mcm di tre numeri 6^x10^y15^z
Quanto vale il minimo comune multiplo dei tre numeri a = 69 ·103 ·153, b = 63 · 109 · 153, e c = 63 · 103 · 159? A 66 · 106 · 156 B 69 · 109 · 159 C 68 · 108 · 158 D 67 · 107 · 157 E 65 · 105 · 155 F 64 · 104 · 154
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
mcm of three digits 6^x10^y15^z
What is the minimum common multiple of three numbers a = 69 · 103 · 153, b = 63 · 109 · 153, and c = 63 · 103 · 159? A 66 · 106 · 156 B 69 · 109 · 159 C 68 · 108 · 158 D 67 · 107 · 157 E 65 · 105 · 155 F 64 · 104 · 154
Answer: A src_garaprime_2020__Q01
Mosse minime per girare 11 monete a gruppi di 3
Ci sono 11 monete identiche (con Testa su una faccia e Croce sull’altra) sparse su un tavolo con il lato Testa rivolto verso l’alto. Stabiliamo che fare una mossa significa scegliere 3 monete distinte e invertirle, cioè ruotarle in modo che appoggino sul tavolo con la faccia che prima era rivolta verso l’alto. Quante mosse servono al minimo perch´e tutte le monete abbiano la Croce rivolta verso l’alto? A 5 B 4 C 6 D 7 E 11 F è impossibile
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Minimum movements for rolling 11 coins in groups of 3
There are 11 identical coins (with Head on one face and Cross on the other) scattered on a table with the side Head facing up. We establish that making a move means choosing 3 distinct coins and flipping them, that is, turning them so that they lean on the table with the face that was facing up. How many moves do you need at the very least for all the coins to have the cross facing up? A 5 B 4 C 6 D 7 E 11 F is impossible
Answer: A src_garaprime_2020__Q02
Minimo intero col quadrato divisibile per 504
Qual è il più piccolo intero positivo il cui quadrato è divisibile per 504? A 84 B 504 C 42 D 126 E 252 F nessuna delle altre risposte è esatta
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Interest minus the square divisible by 504
What’s the smallest positive integer whose square is divisible by 504? A 84 B 504 C 42 D 126 E 252 F None of the other answers is correct
Answer: A src_garaprime_2020__Q03
Numero di vertici di un dodecaedro regolare
Un dodecaedro regolare è un solido avente 12 facce, tutte uguali tra loro, a forma di pentagono regolare. Quanti sono i suoi vertici? A 20 B 60 C 30 D 12 E 36 F 48
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Number of vertices of a regular dodecahedron
A regular dodecahedron is a solid with 12 faces, all equal to each other, shaped like a regular pentagon. How many peaks do you have? A 20 B 60 C 30 D 12 E 36 F 48
Answer: A src_garaprime_2020__Q04
Quante volte coincidono lancette secondi e minuti
Nell’intervallo di tempo di 12 ore che va dalle 10:00:05 alle 22:00:05 quante volte capita che in un orologio la lancetta dei secondi e quella dei minuti puntino nella stessa direzione? A 708 B 720 C 719 D 660 E 600 F 590
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
How many times do seconds and minutes match
In the 12-hour time interval from 10:00:05 to 22:00:05 how many times does a clock’s second and minute hands point in the same direction? A 708 B 720 C 719 D 660 E 600 F 590
Answer: A src_garaprime_2020__Q05
Valore di una frazione complessa con potenze di 5
L’espressione 1 52 + 1 5 + 1 + 5 + 52 1 53 + 1 52 + 2 5 + 2 + 2 · 5 + 52 + 53 vale: A 5 26 B 5 24 C 25 126 D 25 124 E 25 121 F 25 129
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Value of a complex fraction with powers of 5
The expression 1 52 + 1 5 + 1 + 5 + 52 1 53 + 1 52 + 2 5 + 2 + 2 · 5 + 52 + 53 is A 5 26 B 5 24 C 25 126 D 25 124 E 25 121 F 25 129
Answer: A src_garaprime_2020__Q06
Termine 2020 di successione ricorsiva periodica
Della lista di 2020 numeri a1, a2, a3, … , a2020 sappiamo che i primi due sono a1 = 5 e a2 = 7. Sappiamo inoltre che, dal terzo in poi, ogni termine si ottiene facendo il quoziente tra quello che lo precede di una posizione e quello che lo precede di due posizioni, ovvero: a3 = a2/a1, a4 = a3/a2, a5 = a4/a3, ecc. Quanto vale a2020? A 1 5 B 1 7 C 7 5 D 5 7 E 5 F 7
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
This is the total amount of assigned revenue in accordance with Article 21 (3) of the Financial Regulation.
