Prodotto di tutti i divisori di 1024^3
La maestra Scaldasedia, per non fare lezione, assegna da fare in classe ai suoi alunni un calcolo che ritiene abbastanza lungo da riempire tutta l’ora: trovare il prodotto di tutti i divisori di 10243, compresi 1 e 10243. Con suo grande stupore, dopo pochi minuti, il suo alunno più bravo le porta la lavagnetta con il risultato corretto scritto sopra. Qual è il risultato?
- (A) 291
- (B) 2465
- (C) 2990
- (D) 2900
- (E) 2450
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
*Products of all 1024^3 dividers *
Teacher Scaldasedia, in order not to give a lesson, assigns her students to do a calculation in class that she thinks is long enough to fill in all the time: find the product of all the divisors of 10243, including 1 and 10243. To her great surprise, after a few minutes, her best student brings her the drawer with the correct result written on it. What is the result?
- (A) 291
- (B) 2465
- (C) 2990
- (D) 2900
- (E) 2450
Answer: B src_garaprime_2026__Q01
Somma di cinque consecutivi con prodotto 6720
Il prodotto di cinque numeri interi positivi consecutivi è 6720. Quanto vale la loro somma?
- (A) 20
- (B) 25
- (C) 30
- (D) 35
- (E) 40
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Summary of five consecutive products with product 6720
The product of five consecutive positive integers is 6720. How much is their sum?
- (A) 20
- (B) 25
- (C) 30
- (D) 35
- (E) 40
Answer: C src_garaprime_2026__Q02
Lati del poligono con angolo interno 11 volte l’esterno
In un poligono regolare l’angolo interno è undici volte quello esterno. Quanti lati ha il poligono?
- (A) 11
- (B) 12
- (C) 22
- (D) 24
- (E) Non esiste alcun poligono con questa proprietà
Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Sides of the polygon with an inner angle 11 times the outer angle
In a regular polygon the inner angle is eleven times the outer. How many sides does the polygon have?
- (A) 11
- (B) 12
- (C) 22
- (D) 24
- (E) There is no polygon with this property.
Answer: D src_garaprime_2026__Q03
Area dell’esagono dall’intersezione di due quadrati
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (C) at (2,2);
\coordinate (D) at (0,2);
\coordinate (E) at (1,1);
\coordinate (F) at (3,1);
\coordinate (G) at (3,3);
\coordinate (H) at (1,3);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\draw (E)--(F)--(G)--(H)--cycle;
\fill[black!12] (1,1)--(2,1)--(2,2)--(1,2)--cycle;
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F,G,H} \fill (\p) circle (1.6pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[below left] at (E) {$E$};
\node[below right] at (F) {$F$};
\node[above right] at (G) {$G$};
\node[above left] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Nel disegno, l’intersezione dei quadrati ABCD e EFGH, entrambi di area 12, è un quadrato di area 3. Quanto vale l’area dell’esagono ABFGHD?
- (A) 24
- (B) 36
- (C) 28
- (D) 22
- (E) 26
Topic: Geometria piana Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Area of the hexagon from the intersection of two squares
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (C) at (2,2);
\coordinate (D) at (0,2);
\coordinate (E) at (1,1);
\coordinate (F) at (3,1);
\coordinate (G) at (3,3);
\coordinate (H) at (1,3);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\draw (E)--(F)--(G)--(H)--cycle;
\fill[black!12] (1,1)--(2,1)--(2,2)--(1,2)--cycle;
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F,G,H} \fill (\p) circle (1.6pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[below left] at (E) {$E$};
\node[below right] at (F) {$F$};
\node[above right] at (G) {$G$};
\node[above left] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the drawing, the intersection of the squares ABCD and EFGH, both of area 12, is a square of area 3. What is the value of the ABFGHD axis?
