X Gara Nazionale Classi Prime 2025

Differenza aree tra mosaici romboidali riscalati

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
  \draw (3,6) rectangle (4,7);
  \draw (2,5) rectangle (3,6); \draw (3,5) rectangle (4,6); \draw (4,5) rectangle (5,6);
  \draw (1,4) rectangle (2,5); \draw (2,4) rectangle (3,5); \draw (3,4) rectangle (4,5); \draw (4,4) rectangle (5,5); \draw (5,4) rectangle (6,5);
  \draw (0,3) rectangle (1,4); \draw (1,3) rectangle (2,4); \draw (2,3) rectangle (3,4); \draw (3,3) rectangle (4,4); \draw (4,3) rectangle (5,4); \draw (5,3) rectangle (6,4); \draw (6,3) rectangle (7,4);
  \draw (1,2) rectangle (2,3); \draw (2,2) rectangle (3,3); \draw (3,2) rectangle (4,3); \draw (4,2) rectangle (5,3); \draw (5,2) rectangle (6,3);
  \draw (2,1) rectangle (3,2); \draw (3,1) rectangle (4,2); \draw (4,1) rectangle (5,2);
  \draw (3,0) rectangle (4,1);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Usando dei tasselli quadrati di lato 1 cm, Raffaella costruisce il mosaico mostrato in figura. Luca decide di farne uno che ha la stessa forma, ma con tasselli di lato 5 cm. Claudia, invece, ne costruisce uno usando ancora tasselli di lato 1 cm e mantenendo la stessa struttura romboidale di Raffaella, ma con le diagonali di 35 quadretti anzich´e di 7. Qual è la differenza, in cm2, tra le aree delle figure di Claudia e Luca?

• (A) 12
• (B) 0
• (C) 24
• (D) 25
• (E) 13

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1

Different areas between rising rhomboidal mosaics

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
  \draw (3,6) rectangle (4,7);
  \draw (2,5) rectangle (3,6); \draw (3,5) rectangle (4,6); \draw (4,5) rectangle (5,6);
  \draw (1,4) rectangle (2,5); \draw (2,4) rectangle (3,5); \draw (3,4) rectangle (4,5); \draw (4,4) rectangle (5,5); \draw (5,4) rectangle (6,5);
  \draw (0,3) rectangle (1,4); \draw (1,3) rectangle (2,4); \draw (2,3) rectangle (3,4); \draw (3,3) rectangle (4,4); \draw (4,3) rectangle (5,4); \draw (5,3) rectangle (6,4); \draw (6,3) rectangle (7,4);
  \draw (1,2) rectangle (2,3); \draw (2,2) rectangle (3,3); \draw (3,2) rectangle (4,3); \draw (4,2) rectangle (5,3); \draw (5,2) rectangle (6,3);
  \draw (2,1) rectangle (3,2); \draw (3,1) rectangle (4,2); \draw (4,1) rectangle (5,2);
  \draw (3,0) rectangle (4,1);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Using 1 cm square side-pieces, Raffaella builds the mosaic shown in the figure. Luca decides to make one that has the same shape, but with side braids of 5 cm. Claudia, on the other hand, builds one using still 1 cm side brackets and maintaining the same rhomboidal structure as Raffaella, but with the diagonal 35 squares instead of 7. What’s the difference, in cm2, between the areas of Claudia and Luca’s figures?

• (A) 12
• (B) 0
• (C) 24
• (D) 25
• (E) 13

Answer: A src_garaprime_2025__Q01

Massimo monete nel forziere fermandosi su totale pari

Hai 100 sacchetti: il primo contiene una moneta d’oro, il secondo ne contiene due, e così via, fino al centesimo che ne contiene 100. Puoi riempire il tuo forziere vuotando, uno dopo l’altro, alcuni sacchetti nel forziere, ma quando il numero di monete del tuo tesoro sarà pari e non nullo ti dovrai fermare. Quante monete, al massimo, potrai inserire nel forziere?

• (A) 5050
• (B) 3080
• (C) 2746
• (D) 2649
• (E) 2048

Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita, monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1

Most coins in the fortress stopping at total par

You have 100 bags: the first one contains a gold coin, the second one contains two, and so on, up to the penny that contains 100. You can fill your pocket by emptying, one by one, a few bags in the pocket, but when the number of coins in your treasure is equal and zero you will have to stop. How many coins, at most, can you put in the fortress?

