China Western Mathematical Olympiad 2011

Maximize a symmetric expression in x,y on (0,1)

Given that $0<x$, $y<1$, determine, with proof, the maximum value of $\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{8}$ Fonte: apri libro PDF

Maximizzare un’espressione simmetrica in x,y su (0,1)

Dato che $0<x$, $y<1$ determinano, con prova, il valore massimo di $\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$.

Risposta: \frac{1}{8} src_cn_cwmo_2011__Q01

Maximum size of subset of {1,…,2011} with divisibility chain property

Let $M\subseteq \{1,2,\dots ,2011\}$ be a subset satisfying the following condition. For any three elements in $M$, there exist two of them $a$ and $b$, such that $a\mid b$ or $b\mid a$. Determine, with proof, the maximum value of $|M|$, where $|M|$ denotes the number of elements of $M$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 21 Fonte: apri libro PDF

Grandezza massima del sottogruppo di {1,…,2011} con proprietà della catena di divisibilità

Se $M\subseteq \{1,2,\dots ,2011\}$ è un sottoinsieme che soddisfa la seguente condizione: Per tutti e tre gli elementi di $M$, esistono due di essi $a$ e $b$, quali $a\mid b$ o $b\mid a$. Determinare, con prova, il valore massimo di $|M|$, dove $|M|$ indica il numero di elementi di $M$.

Risposta: 21 src_cn_cwmo_2011__Q02

Arrange all subsets in a sequence and compute a sum involving subset sums

Let $n\ge 2$ be a given integer.

(1) Prove that one can arrange all the subsets of the set $\{1,2,\dots ,n\}$ as a sequence of subsets $A_1,A_2,\dots ,A_{2^n}$, such that $|A_{i+1}|=|A_i|+1$ or $|A_{i+1}|=|A_i|-1$, where $i=1,2,\dots ,2^n$ and $A_{2^n+1}=A_1$.

(2) Determine, with proof, all possible values of the sum $\sum _{i=1}^{2^n}(-1{)}^{|S|}S(A_i)$, where $S(A_i)=\sum _{x\in A_i}x$ and $S(\varnothing )=0$ for any subset sequence $A_1,A_2,\dots ,A_{2^n}$ satisfying the condition in (1).

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Induzione, Doppio conteggio, Invarianti Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 0 Fonte: apri libro PDF

Arrangere tutti i sottoinsiemi in una sequenza e calcolare una somma che coinvolga le somme del sottoinsieme

$n\ge 2$ sia un dato numero intero.

(1) Prove che tutti i sottogruppi del set $\{1,2,\dots ,n\}$ possono essere organizzati come una sequenza di sottogruppi $A_1,A_2,\dots ,A_{2^n}$, come $|A_{i+1}|=|A_i|+1$ o $|A_{i+1}|=|A_i|-1$, dove $i=1,2,\dots ,2^n$ e $A_{2^n+1}=A_1$.

(2) Determinare, con la prova, tutti i valori possibili della somma $\sum _{i=1}^{2^n}(-1{)}^{|S|}S(A_i)$, dove $S(A_i)=\sum _{x\in A_i}x$ e $S(\varnothing )=0$ per qualsiasi sequenza del sottogruppo $A_1,A_2,\dots ,A_{2^n}$ che soddisfi la condizione di (1).

Risposta: 0 src_cn_cwmo_2011__Q03

Circle with perpendicular chords, inner tangent circle; prove a tangency

As shown in the figure, $AB$ and $CD$ are two chords in the circle $\odot O$, meeting at point $E$, and $AB\perp CD$. $\odot I$ is tangent to $\odot O$ internally at point $F$, and is tangent to the chords $AB$ and $CD$ at points $G$ and $H$, respectively. $l$ is a line passing through $O$, meeting $AB$, $CD$ at points $P$, $Q$, respectively, such that $EP=EQ$. Line $l$ meets the line $EF$ at point $M$. Prove that the line through $M$ and parallel to the line $AB$ is tangent to the circle $\odot O$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circolo con accordi perpendicolari, circolo tangente interno; dimostrare una tangenza

Come mostrato nella figura, $AB$ e $CD$ sono due accordi nel cerchio $\odot O$, che si incontrano al punto $E$ e $AB\perp CD$. $\odot I$ è tangente a $\odot O$ internamente al punto $F$, ed è tangente agli accordi $AB$ e $CD$ rispettivamente ai punti $G$ e $H$. $l$ è una linea che attraversa $O$, che incontra $AB$, $CD$ rispettivamente nei punti $P$ e $Q$, in modo tale che $EP=EQ$. La linea $l$ incontra la linea $EF$ al punto $M$. Prove che la linea attraverso $M$ e parallela alla linea $AB$ è tangente al cerchio $\odot O$.

src_cn_cwmo_2011__Q04

Determine if odd n≥3 and n distinct primes exist with all consecutive products perfect squares

Determine, whether there is any odd integer $n\ge 3$ and $n$ distinct prime numbers $p_1,p_2,\dots ,p_n$, such that all $p_i\cdot p_{i+1}$ ($1\le i\le n$, and $p_{n+1}=p_1$) are perfect squares.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: No Fonte: apri libro PDF

Determine se esistono prime odd n ≥3 e n distinte con tutti i prodotti consecutivi a quadrati perfetti

Determinare se ci sono numeri interi unici $n\ge 3$ e $n$ distinti prime $p_1,p_2,\dots ,p_n$, in modo che tutti $p_i\cdot p_{i+1}$ ($1\le i\le n$ e $p_{n+1}=p_1$) siano quadrati perfetti.

Risposta: No src_cn_cwmo_2011__Q05

Find all integer pairs (a,b) with n | a^n + b^(n+1) for all n

Determine, with proof, all pairs $(a,b)$ of integers, such that for any positive integer $n$, one has $n\mid (a^n+b^{n+1})$. (posed by Chen Yonggao)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

*Trova tutte le coppie di numeri interi (a,b) con n. a^n + b^(n+1) per tutti n *

Determinare, con la prova, tutte le coppie $(a,b)$ di enti interi, in modo tale che per qualsiasi numero intero positivo $n$ si abbia $n\mid (a^n+b^{n+1})$. (Possibile da Chen Yonggao)

src_cn_cwmo_2011__Q06