- (A) 24
- (B) 36
- (C) 28
- (D) 22
- (E) 26
Answer: A src_garaprime_2026__Q04
Modi di suddividere un rettangolo in 4 triangoli di area 1
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (C) at (4,0);
\coordinate (D) at (4,2.6);
\coordinate (E) at (2,2.6);
\coordinate (F) at (0,2.6);
\draw (A)--(C)--(D)--(F)--cycle;
\draw (A)--(E)--(C);
\draw (B)--(E);
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F} \fill (\p) circle (1.6pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[above] at (E) {$E$};
\node[above left] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Dato il rettangolo ACDF, di area 4, siano B ed E rispettivamente i punti medi dei lati AC e DF. Si vuole suddividere il rettangolo in 4 triangoli di area 1, ciascuno dei quali abbia come vertici 3 dei punti A, B, C, D, E, F (come ad esempio i triangoli AEF, ABE, BCE, CDE mostrati nella figura qui accanto). In quanti modi si può fare?
- (A) 5
- (B) 6
- (C) 4
- (D) 8
- (E) 2
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Mode of dividing a rectangle into 4 triangles of area 1
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (C) at (4,0);
\coordinate (D) at (4,2.6);
\coordinate (E) at (2,2.6);
\coordinate (F) at (0,2.6);
\draw (A)--(C)--(D)--(F)--cycle;
\draw (A)--(E)--(C);
\draw (B)--(E);
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F} \fill (\p) circle (1.6pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[above] at (E) {$E$};
\node[above left] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Given the ACDF rectangle, area 4, be B and E respectively the midpoints of the AC and DF sides. The rectangle is to be divided into 4 triangles of area 1, each of which has 3 vertices of points A, B, C, D, E, F (such as the AEF, ABE, ECB, CDE triangles shown in the figure below). How many ways can this be done?
- (A) 5
- (B) 6
- (C) 4
- (D) 8
- (E) 2
Answer: B src_garaprime_2026__Q05
Minimo M con N divisibile per M ma non M^2
Sia N il prodotto di tutti gli interi positivi, minori o uguali a 100, che hanno esattamente 3 divisori. Qual è il più piccolo valore di M tale che N risulti divisibile per M, ma non per M2 ?
- (A) M = 2
- (B) M = 8
- (C) M = 4
- (D) M = 10
- (E) M = 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Minimum M with N divisible by M but not M^2
Whether N is the product of all positive integers less than or equal to 100, which have exactly 3 divisors. What is the smallest value of M such that N is divisible by M, but not by M2?
- (A) M = 2
- (B) M = 8
- (C) M = 4
- (D) M = 10
- (E) M = 6
Answer: C src_garaprime_2026__Q06
Valore di x^(x^2x+1) dato x^x=2
Sapendo che xx = 2, allora x(x2x+1) è uguale a:
- (A) 8
- (B) 12
- (C) 16
- (D) 20
- (E) 32
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Value of x^(x^2x+1) given that x^x=2
If we know that xx is 2, then x(x2x+1) is equal to:
- (A) 8
- (B) 12
- (C) 16
- (D) 20
- (E) 32
Answer: C src_garaprime_2026__Q07
Numero in posizione 2026 togliendo i quadrati perfetti
Cecilia ha scritto alla lavagna l’elenco ordinato di tutti i numeri interi da 1 a 2100, estremi inclusi, che non sono quadrati perfetti (cioè, quadrati di numeri interi, come 1, 4, 9, ecc). I primi numeri scritti, pertanto, sono 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, … Quale numero si trova nella posizione 2026?
- (A) 2068
- (B) 2070
- (C) 2071
- (D) 2072
- (E) 2075
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Number at position 2026 by subtracting the perfect squares
Cecilia wrote on the board the ordered list of all integers from 1 to 2100, extremes included, which are not perfect squares (i.e., squares of integers, such as 1, 4, 9, etc.). The first written numbers, therefore, are 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12… Which number is in position 2026?
- (A) 2068
- (B) 2070
- (C) 2071
- (D) 2072
- (E) 2075
Answer: C src_garaprime_2026__Q08
Area del triangolo AEH suddiviso da punti sui lati
L’area di un triangolo ABC misura 360 cm2. Siano D, E due punti interni al lato AB tali che AD = DE = EB e siano F, G, H tre punti interni ad AC tali che AF = FG = GH = HC. Qual è l’area del triangolo AEH in cm2 ?
- (A) 120
- (B) 180
- (C) 60
- (D) 270
- (E) 240
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
area of the AEH triangle divided by points on the sides
The area of an ABC triangle is 360 cm2. Two internal points on the AB side are D, E such that AD = DE = EB and three internal points in AC such that AF = FG = GH = HC are F, G, H. What is the area of the AEH triangle in cm2 ?