• (A) 5050
• (B) 3080
• (C) 2746
• (D) 2649
• (E) 2048

Answer: C src_garaprime_2025__Q02

Area del triangolo MNC nel rettangolo di area 288

In un rettangolo ABCD di area 288 cm2, siano M ed N rispettivamente i punti medi dei lati AB e AD. Determinare l’area del triangolo MNC.

• (A) 108 cm2
• (B) 144 cm2
• (C) 96 cm2
• (D) 72 cm2
• (E) 192 cm2

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1

Area of the MNC triangle in the rectangle of area 288

In an ABCD rectangle with an area of 288 cm2, M and N respectively are the midpoints of the sides AB and AD. Determine the area of the MNC triangle.

• (A) 108 cm2
• (B) 144 cm2
• (C) 96 cm2
• (D) 72 cm2
• (E) 192 cm2

Answer: A src_garaprime_2025__Q03

Valore di x+y dato che la somma dei numeri vale 396

Cecilia, usando solo le cifre 2, 5, x, y, con x ̸= 0 ̸= y e tale che ciascuna delle quattro cifre sia diversa dalle altre, ha scritto alla lavagna tutti i possibili numeri interi di due cifre distinte. Se si vuole che la somma totale dei numeri scritti sia uguale a 396, quanto deve valere x + y?

• (A) 4
• (B) 5
• (C) 8
• (D) 9
• (E) 12

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1

Value of x+y given that the sum of the numbers is 396

Cecilia, using only the digits 2, 5, x, y, with x = 0 = y and such that each of the four digits is different from the others, wrote on the board all possible integers of two distinct digits. If you want the sum of all the numbers written to be equal to 396, how much does x + y have to be worth?

• (A) 4
• (B) 5
• (C) 8
• (D) 9
• (E) 12

Answer: B src_garaprime_2025__Q04

Quadretti non tagliati dalle diagonali di griglia 20x25

In una griglia rettangolare 20 × 25 vengono tracciate le due diagonali. Quanti quadretti della griglia non vengono tagliati, al loro interno, dalle diagonali?

• (A) 320
• (B) 326
• (C) 400
• (D) 418
• (E) 422

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1

*Figures not cut from 20x25 grid diagonal *

In a rectangular grid 20 × 25 the two diagonal lines are drawn. How many squares of the grid are not cut inside by the diagonals?

• (A) 320
• (B) 326
• (C) 400
• (D) 418
• (E) 422

Answer: E src_garaprime_2025__Q05

Massimo punti in cerchio a distanza almeno 1

Quanti punti si possono disegnare, al massimo, all’interno di un cerchio di area 4π cm2 (si può usare anche il bordo) in modo che ciascun punto disti almeno 1 cm da ciascuno degli altri punti?

• (A) 7
• (B) 10
• (C) 12
• (D) 16
• (E) 19

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

Maximum points in a circle at a distance of at least 1

How many points can be drawn, at most, within a circle of area 4π cm2 (the edge can also be used) so that each point is at least 1 cm away from each other?

• (A) 7
• (B) 10
• (C) 12
• (D) 16
• (E) 19

Answer: E src_garaprime_2025__Q06

Numeri di 6 cifre con 1 e 2 multipli di 3

Quanti numeri di 6 cifre che sono multipli di 3 posso scrivere utilizzando solo le cifre 1 e 2?

• (A) 2
• (B) 12
• (C) 22
• (D) 32
• (E) 64

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

6 digit numbers with 1 and 2 multiplied by 3

How many six-digit numbers that are multiples of three can I write using just the numbers 1 and 2?

• (A) 2
• (B) 12
• (C) 22
• (D) 32
• (E) 64

Answer: C src_garaprime_2025__Q07

Angolo BAC in catena di triangoli isosceli

Nell’immagine a fianco risulta AB = BC = CD = DE = EF. Sapendo che l’angolo $\widehat{DEF}$ misura 44°, l’ampiezza dell’angolo $\widehat{BAC}$ risulta: A B C D E F

• (A) 17°
• (B) 18°
• (C) 16°
• (D) 22°
• (E) 21°

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2

BAC angle in a chain of isosceles triangles

In the next image, AB = BC = CD = DE = EF. Knowing that the angle $\widehat{DEF}$ measures 44°, the width of the angle $\widehat{BAC}$ is:

• (A) 17°
• (B) 18°
• (C) 16°
• (D) 22°
• (E) 21°

Answer: A src_garaprime_2025__Q08

Numeri di tre cifre con la cifra 3 ma non la 4

Quanti sono i numeri interi di tre cifre (tra 100 e 999) che contengono la cifra 3 ma non la cifra 4?

