China Western Mathematical Olympiad 2012

Find least positive integer m with 105 | 9^(p^2) - 29^p + m for all primes p > 3

Find the least positive integer $m$, such that for every prime number $p>3$, $105\mid 9^{p^2}-29^p+m.$ (posed by Yang Hu)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 20 Fonte: apri libro PDF

Trova il numero intero minimo positivo m con 105 √ 9^(p^2) - 29^p + m per tutti i numeri primi p > 3

Trova il numero intero meno positivo $m$, in modo che per ogni numero primo $p>3$, $105\mid 9^{p^2}-29^p+m.$ (posato da Yang Hu)

Risposta: 20 src_cn_cwmo_2012__Q01

Among any n vertices of a regular (2n-1)-gon, three form an isosceles triangle

Prove that: among any $n$ vertices of a regular $2n-1$ polygon ($n\ge 3$), there are three ones, which are the vertices of an isosceles triangle. (posed by Zou Jin)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

Tra le n vertici di un gono regolare (2n-1), tre formano un triangolo di pari dimensioni

Prove che: tra i vertici $n$ di un poligono regolare $2n-1$ ($n\ge 3$), ci sono tre, che sono i vertici di un triangolo di uguale occhio. (Posizionato da Zou Jin)

src_cn_cwmo_2012__Q02

Max number of subsets of an n-element set with pairwise intersection or containment

Let $E$ be a given set with $n$ elements. Suppose $A_1,A_2,\dots ,A_k$ are $k$ distinct non-empty subsets of $E$, with the property that: for any $1\le i<j\le k$, either $A_i\cap A_j=\varnothing$ or one includes the other (i.e., $A_i\subseteq A_j$, or $A_j\subseteq A_i$). Find the maximum value of $k$. (posed by Lang Guangqiong)

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 2n-1 Fonte: apri libro PDF

Nombre massimo di sottoinsiemi di un insieme di n elementi con intersezione o contenimento in coppia

$E$ sia un insieme dato con elementi $n$. Supponiamo che $A_1,A_2,\dots ,A_k$ siano $k$ sudinsiemi non vuoti distinti di $E$, con la proprietà che: per qualsiasi $1\le i<j\le k$, sia $A_i\cap A_j=\varnothing$ che uno include l’altro (cioè $A_i\subseteq A_j$, o $A_j\subseteq A_i$). Trova il valore massimo di $k$. (Posizionato da Lang Guangqiong)

Risposta: 2n-1 src_cn_cwmo_2012__Q03

Prove EF/B1C1 >= r/R for inner point P of acute triangle

Let $P$ be any inner point of an acute $△ABC$, $E$, $F$ be the projection points of $P$ onto lines $AC$, $AB$, respectively, and the extended lines of $BP$, $CP$ intersect the circumcircle of $△ABC$ at points $B_1\ne B$, $C_1\ne C$, respectively. Let $R$ and $r$ denote the radii of the circumcircle and incircle of $△ABC$, respectively. Prove that $\frac{EF}{B_1{C}_1}\ge \frac{r}{R}$, and equality holds if and only if $P$ is the incenter of $△ABC$. (posed by Li Qiusheng)

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove EF/B1C1 >= r/R per il punto interno P del triangolo acuto

Che $P$ sia qualsiasi punto interno di un $△ABC$ acuto, $E$, $F$ siano i punti di proiezione di $P$ su linee $AC$, $AB$, rispettivamente, e che le linee estese di $BP$, $CP$ incrociano il circoncircolo di $△ABC$ nei punti $B_1\ne B$ e $C_1\ne C$, rispettivamente. $R$ e $r$ indicano rispettivamente i radii del circoncircolo e dell’incircolo di $△ABC$. Dimostra che $\frac{EF}{B_1{C}_1}\ge \frac{r}{R}$, e l’uguaglianza vale se e solo se $P$ è l’incentro di $△ABC$. (Possibile da Li Qiusheng)

src_cn_cwmo_2012__Q04

Midpoint of OH lies on circumcircle of triangle ABC

Let $H$ and $O$ be the orthocenter and circumcenter of acute triangle $△ABC$, respectively ($A$, $H$, $O$ are non-collinear). Suppose $D$ is the projection of $A$ onto line $BC$, and the perpendicular bisector of the segment $HO$ meets line $BC$ at $E$. Prove that the midpoint $N$ of $OH$ is on the circumcircle of $△ABC$. (posed by Fang Zhiqiang)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Il punto medio di OH si trova sul circoncircolo del triangolo ABC

Che $H$ e $O$ siano rispettivamente l’ortocentro e il circumcentro del triangolo acuto $△ABC$ ($A$, $H$, $O$ non sono collineari). Supponiamo che $D$ sia la proiezione di $A$ sulla linea $BC$, e che il bisettore perpendicolare del segmento $HO$ incontra la linea $BC$ a $E$. Prove che il punto medio $N$ di $OH$ si trova sul circoncircolo di $△ABC$. (Posizionato da Fang Zhiqiang)

src_cn_cwmo_2012__Q05

Find integer k where sequence crosses 1

Sequence $\{a_n\}$ is defined by $a_0=\frac{1}{2}$, $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2012}{a}_n^2$, $n=0,1,2,\dots$. Find integer $k$ such that $a_k<1<a_{k+1}$. (posed by Bian Hongping)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2012 Fonte: apri libro PDF

Trova un intero k dove la sequenza attraversa 1

La sequenza $\{a_n\}$ è definita da $a_0=\frac{1}{2}$, $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2012}{a}_n^2$, $n=0,1,2,\dots$. Trova un numero intero $k$ tale da $a_k<1<a_{k+1}$. (Posizionato da Bian Hongping)

Risposta: 2012 src_cn_cwmo_2012__Q06

Find all n>=2 for which n×n grid can be flipped to all -1

Given an $n\times n$ grid, we call two cells in it adjacent if they have a common side. At the beginning, each cell is assigned number $+1$. An operation on the grid is defined as follows: one chooses a cell, and then changes the signs of every number in its adjacent cells (but not change the sign of the number in itself). Find all the integers $n\ge 2$, such that after a finite number of operations, all the numbers in the cells of the grid are changed to $-1$. (posed by Shen Huyue)

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Colorazione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le n>=2 per le quali n×n griglia può essere rovesciata a tutte -1

Data una griglia $n\times n$, chiamiamo due celle adiacenti se hanno un lato comune. All’inizio, ad ogni cella viene assegnato il numero $+1$. Un’operazione sulla griglia è definita come segue: si sceglie una cella, e poi si cambiano i segni di ogni numero nelle sue celle adiacenti (ma non si cambia il segno del numero in sé). Trova tutti i numeri interi $n\ge 2$, in modo che dopo un numero finito di operazioni, tutti i numeri nelle celle della griglia siano cambiati in $-1$. (Possibile da Shen Huyue)

src_cn_cwmo_2012__Q07

Find all primes p dividing n^(n+1)+(n+1)^n for infinitely many n

Find all the prime numbers $p$, for which there are infinitely many positive integers $n$, such that $p\mid n^{n+1}+(n+1{)}^n$. (posed by Chen Yonggao)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Trova tutti i numeri primi p dividendo n^(n+1)+(n+1)^n per infiniti n

Trova tutti i numeri primi $p$, per i quali ci sono infinitamente molti interi positivi $n$, come $p\mid n^{n+1}+(n+1{)}^n$. (Possibile da Chen Yonggao)

src_cn_cwmo_2012__Q08