Coppa/Gara di febbraio 2005

Quesito a risposta multipla febbraio 2005 n.1

Edoardo è andato in vacanza nella città di Altanbulat. Il suo aereo, all’andata, è partito da Milano alle 13:00 ed è arrivato ad Altanbulat alle 9:00 del giorno dopo (ora locale). Il volo di ritorno invece è partito da Altanbulat alle 9:00 ed è atterrato alle 15:00 dello stesso giorno a Milano (di nuovo, tutte le ore indicate sono secondo il fuso orario locale). Supponendo che i due viaggi abbiano avuto la stessa durata reale, quant’è la differenza di fuso orario tra l’Italia e Altanbulat?

(A) Meno di tre ore (B) più di tre ore, ma meno di sei (C) più di sei ore, ma meno di nove (D) più di nove ore (E) non è possibile determinarla.

Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Question with multiple replies from February 2005 No.1

Edward went on vacation to the city of Altanbulat. His plane, on its way, departed from Milan at 13:00 and arrived in Altanbulat at 9:00 the following day (local time). The return flight instead departed from Altanbulat at 9:00 and landed at 15:00 on the same day in Milan (again, all times indicated are according to the local time zone). Assuming that the two journeys had the same actual duration, what is the time zone difference between Italy and Altanbulat?

(A) Less than three hours (B) more than three hours, but less than six (C) more than six hours, but less than nine (D) more than nine hours (E) cannot be determined.

src_febbraio_2005__Q01

Quesito a risposta multipla febbraio 2005 n.2

$a$, $b$, $c$ sono tre numeri reali positivi tali che $a+b+c=1$. Quale delle seguenti condizioni è equivalente a imporre che $a$, $b$, $c$ siano le misure dei lati di un triangolo non degenere?

(A) $0<|b-a|<\frac{1}{2}$, $0<|c-b|<\frac{1}{2}$, $0<|c-a|<\frac{1}{2}$

(B) $a<\frac{1}{2}$, $b<\frac{1}{2}$, $c<\frac{1}{2}$

(C) $a+b<\frac{1}{2}$, $b+c<\frac{1}{2}$, $c+a<\frac{1}{2}$

(D) $a\le \frac{1}{3}$, $b\le \frac{1}{3}$, $c\le \frac{1}{3}$

(E) nessuna delle precedenti.

Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Question with multiple answers February 2005 No.2

$a$, $b$, $c$ are three positive real numbers such as $a+b+c=1$. Which of the following conditions is equivalent to requiring $a$, $b$, $c$ to be the dimensions of the sides of a non-degenerate triangle?

(A) $0<|b-a|<\frac{1}{2}$, $0<|c-b|<\frac{1}{2}$, $0<|c-a|<\frac{1}{2}$

(B) $a<\frac{1}{2}$, $b<\frac{1}{2}$, $c<\frac{1}{2}$

(C) $a+b<\frac{1}{2}$, $b+c<\frac{1}{2}$, $c+a<\frac{1}{2}$

(D) $a\le \frac{1}{3}$, $b\le \frac{1}{3}$, $c\le \frac{1}{3}$

**(E) ** none of the above.

src_febbraio_2005__Q02

Tre interi a,b,c misure dei lati di un triangolo non degenere

Cinque amici fanno, rispettivamente, le seguenti affermazioni:

• “Comunque si scelga uno di noi, gli altri 4 mentono”.
• “Comunque si scelga uno di noi, gli altri 4 dicono il vero”.
• “Comunque si scelga uno di noi, ce n’è un altro che dice il vero”.
• “C’è uno di noi tale che ogni altro dice il vero”.
• “C’è uno di noi tale che ogni altro mente”.

Quale delle seguenti affermazioni può essere dedotta dalle precedenti?

(A) Esattamente 1 dice il vero. (B) Esattamente 2 dicono il vero. (C) Esattamente 3 dicono il vero. (D) Esattamente 4 dicono il vero. (E) Non è possibile determinare il numero di coloro che dicono il vero.

Topic: Geometria piana Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

Three integers a,b,c measuring the sides of a non-degenerating triangle

Five friends each make the following statements: “Even if you choose one of us, the other four lie”. “Even if you choose one of us, the other four are telling the truth”. - “No matter who you choose, there’s someone else who tells the truth”. - “There’s one of us like everyone else is telling the truth”. - “One of us is like everyone else”.

Which of the following can be inferred from the foregoing?