- (A) 120
- (B) 180
- (C) 60
- (D) 270
- (E) 240
Answer: B src_garaprime_2026__Q09
Naturali tra 10 e 2026 con somma cifre 3
Quanti sono i numeri naturali maggiori di 10 e minori di 2026 la cui somma delle cifre è 3?
- (A) 13
- (B) 14
- (C) 15
- (D) 16
- (E) 17
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
*Natural between 10 and 2026 with a sum of 3 digits *
What are the natural numbers greater than 10 and less than 2026 whose sum of the digits is 3?
- (A) 13
- (B) 14
- (C) 15
- (D) 16
- (E) 17
Answer: E src_garaprime_2026__Q10
Massimo del piu grande di quattro interi con media 2026
Se la media aritmetica di quattro numeri interi positivi distinti è 2026, qual è il valore massimo possibile del più grande di questi numeri?
- (A) 8078
- (B) 8104
- (C) 8098
- (D) 7592
- (E) 8101
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Maximum of the largest of four integers with mean 2026 *
If the arithmetic mean of four distinct positive integers is 2026, what is the maximum possible value of the largest of these numbers?
- (A) 8078
- (B) 8104
- (C) 8098
- (D) 7592
- (E) 8101
Answer: C src_garaprime_2026__Q11
Rapporto tra area triangolo equilatero ed esagono
Un triangolo equilatero ha il lato che misura il doppio di quello di un esagono regolare. Qual è il rapporto tra l’area del triangolo e quella dell’esagono?
- (A) 2
- (B) 1
- (C) 3/2
- (D) 1/2
- (E) 2/3
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Ratio between area of equilateral triangle and hexagon
An equilateral triangle has a side that measures twice that of a regular hexagon. What is the relationship between the area of the triangle and that of the hexagon?
- (A) 2
- (B) 1
- (C) 3/2
- (D) 1/2
- (E) 2/3
Answer: E src_garaprime_2026__Q12
Minimo S(n+1) dato S(n)=2026
Indichiamo con S(n) la somma delle cifre di un intero positivo n (ad esempio S(574) = 16). Se S(n) = 2026, quale può essere il più piccolo valore di S(n + 1)?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 2027
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Minimum S(n+1) given S(n)=2026
Let’s show with S(n) the sum of the digits of a positive integer n (e.g. S(574) = 16). If S(n) = 2026, what can be the smallest value of S(n + 1)?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 2027
Answer: B src_garaprime_2026__Q13
Problemi scritti da Marco quando Anna ha finito
Marco scrive problemi a ritmo costante di 8 problemi all’ora, e Anna risolve problemi a ritmo costante di 12 problemi all’ora. Marco comincia a scrivere 3 ore prima che Anna inizi a risolverli. Quanti problemi avrà scritto Marco quando Anna avrà finito di risolvere tutti i problemi che lui ha scritto fino a quel momento?
- (A) 36
- (B) 48
- (C) 72
- (D) 80
- (E) 84
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Problems written by Mark when Anna finished
Mark writes problems at a constant rate of 8 problems per hour, and Anna solves problems at a constant rate of 12 problems per hour. Mark starts writing three hours before Anna starts solving them. How many problems will Mark have written when Anna has finished solving all the problems he has written up to that point?
- (A) 36
- (B) 48
- (C) 72
- (D) 80
- (E) 84
Answer: C src_garaprime_2026__Q14
Anatre con testa e piume rosse (insiemi)
Un lago è popolato da 800 anatre con piume rosse o blu e teste rosse o blu. Se 430 anatre hanno piume rosse, 290 anatre hanno teste blu e 160 anatre hanno sia testa blu sia piume blu, quante anatre hanno sia testa rossa sia piume rosse?
- (A) 370
- (B) 350
- (C) 240
- (D) 300
- (E) Le informazioni sono insufficienti
Topic: Insiemi e funzioni Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
*Anater with red head and feathers (together) *
A lake is populated by 800 ducks with red or blue feathers and red or blue heads. If 430 ducks have red feathers, 290 ducks have blue heads and 160 ducks have both blue heads and blue feathers, how many ducks have both red heads and red feathers?
