Cifre 1 nella rappresentazione binaria di 255257*
Sia n = 255 · 257. Nella rappresentazione binaria di n quante sono le cifre uguali a 1? A 16 B 1 C 2 D 4 E 8 F 7
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Figure 1 in the binary representation of 255257*
Whether n = 255 · 257. In the binary representation of n, how many digits are equal to 1? A 16 B 1 C 2 D 4 E 8 F 7
Answer: A src_garaprime_2017__Q01
Resto di un repunit binario di 2017 cifre diviso 16
Sia n il numero la cui rappresentazione binaria è di 2017 cifre tutte uguali a 1. Qual è (in base 10) il resto che si ottiene dividendo n per 16? A 15 B 1 C 3 D 7 E 12 F 0
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Remains of a 2017 binary repunit divided by 16 digits *
Both n and the number whose binary representation is 2017 are all digits equal to 1. What is (based on 10) the remainder you get by dividing n by 16? A 15 B 1 C 3 D 7 E 12 F 0
Answer: A src_garaprime_2017__Q02
Area di triangolo equilatero da quattro triangolini interni
Il triangolo ABC è equilatero. I quattro triangoli colorati di grigio nella figura sono pure equilateri e le loro aree sono 1, 4, 9 e 16. Qual è l’area di ABC? A B C 1 16 4 9 H K P Q R S figura 1 A 121 B 100 C 101 D 144 E 120 F non determinabile dai soli dati forniti
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Equilateral triangle area with four inner triangles
The ABC triangle is equilateral. The four grey triangles in the figure are also equilateral and their areas are 1, 4, 9 and 16. What’s the area of ABC? A B C 1 16 4 9 H K P Q R S Figure 1 A 121 B 100 C 101 D 144 E 120 F cannot be determined by the data provided alone
Answer: A src_garaprime_2017__Q03
Area grigia con archi in un rettangolo di area 1000
Il rettangolo ABCD ha area 1000. Inoltre l’arco MD ha centro in A, l’arco MC ha centro in B e l’arco CD ha centro in M. Quanto vale l’area colorata in grigio in figura? A B C D M figura 2 A 500 B 150π C 125 + 125π D 900 −125π E 450 F 625
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Grey area with arcs in a rectangle of area 1000
The ABCD rectangle has an area of 1000. In addition, the MD arc is centered in A, the MC arc is centered in B and the CD arc is centered in M. How much is the grey area in the figure? A B C D M is shown 2 A 500 B 150π C 125 + 125π D 900 −125π E 450 F 625
Answer: A src_garaprime_2017__Q04
Ordine di arrivo di tre auto con velocita medie
Tre auto, una bianca, una nera e una rossa compiono lo stesso percorso, partendo insieme. L’auto bianca per la prima metà del tempo impiegato viaggia a 60 Km/h, poi viaggia a 120 Km/h. L’auto nera per la prima metà dello spazio percorso a viaggia 60 Km/h, poi viaggia a 120 Km/h. L’auto rossa invece, per la prima metà dello spazio percorso a viaggia 80 Km/h, poi viaggia a 100 Km/h. In che ordine arrivano alla meta? A bianca, rossa, nera. B bianca, nera, rossa. C nera, bianca, rossa. D tutte insieme. E rossa, nera, bianca. F rossa, bianca, nera.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Orders for arrival of three cars with average speed
Three cars, one white, one black and one red, take the same route, starting together. The white car travels at 60 km/h for the first half of the time, then travels at 120 km/h. The black car travels 60 km/h for the first half of its journey, then travels at 120 km/h. The red car, on the other hand, travels 80 km/h for the first half of the journey, then travels at 100 km/h. In what order do they reach the goal? In white, red, black. B’s white, black, red. Black, white, red. All of them together. It’s red, black, white. Red, white, black.
