Area di quadrilatero da percorso piano e salita a 45 gradi
Corsa verso il Monte Fatou L’occhio di Tauron O, in cima alla torre di Banach Dˆur, è alla stessa altezza della Voragine del Fatou V, la bocca del vulcano in cui Frobbo sta per gettare l’anello. Non appena l’Oscuro Sire si accorge di quello che sta per succedere, fa partire la sua guardia personale di orchetti dalla base B della torre. Essi corrono per 1311 metri in piano fino al punto P e per altrettanto in salita lungo il vulcano, con pendenza 45 gradi (senza cambiare direzione orizzontale). Quanti ettari misura la superficie del quadrilatero OVPB? (Un ettaro è la superficie di un quadrato di lato 100 metri.)
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0164 Fonte: apri PDF p.1
*Flat and upward quadrilateral area of 45 degrees *
Race to Mount Fatou The Eye of Tauron O, at the top of the tower of Banach Dˆur, is at the same height as the Voragine of Fatou V, the mouth of the volcano into which Frobbo is about to throw the ring. As soon as the Dark Lord realizes what’s about to happen, he sets off his personal orchestral guard from base B of the tower. They run for 1311 metres in the plane up to the point P and for the same ascent along the volcano, with a slope of 45 degrees (without changing horizontal direction). How many hectares does the OVPB quadrilateral cover? (A hectare is the area of a square 100 meters.)
Answer: 0164 src_gas_2009_finale__Q01
Modi di dividere 9 persone in gruppi con vincoli
Dividiamoci! La compagnia dell’anello, formata da 4 gobbit, 2 umani, un nano, un elfo e uno stregone si deve dividere in due gruppi da 4 e da 5. Si vuole che elfo e nano stiano assieme e i gobbit siano divisi 2 per gruppo. In quanti modi si possono dividere?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0024 Fonte: apri PDF p.1
How to divide 9 people into groups with constraints
Let’s split up! The ring company, consisting of 4 gobbits, 2 humans, a dwarf, an elf and a witch, must be divided into two groups of 4 and 5. You want the elf and the dwarf to stay together and the gobbits to be split into two groups. How many ways can you divide?
Answer: 0024 src_gas_2009_finale__Q02
Massimo numero di elfi tra prigionieri sinceri/bugiardi
Sincerità elfica Gli elfisono creature nobili e rifuggono la falsità e l’inganno: essi dicono sempre il vero. Gli umani, invece, sono un popolo meno austero e non hanno alcun rimorso nel caso in cui abbiano la necessità di mentire: possono dire il vero o il falso. Quando gli orchi conquistano una roccaforte umana, catturano 9999 prigionieri. Essi vengono interrogati in ordine; i primi 2009 affermano di essere elfi. A partire dal 2010°, l’n-esimo afferma “Ci sono almeno n −2009 umani tra noi”. Quanti possono essere, al massimo, gli elfi?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6004 Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of Elves among honest/ foolish prisoners
Elven honesty to Him they exalt noble creatures and they flee from falsehood and deceit: they always speak the truth. Humans, on the other hand, are a less austere people and have no regrets if they need to lie: they can tell the truth or the lie. When the Orcs conquer a human stronghold, they capture 9999 prisoners. They are interviewed in order; early 2009s claim to be elves. Starting with 2010°, the n-eighth states There are at least n −2009 humans among us. How many elves can there be?
Answer: 6004 src_gas_2009_finale__Q03
Media aritmetica dei numeri in un rettangolo di tavola pitagorica
Moltiplicazioni elfiche El-Romb con mezzelfica pazienza sta compilando una tavola pitagorica 10000 × 10000. Bobo passa di là e traccia il bordo di un rettangolo da 35 × 239 caselle che ha 2009 su due angoli opposti e si domanda quanto valga la media aritmetica di tutti i numeri nel rettangolo. Sapete rispondere?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4032 Fonte: apri PDF p.1
Arithmetic mean of numbers in a rectangle of a Pythagorean table
El-Romb’s elven multiplication with a little bit of patience is compiling a Pythagorean table of 10000 × 10000 Bobo goes over there and traces the edge of a rectangle of 35 × 239 boxes that has 2009 on two opposite corners and wonders what the arithmetic mean of all the numbers in the rectangle is worth. Can you answer that?