• (A) 162
• (B) 200
• (C) 216
• (D) 243
• (E) 450

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Three-digit numbers with the digit 3 but not the digit 4

How many three-digit integers (between 100 and 999) contain the number 3 but not the number 4?

• (A) 162
• (B) 200
• (C) 216
• (D) 243
• (E) 450

Answer: B src_garaprime_2025__Q09

Massimo numeri della tombola con vincoli somma e prodotto

Prendo i 90 numeri della tombola e voglio metterne alcuni all’interno del sacchetto in modo che, se ne estraggo due qualsiasi tra questi, sono sicuro che la loro somma sarà minore o uguale a 25 e il loro prodotto sarà maggiore o uguale a 50. Quanti numeri, al massimo, posso scegliere?

• (A) 5
• (B) 7
• (C) 9
• (D) 11
• (E) 6

Topic: Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche, Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Maximum number of headings with sum and product constraints

I take the 90 numbers from the casing and I want to put some of them inside the bag so that if I take out two of any of these, I’m sure their sum will be less than or equal to 25 and their product will be greater than or equal to 50. How many numbers, at most, can I choose?

• (A) 5
• (B) 7
• (C) 9
• (D) 11
• (E) 6

Answer: B src_garaprime_2025__Q10

Interi n che soddisfano la catena di disuguaglianze

Quanti sono i numeri interi positivi n che soddisfano le disuguaglianze (15n)20 > n40 > 280 ?

• (A) 0
• (B) 10
• (C) 50
• (D) 100
• (E) infiniti

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Integrations satisfying the chain of inequalities

How many positive integers n satisfy the inequalities (15n) 20 > n40 > 280 ?

• (A) 0
• (B) 10
• (C) 50
• (D) 100
• (E) infinitesimal

Answer: B src_garaprime_2025__Q11

Prodotto xy dato (x+y)^2=100x+y=2025

I due numeri reali positivi x e y sono tali che (x + y)2 = 100x + y = 2025. Quanto vale il prodotto xy?

• (A) 250
• (B) 400
• (C) 450
• (D) 480
• (E) 500

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

Given product xy (x+y) ^2=100x+y=2025

The two positive real numbers x and y are such that (x + y) 2 = 100x + y = 2025. How much is product xy worth?

• (A) 250
• (B) 400
• (C) 450
• (D) 480
• (E) 500

Answer: E src_garaprime_2025__Q12

Area del parallelogramma dato il baricentro e area APO

Dato il parallelogramma ABCD, sia M il punto medio di BC, O il punto di incontro delle diagonali e P il punto di intersezione tra AM e BD. Sapendo che l’area di APO è 24 cm2, quanto vale l’area del parallelogramma ABCD?

• (A) 288 cm2
• (B) 240 cm2
• (C) 336 cm2
• (D) 192 cm2
• (E) 216 cm2

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2

Area of the parallelogram given the bearings and area APO

Given the parallelogram ABCD, either M is the middle point of BC, O is the meeting point of the diagonals and P is the intersection point between AM and BD. Knowing that the area of APO is 24 cm2, how much is the area of the ABCD parallelogram?

• (A) 288 cm2
• (B) 240 cm2
• (C) 336 cm2
• (D) 192 cm2
• (E) 216 cm2

Answer: A src_garaprime_2025__Q13

Studenti che amano la matematica (insiemi)

Tutti i 180 studenti delle classi prime di un liceo amano la matematica e/o la fisica. Il numero di allievi che amano solo la matematica è il doppio di quelli che amano solo la fisica; il 20% del totale ama entrambe le materie. Quanti sono gli studenti che amano la matematica?

• (A) 108
• (B) 144
• (C) 120
• (D) 132
• (E) 96

Topic: Insiemi e funzioni Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

*Students who love mathematics (totals) *

All 180 students in the first grade of high school love math and/or physics. The number of students who love only mathematics is twice as many as those who love only physics; 20% of the total love both subjects. How many students love math?