Answer: A src_garaprime_2017__Q05
Perimetro minimo di rettangolo intero con area 12120
Un rettangolo ha area 12120 e lati di misura intera. Qual è il minimo valore del suo perimetro? A 442 B 440 C 444 D 446 E 448 F nessuna delle altre risposte è esatta
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Minimum perimeter of full rectangle with area 12120
A rectangle has an area of 12120 and sides of full size. What’s the minimum value of its perimeter? A 442 B 440 C 444 D 446 E 448 F None of the other answers are correct
Answer: A src_garaprime_2017__Q06
Conteggio di k con MCD e mcm invariati
Sono dati n = 7575 e m = 7755. In quanti modi posso scegliere l’intero positivo k in modo che MCD(m, n) = MCD(m, n, k) e mcm(m, n) = mcm(m, n, k)? A 16 B 12 C 2 D 181 E 163 F 36
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Count of k with unchanged MCD and mcm
That’s n = 7575 and m = 7755. How many ways can I choose the positive integer k so that MCD(m, n) = MCD(m, n, k) and mcm(m, n) = mcm(m, n, k)? A 16 B 12 C 2 D 181 E 163 F 36
Answer: A src_garaprime_2017__Q07
Cammino minimo riflesso verso la riva del mare
Sull’isola Kenoncè la spiaggia di RivaDritta è famosa perch´e la linea che separa la terra dal mare rimane prefettamente rettilinea per molti chilometri. Luca ha acceso un fuoco sulla spiaggia a distanza di 6 metri esatti dalla riva e poi si è addormentato mentre Claudia è andata a cercare altra legna. Ad un certo punto, mentre si trova esattamente a 39 metri in linea d’aria dal fuoco e a 21 metri dalla riva, Claudia vede che il fuoco potrebbe bruciare Luca e allora decide di correre verso un punto C della riva, prendere dell’acqua e andare di corsa a spegnere il fuoco. Qual è la lunghezza del tragitto che Claudia percorre di corsa, se sceglie C in modo che essa sia minima? A 45 m B 48 m C 42 m D 44 m E 50 m F 49 m
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Minimum reflected path to the seashore
On the island of Kenoncè, RivaDritta’s beach is famous because the line separating the land from the sea remains perfectly straight for many kilometres. Luca lit a fire on the beach just six feet from the shore and then fell asleep while Claudia went to look for more wood. At some point, while exactly 39 meters in the airline from the fire and 21 meters from the shore, Claudia sees that the fire could burn Luke and then decides to run to a C point on the shore, get some water and run to put out the fire. What is the length of the route Claudia runs, if she chooses C so that it is minimal? A 45 m B 48 m C 42 m D 44 m E 50 m F 49 m
Answer: A src_garaprime_2017__Q08
Somma minima delle aree accoppiando dieci segmenti
Ho dieci segmenti di lunghezze rispettivamente 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e voglio costruire 5 rettangoli, ciascuno avente per base e per altezza uno di tali segmenti. Se, alla fine, devo aver usato tutti i dieci segmenti, qual è il valore minimo che posso ottenere per la somma delle aree dei cinque rettangoli? A 110 B 96 C 120 D 119 E 90 F nessuna delle altre risposte è esatta
Topic: Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Minimum sum of areas matching ten segments
I have ten segments of lengths, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 respectively, and I want to build five rectangles, each having one of those segments for base and height. If, in the end, I have to have used all ten segments, what is the minimum value I can get for the sum of the areas of the five rectangles? A 110 B 96 C 120 D 119 E 90 F None of the other answers are correct
Answer: A src_garaprime_2017__Q09
PIN 41a9b divisibile per 312, prodotto ab*
Sappiamo che il PIN del bancomat di Claudia è un numero di 5 cifre della forma n = 41a9b, dove a e b indicano le cifre che non conosciamo. Sappiamo però che n è divisibile per 312. Quanto vale il prodotto a · b? A 24 B 36 C 12 D 10 E 64 F non determinabile dai soli dati forniti
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
PIN 41a9b divided by 312, produced ab*
We know that Claudia’s ATM PIN is a 5-digit number of the form n = 41a9b, where a and b indicate the numbers we don’t know. But we know that n is divisible by 312. How much is the product a · b? A 24 B 36 C 12 D 10 E 64 F not determined by the data provided alone
Answer: A src_garaprime_2017__Q10
Chi ha dati sufficienti a determinare il triangolo acutangolo
Di un triangolo acutangolo ABC sono note le misure delle altezze hA e hB, condotte rispettivamente dai vertici A e B. Inoltre Claudia conosce la misura del lato AC, Luca quella del lato AB e Raffaella quella dell’angolo interno bA, ma nessuno dei tre comunica l’informazione in suo possesso agli altri due. Chi dei tre ha dati sufficienti per determinare in modo univoco il triangolo? A tutti B solo Luca e Claudia C solo Raffaella e Claudia D solo Luca e Raffaella E solo Claudia F solo Luca
Topic: Geometria piana, Logica, giochi, strategie Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Who has sufficient data to determine the acutangol triangle
The height measurements hA and hB, carried out by vertices A and B respectively, are known from an acute triangle ABC. Furthermore, Claudia knows the measure of the AC side, Luke the measure of the AB side and Raffaella the measure of the internal angle bA, but none of the three communicates the information in his possession to the other two. Which of the three has enough data to uniquely determine the triangle? To all B only Luca and Claudia C only Raffaella and Claudia D only Luca and Raffaella E only Claudia F only Luca
Answer: A src_garaprime_2017__Q11
Somma delle cifre di MCD(4344,4368)
Sia M = MCD(4344, 4368). Quanto vale la somma delle cifre di M? A 6 B 8 C 9 D 15 E 3 F 7
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Summary of the MCD figures ((4344,4368) *
It is either M = MCD ((4344, 4368). How much is the sum of the digits of M? A 6 B 8 C 9 D 15 E 3 F 7
Answer: A src_garaprime_2017__Q12
Grado del polinomio da uguaglianza di gradi
Del polinomio non identicamente nullo p(x) sappiamo solo che sviluppando (p(x))3 e (x8 −x3) · p(x) si ottengono due polinomi dello stesso grado. Qual è questo grado? A 12 B 36 C 10 D 9 E 24 F non determinabile dai soli dati forniti
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Grade of the polynomial by degree equality
From the non-identically zero polynomial p(x) we only know that by developing (p(x))3 and (x8 −x3) · p(x) we get two polynomials of the same degree. What’s this grade? A 12 B 36 C 10 D 9 E 24 F not determined by the data provided alone
Answer: A src_garaprime_2017__Q13
Quanti quadrati perfetti dividono 16!