Answer: 4032 src_gas_2009_finale__Q04
Massimo quadrato perfetto della forma aabb
Orchi e quadrati Un battaglione di orchi è disposto in formazione quadrata. Legalois li conta per sapere quante frecce usare per abbatterli e si accorge che il loro numero è il più grande quadrato perfetto scrivibile in base decimale, utilizzando due sole cifre distinte, nella forma aabb. Da quanti orchi è formato il battaglione? Gara a Squadre 2009 – Finale nazionale – Testi dei problemi – Pag. 1 di 4
Pag. 2 di 4 – Gara a Squadre 2009 – Finale nazionale – Testi dei problemi
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7744 Fonte: apri PDF p.1
Most perfect square of the form aabb
Orcs and squares A battalion of orcs is arranged in square formation. Legalois counts them to know how many arrows to use to knock them down and he notices that their number is the largest perfect square that can be written on a decimal basis, using only two distinct digits, in the shape of aabb. How many orcs does the battalion consist of? Team competition 2009 National final Problem texts Pag. 1 di 4
I’m going to pay. 2 out of 4 Team competition 2009 National final Problem texts
Answer: 7744 src_gas_2009_finale__Q05
Ultime 4 cifre minimo numero con cifre 2,9 divisibile per 2^2009
Epoche remote Una grande battaglia delle epoche antiche si è svolta nell’anno N della prima era. Sapendo che N è il più piccolo numero che, in base dieci, si scrive con le sole cifre 2 e 9 ed è divisibile per 22009, trovare le ultime 4 cifre di N.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2992 Fonte: apri PDF p.2
Last 4 digits minimum number with digits 2,9 divisible by 2^2009
A great battle of ancient times took place in the year N of the first era. Knowing that N is the smallest number that, based on ten, is written with the numbers 2 and 9 and is divisible by 22009, find the last 4 digits of N.
Answer: 2992 src_gas_2009_finale__Q06
Numero coefficienti possibili termine cubico, radici intere
Vuoto di memoria Nel raccontare un suo viaggio nelle miniere di Toria, un viandante accennò a una parete rocciosa su cui era scritto qualcosa di particolare: si trattava di un polinomio, in cui il termine di grado più alto era x4 e il termine noto 12. Non ricordava altro di quella incisione, però sapeva che tutte le sue radici erano intere. Quanti diversi coefficienti poteva avere il termine di terzo grado?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0021 Fonte: apri PDF p.2
Number of possible cubic term coefficients, whole roots
Emptiness of memory A traveler recalled a trip to the mines of Toria, where he was walking, and he mentioned a rock wall on which something special was written: it was a polynomial, where the highest degree term was x4 and the known term 12. He couldn’t remember anything else about that engraving, but he knew all his roots were intact. How many different coefficients could the third degree term have?
Answer: 0021 src_gas_2009_finale__Q07
Distanza luce per dato rapporto superfici illuminata/ombra cubo
Il Poliedril di Sarumath Il Poliedril di Sarumath è un cristallo perfettamente trasparente a forma di cubo di 1 piede di lato. Il malvagio Tauron ha sabotato anche questa pietra veggente, inserendo al suo interno un quadrato nero e opaco avente i vertici nei centri delle facce verticali del cubo. Per permettere ad Areagorn di usare nuovamente la pietra, Gaussdalf deve evocare una magica fonte di luce sulla verticale del centro del quadrato nero, in posizione tale che il rapporto tra la superficie del cubo illuminata e quella in ombra sia pari a 2009/2008 (la fonte di luce può essere posizionata anche all’interno del cubo). A che distanza dal quadrato, in piedi, dovrà essere evocata la luce? (Come risultato fornire la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.)