From the list of 2020 numbers a1, a2, a3, … , by 2020, we know that the first two are a1 = 5 and a2 = 7. We also know that, from the third onwards, each term is obtained by making the ratio between the one preceding it by a position and the one preceding it by two positions, i.e.: a3 = a2/a1, a4 = a3/a2, a5 = a4/a3, etc. How much is 2020 worth? A 1 5 B 1 7 C 7 5 D 5 7 E 5 F 7
Answer: A src_garaprime_2020__Q07
Minimo numero di calzini per 4 paia uguali
In un cesto ci sono 40 calzini: 10 gialli, 10 rossi, 10 verdi e 10 blu. Ne prendo un certo numero, senza guardare, e spero con essi di poter mettere insieme almeno 4 paia in cui entrambi i calzini abbiano lo stesso colore. Qual è il minimo numero di calzini da prendere per essere sicuri di poterlo fare? A 11 B 8 C 12 D 15 E 10 F nessuna delle altre risposte è esatta
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Minimum number of socks for 4 equal pairs
There are 40 socks in a basket: 10 yellow, 10 red, 10 green and 10 blue. I take a number of them without looking, and I hope with them I can put together at least four pairs in which both socks are the same color. What’s the minimum number of socks to take to make sure you can do it? A 11 B 8 C 12 D 15 E 10 F None of the other answers are correct
Answer: A src_garaprime_2020__Q08
Ottavo divisore in ordine decrescente di 646400
Se scriviamo in ordine decrescente la lista di tutti i divisori positivi di 646400 si ottiene: 646400, 323200, 161600, … , 5, 4, 2, 1 Qual è l’ottavo numero di tale lista? A 32320 B 40400 C 2525 D 16160 E 25856 F 5050
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Eighth divisor in descending order of 646400
If we write in descending order the list of all the positive divisors of 646400 we get: 646400, 323200, 161600, … , 5, 4, 2, 1 What is the eighth number on that list? A 32320 B 40400 C 2525 D 16160 E 25856 F 5050
Answer: A src_garaprime_2020__Q09
Percentuale di seggi del Partito della Pagnotta
Nell’isola Kenoncè è stato deciso il dimezzamento del numero di parlamentari. Le nuove elezioni tuttavia portano ad un parlamento che pur essendo la metà del precedente non è composto da persone nuove ma è un sottoinsieme del parlamento precedente. Tuttavia le proporzioni tra i due unici partiti politici dell’isola cambiano: solo 1 8 dei parlamentari del Partito della Lasagna viene riconfermato nel suo incarico, mentre il Partito della Pagnotta vede riconfermati ben 3 4 dei suoi parlamentari. Qual è, nel nuovo parlamento, la percentuale di seggi del Partito della Pagnotta? A 90% B 75% C 60% D 50% E 72% F non determinabile dai soli dati forniti
Topic: Algebra, Probabilita e statistica Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Percentage of seats in the Pagnotta Party
In Kenoncè, it was decided to halve the number of Members of Parliament. The new elections, however, lead to a parliament which, while half of the previous one, is not composed of new people but is a subset of the previous parliament. However, the proportions between the island’s only two political parties change: only 18 of the Lasagna Party’s MPs are confirmed in office, while the Pagnotta Party sees as many as 3 4 of its MPs confirmed. What is the percentage of seats in the new parliament for the Pagnotta Party? A 90% B 75% C 60% D 50% E 72% F cannot be determined by the data provided alone
Answer: A src_garaprime_2020__Q10
Perimetro del rettangolo tagliato in nove quadrati
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\draw (0,0) rectangle (12,10);
\foreach \x in {0,2,4,6,8,10} \draw (\x,8) rectangle (\x+2,10);
\draw (0,0) rectangle (8,8);
\draw (8,0) rectangle (12,4);
\draw (8,4) rectangle (12,8);
\end{tikzpicture}
\end{document}Un foglio di cartone rettangolare viene ritagliato in modo da ottenere esattamente nove pezzi, tutti quadrati: uno di area 64 cm2, due di area 16 cm2 e sei di area 4 cm2. Qual era il perimetro del rettangolo? A 44 cm B 46 cm C 52 cm D 62 cm E 68 cm F non determinabile dai soli dati forniti
