+a_{n-1}$ for $n=1,2,\dots$ Determine, with proof, all possible $k$ such that there exist non-negative integers $\ell ,m$ ($\ell \ne m$) and positive integers $p,q$ such that $a_{\ell }+k{a}_p=a_m+k{a}_q$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: k=2 Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le k>1 per le quali la sequenza di ricorrenza lineare ha la proprietà della somma ripetuta

$k$ sia un numero intero e $k>1$. Definire una sequenza $\{a_n\}$ come segue: $a_1=0$, $a_2=1$ e $a_{n+1}=k{a}_n+a_{n-1}$ per $n=1,2,\dots$ Determinare, con la prova, tutti i possibili $k$ in modo che esistano integri non negativi $\ell ,m$ ($\ell \ne m$) e integri positivi $p,q$ in modo che $a_{\ell }+k{a}_p=a_m+k{a}_q$.

Risposta: k=2 src_cn_cwmo_2010__Q05

Prove GE = GH in right triangle with inscribed circle tangent configuration

As shown in Fig. 6.1, $△ABC$ is a right-angled triangle, $\angle C=90^{\circ }$. Draw a circle centered at $B$ with radius $BC$. Let $D$ be a point on the side $AC$, and $DE$ be tangent to the circle at $E$. The line through $C$ perpendicular to $AB$ meets line $DE$ extended at point $F$. Line $AF$ meets $DE$ at point $G$. The line through $A$ parallel to $BG$ meets $DE$ (extended) at $H$. Prove that $GE=GH$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove GE = GH in triangolo rettangolo con configurazione tangente a cerchio inscritta

Come mostrato nella figura. 6.1, $△ABC$ è un triangolo rettangolare, $\angle C=90^{\circ }$. Disegnare un cerchio centrato a $B$ con raggio $BC$. Il $D$ deve essere un punto sul lato $AC$ e $DE$ deve essere tangente al cerchio a $E$. La linea attraverso $C$ perpendicolare a $AB$ incontra la linea $DE$ estesa al punto $F$. La linea $AF$ incontra $DE$ al punto $G$. La linea attraverso $A$ parallela a $BG$ incontra $DE$ (estesa) a $H$. Provare che $GE=GH$.

src_cn_cwmo_2010__Q06

Find all n where every player is not out-performed in round-robin tournament

There are $n$ ($n\ge 3$) players in a table tennis tournament, in which any two players have a match. Player $A$ is called not out-performed by player $B$, if at least one of player $A$‘s losers is not a $B$‘s loser. Determine, with proof, all values of $n$ such that the following case could happen: after finishing all the matches, every player is not out-performed by any other player.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Trova tutte le n in cui ogni giocatore non è superato nel torneo di round-robin

Ci sono giocatori $n$ ($n\ge 3$) in un torneo di tennis da tavolo, in cui due giocatori hanno una partita. Il giocatore $A$ è chiamato non superato dal giocatore $B$, se almeno uno dei perdenti del giocatore $A$ non è un perdente di $B$. Determinare, con la prova, tutti i valori di $n$ in modo tale che possa verificarsi il seguente caso: dopo aver terminato tutte le partite, ogni giocatore non è superato da nessun altro giocatore.

src_cn_cwmo_2010__Q07