China Western Mathematical Olympiad 2013

Count good sets of degree n; prove Fibonacci-type recurrence

A non-empty set $A\subseteq \{1,2,3,\dots ,n\}$ is called a good set of degree $n$ if $|A|\le {\min }_{a\in A}a$. Let $a_n$ denote the number of good sets of degree $n$. Prove that $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+1$ for any positive integer $n\ge 1$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Contare buoni set di grado n; dimostrare la ricorrenza di tipo Fibonacci

Un insieme non vuoto $A\subseteq \{1,2,3,\dots ,n\}$ è chiamato un buon insieme di gradi $n$ se $|A|\le {\min }_{a\in A}a$. $a_n$ indichi il numero di buoni gruppi di grado $n$. Prova che $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+1$ per qualsiasi numero intero positivo $n\ge 1$.

src_cn_cwmo_2013__Q01

Prove sum inequality for reals in [0,1]

Let $n$ be an integer, $n\ge 2$, and $x_1,x_2,\dots ,x_n\in [0,1]$. Prove that $3{\sum }_{1\le k<r\le n}k{x}_k{x}_r\le (n-1){\sum }_{k=1}^{n}k{x}_k.$ (posed by Guangjian)

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Sosteniamo la disuguaglianza della somma per i reali in [0,1]

$n$ sia un numero intero, $n\ge 2$ e $x_1,x_2,\dots ,x_n\in [0,1]$. Provare che $3{\sum }_{1\le k<r\le n}k{x}_k{x}_r\le (n-1){\sum }_{k=1}^{n}k{x}_k.$ (posato da Guangjian)

src_cn_cwmo_2013__Q02

Tangent lines to circle; prove CD = CE via angle bisectors

As shown in Fig. 6.1, $PA$, $PB$ are tangent to the circle with centre $O$ at $A$ and $B$, point $C$ (different from $A$, $B$) is on minor arc $AB$. The line $l$ through point $C$ and perpendicular to $PC$ meets the angle bisectors of $\angle AOC$ and $\angle BOC$ at points $D$ and $E$, respectively. Prove that $CD=CE$. (posed by He Yijie)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Line tangenti a cerchio; dimostrare CD = CE tramite bisettori angolari

Come mostrato nella figura. 6.1, $PA$, $PB$ sono tangenti al cerchio con il centro $O$ a $A$ e $B$, il punto $C$ (diverso da $A$, $B$) è su un arco minore $AB$. La linea $l$ attraverso il punto $C$ e perpendicolare a $PC$ incontra rispettivamente i bisettori angolari di $\angle AOC$ e $\angle BOC$ nei punti $D$ e $E$. Prova che $CD=CE$. (Possibile da He Yijie)

src_cn_cwmo_2013__Q03

Label sides and diagonals of regular n-gon with equal triangle sums

Label the sides of a regular $n$-gon clockwise with $1,2,\dots ,n$. Determine all integers $n$ ($n\ge 4$) satisfying the following two conditions:\n(1) no two intersecting diagonals in the $n$-gon are both selected, and the chosen $n-3$ non-crossing diagonals subdivide the $n$-gon into $n-2$ non-overlapping triangles;\n(2) each of the chosen $n-3$ diagonals is labeled with a positive integer, such that no two diagonals share the same label, and the sum of the labeled numbers on the three sides of each triangle is equal to the same value. (posed by Zou Jin)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Congruenze, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: all $n\ge 4$ with $n\not\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ Fonte: apri libro PDF

Lingue e diagonali di lato di n-gon regolare con somma triangolare uguale

Etichettare i lati di un normale $n$-gon in senso orario con $1,2,\dots ,n$. Determinare tutti i numeri interi $n$ ($n\ge 4$) che soddisfano le seguenti due condizioni:\n(1) non vengono selezionati entrambi due diagonali incrociati nel $n$-gon, e i diagonali non incrociati selezionati $n-3$ suddividono il $n$-gon in triangoli non sovrapposti $n-2$;\n(2) ciascuno dei diagonali selezionati $n-3$ è etichettato con un numero intero positivo, in modo che non ci siano due diagonali che condividano la stessa etichetta, e la somma dei numeri etichettati sui tre lati di ogni triangolo è uguale al valore. (Posizionato da Zou Jin)

Risposta: all $n\ge 4$ with $n\not\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ src_cn_cwmo_2013__Q04

Find all positive integers a dividing a^n - n^a by 2^n - n^2

Find all positive integers $a$ such that $(2^n-n^2)\mid (a^n-n^a)$ for all positive integers $n\ge 4$. (posed by Yang Mingliang)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $a=2$ or $a=4$ Fonte: apri libro PDF

Trovare tutti gli integri positivi a divisione a^n - n^a per 2^n - n^2

Trova tutti gli integri positivi $a$ in modo tale che $(2^n-n^2)\mid (a^n-n^a)$ per tutti gli integri positivi $n\ge 4$. (Posizionato da Yang Mingliang)

Risposta: $a=2$ or $a=4$ src_cn_cwmo_2013__Q05