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Perimeter of the rectangle cut into nine squares
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\draw (0,0) rectangle (12,10);
\foreach \x in {0,2,4,6,8,10} \draw (\x,8) rectangle (\x+2,10);
\draw (0,0) rectangle (8,8);
\draw (8,0) rectangle (12,4);
\draw (8,4) rectangle (12,8);
\end{tikzpicture}
\end{document}A rectangular sheet of cardboard is cut to produce exactly nine pieces, all square: one 64 cm2, two 16 cm2, and six 4 cm2. What was the perimeter of the rectangle? A 44 cm B 46 cm C 52 cm D 62 cm E 68 cm F not determined by the data provided alone
Answer: A src_garaprime_2020__Q11
Area del trapezio ABCD in un ottagono regolare
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\def\r{2}
\coordinate (A) at (-67.5:\r);
\coordinate (B) at (-22.5:\r);
\coordinate (C) at (22.5:\r);
\coordinate (D) at (67.5:\r);
\coordinate (E) at (112.5:\r);
\coordinate (F) at (157.5:\r);
\coordinate (G) at (202.5:\r);
\coordinate (H) at (247.5:\r);
\fill[gray!25] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(H)--cycle;
\draw (A)--(D);
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F,G,H} \fill (\p) circle (1.2pt);
\node[right] at (A) {$A$};
\node[right] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[above] at (D) {$D$};
\node[above] at (E) {$E$};
\node[left] at (F) {$F$};
\node[left] at (G) {$G$};
\node[left] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{document}L’ottagono regolare ABCDEFGH ha area 1440. Qual è l’area del trapezio ABCD? A 360 B 480 C 288 D 432 E 400 F 384
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Area of the ABCD trapezoid in a regular octagon
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\def\r{2}
\coordinate (A) at (-67.5:\r);
\coordinate (B) at (-22.5:\r);
\coordinate (C) at (22.5:\r);
\coordinate (D) at (67.5:\r);
\coordinate (E) at (112.5:\r);
\coordinate (F) at (157.5:\r);
\coordinate (G) at (202.5:\r);
\coordinate (H) at (247.5:\r);
\fill[gray!25] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(H)--cycle;
\draw (A)--(D);
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F,G,H} \fill (\p) circle (1.2pt);
\node[right] at (A) {$A$};
\node[right] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[above] at (D) {$D$};
\node[above] at (E) {$E$};
\node[left] at (F) {$F$};
\node[left] at (G) {$G$};
\node[left] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The ABCDEFGH area is 1440. What is the area of the trapezoid ABCD? A 360 B 480 C 288 D 432 E 400 F 384
Answer: A src_garaprime_2020__Q12
Mossa vincente nel gioco Dividi e Sostituisci
Claudia e Luca giocano a Dividi e Sostituisci. All’inizio sulla lavagna è scritto un intero positivo n. A turno, i due giocatori dividono il numero scritto sulla lavagna per una potenza di un numero primo in modo da ottenere un nuovo intero positivo m, più piccolo di n, che viene scritto alla lavagna al posto di n. Vince il primo che riesce ad ottenere 1. Ad un certo punto sulla lavagna c’è scritto 320000 e tocca a Claudia. Che mossa deve fare Claudia per essere sicura di poter forzare la vittoria, comunque giochi Luca? A dividere per 32 B dividere per 625 C dividere per 2 D dividere per 25 E c’è più di una mossa che permette a Claudia di vincere F qualunque mossa faccia Claudia, Luca riesce a vincere
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Winning move in the game Divide and Replace
Claudia and Luca play Dividi and Replace. At the beginning of the board is written a positive integer n. In turn, the two players divide the number written on the board by a power of a prime number so as to get a new positive integer m, smaller than n, which is written on the board instead of n. The first one to get 1 wins. At some point on the board, it says 320000 and it’s Claudia’s turn. What move does Claudia have to make to make sure she can force the win, anyway, you play Luca? A divided by 32 B divided by 625 C divided by 2 D divided by 25 E there’s more than one move that allows Claudia to win F. Whatever Claudia moves, Luke wins.