**(A) ** Exactly 1 is telling the truth. **(B) ** Exactly 2 are telling the truth. Exactly 3 are telling the truth. Exactly four are telling the truth. **(E) ** It is not possible to determine the number of people who are telling the truth.

src_febbraio_2005__Q03

dado, tre regagli

Quanti sono i polinomi $p(x)$ di secondo grado, a coefficienti interi e con 2 radici intere, tali che $p(8)=17$? (Nota: ricordiamo che i numeri interi possono essere positivi, negativi o nulli.)

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) un numero finito maggiore di 3 (E) infiniti.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

dado, three gifts

How many polynomials $p(x)$ of second degree, with integer coefficients and with 2 integer roots, such as $p(8)=17$? (Note: remember that integers can be positive, negative or zero.)

**(A) ** 1 **(B) ** 2 **(C) ** 3 **(D) ** a finite number greater than 3 **(E) ** infinite.

src_febbraio_2005__Q04

supremo del parametro

$\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ sono due segmenti, entrambi lunghi 4, aventi il punto medio $M$ in comune e tali che $\widehat{BMD}=60°$. Indichiamo con $X$ l’insieme di tutti e soli i punti che distano al più 1 da almeno uno dei due segmenti. Quanto misura la superficie di $X$?

(A) $8-\frac{4}{3}\sqrt{3}$ (B) $16-\frac{8}{3}\sqrt{3}$ (C) $16-\frac{4}{3}\sqrt{3}+\pi$ (D) $16-\frac{8}{3}\sqrt{3}+2\pi$ (E) $8+2\pi$.

Topic: Geometria piana Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

• above the parameter *

$\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are two segments, both long 4, having the mean point $M$ in common and $\widehat{BMD}=60°$. We indicate with $X$ the sum of all but the points that are more than 1 away from at least one of the two segments. What is the surface area of $X$?

(A) $8-\frac{4}{3}\sqrt{3}$ (B) $16-\frac{8}{3}\sqrt{3}$ (C) $16-\frac{4}{3}\sqrt{3}+\pi$ (D) $16-\frac{8}{3}\sqrt{3}+2\pi$ (E) $8+2\pi$.

src_febbraio_2005__Q05

Festa con tre ragazze e tre ragazzi attorno a un tavolo rotondo

Durante una festa, tre ragazze e tre ragazzi si siedono casualmente ad un tavolo rotondo. Qual è la probabilità che non ci siano due persone dello stesso sesso sedute a fianco?

(A) $\frac{1}{6}$ (B) $\frac{1}{10}$ (C) $\frac{3}{20}$ (D) $\frac{1}{12}$ (E) $\frac{11}{36}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Party with three girls and three boys around a round table

At a party, three girls and three boys randomly sit at a round table. What are the odds that there aren’t two people of the same sex sitting next to each other?

(A) $\frac{1}{6}$ (B) $\frac{1}{10}$ (C) $\frac{3}{20}$ (D) $\frac{1}{12}$ (E) $\frac{11}{36}$.

src_febbraio_2005__Q06

Numero massimo di soluzioni di equazione con valore assoluto

Al variare del parametro reale $a$, qual è il numero massimo di soluzioni per l’equazione $||x-1|-4|+x=a$?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) può averne infinite.

Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2

Maximum number of solutions of the equation with absolute value

If the real parameter $a$ varies, what is the maximum number of solutions for the equation $||x-1|-4|+x=a$?

**(A) ** 1 **(B) ** 2 **(C) ** 3 **(D) ** 4 **(E) ** may have an infinite number of them.

src_febbraio_2005__Q07

massimo volume di tali parti del cubo

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (3,0);
  \coordinate (Bt) at (3,3);
  \coordinate (E) at (0,3);
  \coordinate (F) at (1.2,1.0);
  \coordinate (G) at (4.2,1.0);
  \coordinate (D) at (4.2,4.0);
  \coordinate (C) at (1.2,4.0);
  \draw (A)--(B)--(Bt)--(E)--cycle;
  \draw (E)--(Bt)--(D)--(C)--cycle;
  \draw (B)--(G)--(D);
  \draw[dashed] (A)--(F);
  \draw[dashed] (F)--(G);
  \draw[dashed] (F)--(C);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above left] at (C) {$C$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
  \node[left] at (E) {$E$};
  \node[right] at (G) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Dato un cubo di lato unitario (vedi figura), consideriamo il piano cui appartengono gli spigoli $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ e quello cui appartengono gli spigoli $\overline{AE}$ e $\overline{FD}$. Questi due piani tagliano il cubo in quattro parti. Qual è il massimo tra i volumi di tali parti?

(A) $\frac{1}{4}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{\sqrt{2}}{4}$ (D) $\frac{3}{8}$ (E) $\frac{1}{2}$.