• (A) 108
• (B) 144
• (C) 120
• (D) 132
• (E) 96

Answer: D src_garaprime_2025__Q14

Valore di 3a+1/a dato 9a^2+1/a^2=19

Sapendo che 9a2 + 1 a2 = 19, con a numero reale positivo, quanto vale 3a + 1 a?

• (A) 5
• (B) √ 13
• (C) 13
• (D) √ 19
• (E) 9

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.2

Value of 3a+1/a given 9a^2+1/a^2=19

If we know that 9a2 plus 1a2 is 19, with a positive real number, how much is 3a plus 1a?

• (A) 5
• (B) √ 13
• (C) 13
• (D) √ 19
• (E) 9

Answer: A src_garaprime_2025__Q15

Massimo mcm di interi positivi con somma 10

La somma di alcuni numeri interi positivi è 10. Quanto vale al massimo il loro minimo comune multiplo?

• (A) meno di 16
• (B) tra 16 e 28
• (C) tra 29 e 39
• (D) tra 40 e 49
• (E) più di 49

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

*Maximum MC of positive integers with sum of 10 *

The sum of some positive integers is 10. What’s the maximum of their minimum common multiple?

• (A) less than 16
• (B) between 16 and 28
• (C) between 29 and 39
• (D) between 40 and 49
• (E) more than 49

Answer: C src_garaprime_2025__Q16

Base B minima con somma cifre invariata per 1257

Nell’usuale base 10, si consideri il numero 1257. Tale numero, in base B, è rappresentato dalla scrittura xyz, vale a dire 1257 = xB2 + yB + z. Qual è la base B più piccola per cui risulta x + y + z = 1 + 2 + 5 + 7?

• (A) 11
• (B) 12
• (C) 19
• (D) 24
• (E) 28

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

Minimum B basis with unchanged sum for 1257

In base 10, the number 1257 is considered. This number, based on B, is represented by the writing xyz, i.e. 1257 = xB2 + yB + z. Which is the smallest base B so x + y + z = 1 + 2 + 5 + 7?

• (A) 11
• (B) 12
• (C) 19
• (D) 24
• (E) 28

Answer: C src_garaprime_2025__Q17

Minimo fattore per rendere 18k potenza sesta*

Lisa vuole moltiplicare 18 per un numero, in modo che il risultato sia contemporaneamente un quadrato perfetto e un cubo perfetto. Qual è il più piccolo numero che può usare Lisa?

• (A) 12
• (B) 72
• (C) 1728
• (D) 2592
• (E) 46656 Test n. 1 Unione Matematica Italiana Progetto Olimpiadi della Matematica X Gara Nazionale per le Classi Prime Mercoledì 5 febbraio 2025 Nome: Cognome: Sesso: M F Data di nascita: Città: Scuola: La gara dura 2 ore e 30 minuti e consiste di 18 problemi. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere riportata, per ogni quesito, in questa pagina nella finestrella più in basso. Ogni risposta giusta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. Non sono ammesse cancellature sulla griglia. Non è ammesso l’uso di dispositivi elettronici, compasso e goniometro. I problemi non sono in ordine di difficoltà, ma permutati in modo casuale. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Test n. 2

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Minimum factor to make 18k power six*

Lisa wants to multiply 18 by a number, so the result is both a perfect square and a perfect cube. What’s the smallest number Lisa can use?

• (A) 12
• (B) 72
• (C) 1728
• (D) 2592
• (E) 46656 Test n. 1 Italian Mathematical Union Mathematical Olympiad Project X National Competition for the First Classes Wednesday 5 February 2025 Name: Cognome: Gender: M F Date of birth: City: School: The competition lasts 2 hours and 30 minutes and consists of 18 problems. Only one of the answers is correct. The letter corresponding to the correct answer shall be shown, for each question, on this page in the window at the bottom. Every right answer is worth 5 points, every wrong answer is worth 0 points, and every problem left unanswered is worth 1 point. Cancellations on the grid are not allowed. The use of electronic devices, compass and goniometer shall not be permitted. The problems are not in order of difficulty, but alternate randomly. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Test number 2

Answer: D src_garaprime_2025__Q18