- (A) 370
- (B) 350
- (C) 240
- (D) 300
- (E) The information is insufficient
Answer: D src_garaprime_2026__Q15
Ipotenusa dai volumi di rotazione attorno ai cateti
Se un triangolo rettangolo viene ruotato intorno ad un suo cateto, compiendo una rotazione completa, si ottiene un volume di 1500π cm3. Se invece viene ruotato intorno all’altro cateto si ottiene un volume di 2000π cm3. Quanto è lunga l’ipotenusa?
- (A) 15 cm
- (B) 25 cm
- (C) 20 cm
- (D) 16 cm
- (E) 36 cm
Topic: Geometria solida, Algebra Abilita: Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Hypotenuse from the rotation volumes around the chains
If a rectangular triangle is rotated around a catheter, completing one complete rotation, a volume of 1500π cm3 is obtained. If rotated around the other catheter, a volume of 2000π cm3 is obtained. How long is the hypotenuse?
- (A) 15 cm
- (B) 25 cm
- (C) 20 cm
- (D) 16 cm
- (E) 36 cm
Answer: B src_garaprime_2026__Q16
Somma cifre di 10^2026 - 2026
Nicolò si diverte a calcolare la somma delle cifre del numero 102026 −2026. Che numero ottiene?
- (A) 18225
- (B) 18205
- (C) 18234
- (D) 18243
- (E) 18218
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Summary of figures from 10^2026 - 2026
Nicolò enjoys calculating the sum of the digits of the number 102026 −2026. What’s your number?
- (A) 18225
- (B) 18205
- (C) 18234
- (D) 18243
- (E) 18218
Answer: A src_garaprime_2026__Q17
Numeri di 4 cifre con cifre 2,0,6
Quanti numeri di 4 cifre possono essere scritti usando le cifre 2, 0 e 6 (le cifre possono ripetersi)? Ad esempio, 2026 è uno dei numeri che può essere scritto (mentre 0006 no perch´e inizia con 0).
- (A) 16
- (B) 81
- (C) 36
- (D) 54
- (E) 2025 Test n. 1 Unione Matematica Italiana Progetto Olimpiadi della Matematica XI Gara Nazionale per le Classi Prime Lunedì 26 gennaio 2026 Nome: Cognome: Sesso: M F Data di nascita: Città: Scuola: La gara dura 2 ore e 30 minuti e consiste di 18 problemi. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere riportata, per ogni quesito, in questa pagina nella finestrella più in basso. Ogni risposta giusta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. Non sono ammesse cancellature sulla griglia. Non è ammesso l’uso di dispositivi elettronici, compasso e goniometro. I problemi non sono in ordine di difficoltà, ma permutati in modo casuale. Se ti è stato dato un foglio a lettura ottica, dovrai inserire le risposte solo lì e alla fine consegnare solo quel foglio. In caso contrario, dovrai inserire le risposte nella griglia qui sotto e consegnare questo foglio. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Test n. 2
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Four-digit numbers with digits 2,0,6
How many 4-digit numbers can be written using the digits 2, 0 and 6 (digits can be repeated)? For example, 2026 is one of the numbers that can be written (while 0006 is not because it starts with 0).
- (A) 16
- (B) 81
- (C) 36
- (D) 54
- (E) 2025 Test n. 1 Italian Mathematical Union Mathematical Olympiad Project XI National Competition for the First Classes Monday 26 January 2026 Name: Cognome: Gender: M F Date of birth: City: School: The competition lasts 2 hours and 30 minutes and consists of 18 problems. Only one of the answers is correct. The letter corresponding to the correct answer shall be shown, for each question, on this page in the window at the bottom. Every right answer is worth 5 points, every wrong answer is worth 0 points, and every problem left unanswered is worth 1 point. Cancellations on the grid are not allowed. The use of electronic devices, compass and goniometer shall not be permitted. The problems are not in order of difficulty, but alternate randomly. If you have been given an optical reading sheet, you will need to enter the answers only there and finally deliver only that sheet. Otherwise, you’ll need to enter your answers in the grid below and deliver this sheet. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Test number 2
Answer: D src_garaprime_2026__Q18