(vedi figura)

Topic: Geometria solida Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3

maximum volume of such parts of the cube

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (3,0);
  \coordinate (Bt) at (3,3);
  \coordinate (E) at (0,3);
  \coordinate (F) at (1.2,1.0);
  \coordinate (G) at (4.2,1.0);
  \coordinate (D) at (4.2,4.0);
  \coordinate (C) at (1.2,4.0);
  \draw (A)--(B)--(Bt)--(E)--cycle;
  \draw (E)--(Bt)--(D)--(C)--cycle;
  \draw (B)--(G)--(D);
  \draw[dashed] (A)--(F);
  \draw[dashed] (F)--(G);
  \draw[dashed] (F)--(C);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above left] at (C) {$C$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
  \node[left] at (E) {$E$};
  \node[right] at (G) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Given a unit-side cube (see figure), consider the plane to which the $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ pins belong and the plane to which the $\overline{AE}$ and $\overline{FD}$ pins belong. These two planes cut the cube into four parts. What is the maximum volume of these parts?

(A) $\frac{1}{4}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{\sqrt{2}}{4}$ (D) $\frac{3}{8}$ (E) $\frac{1}{2}$.

(see figure)

src_febbraio_2005__Q08

Numeri reali a,b interi positivi e massimo del massimo

Alberto e Barbara giocano con un dado. Dopo un po’ si accorgono che il dado è truccato, e che il numero 1 esce più frequentemente degli altri 5 numeri (che invece restano equiprobabili). Decidono quindi che, quando esce 1, quel tiro è annullato e si tira di nuovo. Se si continua a lanciare il dado fino a quando non si ottengono 2 tiri validi, qual è la probabilità che la somma dei 2 numeri validi usciti sia 8?

(A) $\frac{3}{25}$ (B) $\frac{1}{6}$ (C) $\frac{1}{5}$ (D) $\frac{6}{25}$ (E) $\frac{1}{4}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3

Real numbers a,b positive integers and maximum of maximum

Alberto and Barbara are playing with a dice. After a while, they realize that the dice are tricked, and that the number 1 comes out more often than the other 5 numbers (which instead remain unlikely). So they decide that when it comes out 1, that shot is canceled and it’s fired again. If you keep rolling the dice until you get 2 valid rolls, what is the probability that the sum of the 2 valid rolls is 8?

(A) $\frac{3}{25}$ (B) $\frac{1}{6}$ (C) $\frac{1}{5}$ (D) $\frac{6}{25}$ (E) $\frac{1}{4}$.

src_febbraio_2005__Q09

gioco con gettoni, strategia vincente

Siano $a$, $b$ interi positivi primi tra loro. Qual è il massimo valore che può assumere il massimo comune divisore fra $(a+b{)}^2$ e $a-b$?

(A) 3 (B) 4 (C) 16 (D) 32 (E) può essere grande a piacere.

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3

It’s a game of chips, a winning strategy.

They are $a$, $b$ positive integers prime to each other. What is the maximum value that the maximum common divisor between $(a+b{)}^2$ and $a-b$ can assume?

**(A) ** 3 **(B) ** 4 **(C) ** 16 **(D) ** 32 **(E) ** may be large as desired.

src_febbraio_2005__Q10

Interi compresi tra 1 e 2005 con numero pari di divisori

Quanti sono gli interi compresi tra 1 e 2005 (inclusi) che hanno un numero dispari di cifre pari?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3

Interies between 1 and 2005 with equal number of divisors

How many integers between 1 and 2005 (included) have an odd number of even digits?

src_febbraio_2005__Q11

volume dei triangoli simili

$ABC$ è un triangolo con $AC=BC$ e $\widehat{ACB}<60°$. Siano $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ due punti sui lati $BC$ e $AC$ rispettivamente tali che $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=AB$. Sia $C^{\prime }$ l’intersezione di $\overline{A{A}^{\prime }}$ con $\overline{B{B}^{\prime }}$. Sapendo che $A{C}^{\prime }=A{B}^{\prime }$ e $B{C}^{\prime }=B{A}^{\prime }$, quanto vale l’ampiezza in gradi dell’angolo $\widehat{ACB}$?

Topic: Geometria piana Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3

volume of similar triangles

$ABC$ is a triangle with $AC=BC$ and $\widehat{ACB}<60°$. Two points on the sides of $A^{\prime }$ and $B^{\prime }$ and $AC$ are $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=AB$ respectively. Whether $C^{\prime }$ the intersection of $\overline{A{A}^{\prime }}$ with $\overline{B{B}^{\prime }}$. Knowing that $A{C}^{\prime }=A{B}^{\prime }$ and $B{C}^{\prime }=B{A}^{\prime }$, how much is the angle width in degrees $\widehat{ACB}$?

src_febbraio_2005__Q12

diagonale e ordinamento

Su una scacchiera $75\times 75$ le righe e le colonne sono numerate da 1 a 75. Chiara vuole mettere una pedina in tutte e sole le caselle che abbiano una coordinata pari e l’altra multipla di 3. Quante pedine disporrà in tutto sulla scacchiera?