Sia N = 16!, cioè N = 16 · 15 · 14 · … · 3 · 2 · 1. Quanti sono i quadrati perfetti che dividono N? A 128 B 36 C 144 D 48 E 64 F 96
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
How many perfect squares divides 16?
Whether N = 16!, i.e. N = 16 · 15 · 14 · … · 3 · 2 · 1. How many perfect squares divide N? A 128 B 36 C 144 D 48 E 64 F 96
Answer: A src_garaprime_2017__Q14
Numero di rettangoli interi distinti con area 12600
Quanti sono i diversi rettangoli con lati interi e area 12600? A 36 B 27 C 12 D 48 E 30 F 92
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Number of distinct whole rectangles with area 12600
How many different rectangles with whole sides and area 12600? A 36 B 27 C 12 D 48 E 30 F 92
Answer: A src_garaprime_2017__Q15
cubo dei lati uguale quadrato diagonali
In un poligono regolare il cubo del numero dei lati è uguale al quadrato del numero delle diagonali. Qual è il numero dei lati? A 9 B 4 C 25 D 16 E 27 F non è univocamente determinato
Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
cube of sides equal to diagonal square
In a regular polygon the cube of the number of sides is equal to the square of the number of diagonals. What’s the number of sides? A 9 B 4 C 25 D 16 E 27 F is not uniquely determined
Answer: A src_garaprime_2017__Q16
Somma di 1965 e delle permutazioni delle sue cifre
Sommando il numero 1965 e tutti gli altri 23 numeri che si ottengono permutando le sue cifre, si ottiene una quantità M. Quanto vale M? A 139986 B 153318 C 126654 D 173316 E 113322 F 106656
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Sum of 1965 and permutations of its figures
Adding the number 1965 and all the other 23 numbers you get by swapping its digits, you get a quantity M. How much is M? A 139986 B 153318 C 126654 D 173316 E 113322 F 106656
Answer: A src_garaprime_2017__Q17
Media dei non partecipanti da media pesata
Sull’isola Kenoncè tutti gli studenti che quest’anno hanno terminato la scuola superiore hanno partecipato al test per l’ammissione all’università. Considerando l’intera popolazione scolastica, il punteggio medio al test è stato 11. Se però ci si restringe agli studenti che hanno partecipato alle gare di matematica, che sono il 25% del totale, il punteggio medio al test è stato molto più alto: ben 18 punti. Allora, indicando con p il punteggio medio degli studenti che NON hanno partecipato alle gare di matematica, si ha: A 8 ≤p < 9 B 10 ≤p < 11 C 9 ≤p < 10 D 7 ≤p < 8 E 6 ≤p < 7 F p < 6 1
Soluzioni Qui di seguito trovate le soluzioni in forma scritta. Alcune soluzioni in forma di video verranno successivamente pubblicate sul canale YouTube: problemisvolti.it
Topic: Probabilita e statistica Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Mean of non-participants by weighted average
On the island of Kenoncè, all students who finished high school this year took part in the university entrance test. Taking into account the entire school population, the average test score was 11. But if you narrow it down to students who took part in math competitions, which is 25% of the total, the average test score was much higher: 18 points. Then, indicating with p the average score of students who did not take part in mathematics competitions, you get: A 8 ≤p < 9 B 10 ≤p < 11 C 9 ≤p < 10 D 7 ≤p < 8 E 6 ≤p < 7 F p < 6 1
Solutions Below you will find the solutions in written form. Some of the solutions in the form of videos will later be published on the YouTube channel: problemisolti.it
Answer: A src_garaprime_2017__Q18