Answer: A src_garaprime_2020__Q13
Cifra delle decine di n^3 con n che termina per 5
Di un intero positivo n sappiamo che termina per 5 e che la cifra delle decine di n3 è dispari. Qual è la cifra delle decine di n3? A 7 B 1 C 3 D 5 E 9 F non univocamente determinata dai dati forniti
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Number of decimal places of n^3 with n ending in 5
Of a positive integer n we know that it ends with 5 and that the number of tens of n3 is odd. What’s the number of tens of n3? A 7 B 1 C 3 D 5 E 9 F not uniquely determined by the data provided
Answer: A src_garaprime_2020__Q14
Area della lunula del quadrato e cerchio circoscritto
Un quadrato ABCD ha il lato di 120 centimetri e γ è il suo cerchio circoscritto. Trovare l’area (espressa in cm2) della lunula che si ottiene togliendo a γ la sua intersezione con il cerchio di centro A e raggio AB. A 7200 B 2000π C 2400π D 8000 E 4800 F 1440π
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Area of the lunula of the square and circle *
An ABCD square has a side of 120 centimetres and γ is its circumscribed circle. Find the area (expressed in cm2) of the lunula which is obtained by taking at γ its intersection with the center circle A and radius AB. A 7200 B 2000π C 2400π D 8000 E 4800 F 1440π
Answer: A src_garaprime_2020__Q15
Divisori del prodotto mn dati i divisori e il MCD
Sappiamo che m ed n sono due interi positivi aventi rispettivamente 11 e 12 divisori positivi. Sapendo inoltre che il MCD(m, n) ha 4 divisori positivi, dire quanti sono i divisori positivi del prodotto mn. (Ricordare che tra i divisori di un numero vanno contati anche 1 e il numero stesso) A 42 B 33 C 36 D 52 E 143 F i dati sono insufficienti per rispondere
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
- Product dividers and data dividers and MCD*
We know that m and n are two positive integers with 11 and 12 positive divisors respectively. Knowing also that the MCD(m, n) has 4 positive divisors, say how many positive divisors of the product mn. (Remember that 1 and the number itself must also be counted among the divisors of a number) A 42 B 33 C 36 D 52 E 143 F the data are insufficient to answer
Answer: A src_garaprime_2020__Q16
Differenza aree max-min quadrato in un ottagono
Dato l’ottagono regolare P di area 1440, consideriamo il più grande quadrato contenuto in P e il più piccolo quadrato contenente P. Qual è la differenza tra le aree dei due quadrati? A 720 B 840 C 576 D 480 E 600 F 640
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Differential area max-min squared in an octagon
Given the regular octagon P of area 1440, consider the largest square containing P and the smallest square containing P. What’s the difference between the areas of the two squares? A 720 B 840 C 576 D 480 E 600 F 640
Answer: A src_garaprime_2020__Q17
Somma dei reciproci dei divisori di 6300
Qual è la somma dei reciproci di tutti i divisori positivi di 6300? (Si ricordi che tra i divisori vanno considerati anche 1 e 6300) A 806 225 B 784 225 C 902 225 D 1024 225 E 976 225 F 1102 225 1
Soluzioni Qui di seguito trovate le soluzioni in forma scritta. Alcune soluzioni in forma di video verranno successivamente pubblicate sul canale YouTube: problemisvolti.it
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
sum of the reciprocities of the 6300 dividers
What is the sum of the reciprocals of all the positive divisors of 6300? (Remember that dividers 1 and 6300 must also be considered) A 806 225 B 784 225 C 902 225 D 1024 225 E 976 225 F 1102 225 1
Solutions Below you will find the solutions in written form. Some of the solutions in the form of videos will later be published on the YouTube channel: problemisolti.it
Answer: A src_garaprime_2020__Q18