Topic: Combinatoria Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3

diagonal and ordering

On a chessboard $75\times 75$ the rows and columns are numbered from 1 to 75. Clear wants to put a pad in every box that has an equal coordinate and the other multiple of 3. How many pawns will he have on the chessboard?

src_febbraio_2005__Q13

Differenze tra centri di entry e segmenti tangenti

Due circonferenze $C_1$ e $C_2$ di centri $A$ e $B$ sono tangenti esternamente in $T$. Sia $BD$ un segmento tangente a $C_1$ in $D$ e sia $TC$ il segmento tangente ad entrambe in $T$ con $C\in BD$. Se $AT$ è lungo 80 e $BT$ è lungo 90, qual è la lunghezza di $CD$?

Topic: Geometria piana Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3

Differences between entry centres and tangent segments

Two $C_1$ and $C_2$ centers $A$ and $B$ are tangent externally in $T$. either $BD$ a tangent segment to $C_1$ in $D$ and $TC$ the tangent segment to both in $T$ with $C\in BD$. If $AT$ is 80 and $BT$ is 90 length, what is the length of $CD$?

src_febbraio_2005__Q14

Coppie ordinate (x,y) di interi positivi e relazione x+y(x+y)=2005

Quante sono le coppie ordinate $(x,y)$ di interi positivi $x$ e $y$ che soddisfano la relazione $xy+5(x+y)=2005$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4

Ordered pairs (x,y) of positive integers and the ratio x+y(x+y) = 2005

How many ordered pairs of positive integers $(x,y)$ and $y$ satisfy the $xy+5(x+y)=2005$ relationship?

src_febbraio_2005__Q15

Quesito febbraio 2005 n.16

Sia $ABC$ un triangolo rettangolo in $A$, con $AB>AC$; sia $AH$ l’altezza relativa all’ipotenusa. Sulla retta $BC$ si prenda $D$ tale che $H$ sia punto medio di $BD$; sia poi $E$ il piede della perpendicolare condotta da $C$ ad $AD$. Dimostrare che $EH=AH$.

Topic: Combinatoria Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4

Question No 16 of the Committee on Budgets

Either $ABC$ a rectangular triangle in $A$, with $AB>AC$; or $AH$ the height relative to the hypotenuse. On the $BC$ straight $D$ shall be taken such that $H$ is the mean point of $BD$; and then $E$ the foot of the perpendicular led from $C$ to $AD$. Show that $EH=AH$.

src_febbraio_2005__Q16

Quesito febbraio 2005 n.17

Determinare tutte le coppie $(m,n)$ di numeri interi positivi $m$ e $n$ tali che

$\frac{3^m+3}{2^n+2^{n-1}}$

sia un numero intero.

Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4

Question No 17 of the Council in February 2005

Determine all pairs of positive integers $(m,n)$ and $n$ such that:

$\frac{3^m+3}{2^n+2^{n-1}}$

It’s a whole number.

src_febbraio_2005__Q17

per quali n vera

[problema non presente nel documento]

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.4

• for which n true*

[problem not present in the document]

src_febbraio_2005__Q18

Quesito febbraio 2005 n.19

[problema non presente nel documento]

Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.4

Question No 19 of the Committee on Budgets

[problem not present in the document]

src_febbraio_2005__Q19

Triangoli e angoli con due rette in un quadrato di lato dato

[problema non presente nel documento]

Topic: Geometria piana Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4

Triangles and angles with two lines in a given side square

[problem not present in the document]

src_febbraio_2005__Q20

Quesito febbraio 2005 n.21

[problema non presente nel documento]

Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4

Question No 21 of February 2005

[problem not present in the document]

src_febbraio_2005__Q21

Coppie (x,d) di interi positivi e relazione x+d(x+d)=2005

[problema non presente nel documento]

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4

Pairs (x,d) of positive integers and the ratio x+d(x+d) = 2005

[problem not present in the document]

src_febbraio_2005__Q22

rapporto delle aree

[problema non presente nel documento]

Topic: Geometria piana Area: Geometria Risposta: 36/350 (cioe 36 al numeratore della frazione ridotta) Fonte: apri PDF p.4

*area report *

[problem not present in the document]

Answer: 36/350 (cioe 36 al numeratore della frazione ridotta) src_febbraio_2005__Q23