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2679 Fonte: apri PDF p.2
Light distance per given ratio of illuminated surfaces to cubic shadows
The Sarumath Polyhedron The Sarumath Polyhedron is a perfectly transparent cube-shaped crystal of 1 foot by side. The evil Tauron also sabotaged this visionary stone, inserting a black, opaque square with vertices in the centers of the vertical faces of the cube. To allow Areagorn to use the stone again, Gaussdalf must evoke a magical light source on the vertical of the center of the black square, in such a position that the ratio between the surface of the illuminated cube and that in shadow is equal to 2009/2008 (the light source can also be placed inside the cube). At what distance from the square, standing, will the light have to be evoked? (As a result, provide the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.)
Answer: 2679 src_gas_2009_finale__Q08
Tentativi massimi rune su prisma esagonale a meno di rotazioni
La chiave incantata Gaussdalf deve aprire una porta di Toria, dietro la quale si celano le pergamene con gli ultimi segreti dei nani. La magia che blocca la porta è sofisticata: per entrare occorre un prisma regolare a base esagonale, con incisa una diversa runa su ciascuna delle facce. Gaussdalf conosce le 8 rune che deve usare, ma non sa la corrispondenza con le facce. Quanti tentativi dovrà fare al massimo per aprire la porta? (Nota: due configurazioni sono diverse solo se non è possibile ottenere l’una dall’altra ruotando il prisma rispetto a qualche asse.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3360 Fonte: apri PDF p.2
Tempted maximum runes on hexagonal prism without rotations
Gaussdalf’s enchanted key must open a door to Toria, behind which are hidden the scrolls with the last secrets of the dwarves. The magic that locks the door is sophisticated: to enter you need a regular hexagonal prism, with a different rune engraved on each face. Gaussdalf knows the eight runes he has to use, but he doesn’t know the correspondence with the faces. How many attempts will you have to make to open the door? (Note: two configurations are different only if one cannot be obtained from the other by rotating the prism relative to some axis.)
Answer: 3360 src_gas_2009_finale__Q09
Probabilita di estrarre esattamente 2 anelli elfici su 3
Gli anelli degli Elfi In fuga dall’Eregion, dopo la scoperta del tradimento da parte di Tauron, Celebrimbor prese tre anelli a caso tra i 19 presenti (3 per gli elfi, 7 per i nani, 9 per gli uomini mortali). La sorte lo aiutò, facendogli recuperare proprio i tre anelli degli elfi. Qual era la probabilità che presi 3 anelli solo 2 di questi appartenessero agli elfi? (Come risultato fornire la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.)
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0339 Fonte: apri PDF p.2
The probability of extracting exactly 2 elliptical rings out of 3*
Fleeing the Eregion, after the discovery of the betrayal by Tauron, Celebrimbor took three rings at random from the 19 present (3 for elves, 7 for dwarves, 9 for mortal men). Luck helped him, making him recover exactly the three rings of the elves. What was the probability that I took three rings, only two of these belonged to the elves? (As a result, provide the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.)
Answer: 0339 src_gas_2009_finale__Q10
Area di figura a luna fra archi di circonferenza
La luna della battaglia Le leggende narrano che la notte della battaglia di Puntor fosse illuminata da una luna avente la forma dell’area racchiusa tra gli archi di circonferenza AB, BD, DC e CA, dove: AB è una semicirconferenza di punto medio L; C e D sono tali che BC e AD sono lunghi quanto AB e passano per L; gli archi BD, DC e CA hanno centro in A, L e B rispettivamente. (Vedi figura.) Se AB misurava 46 Km, a quanto ammontava l’area racchiusa dalla luna, in km quadri? . ..A . .B . .L . .D ..C
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0444 Fonte: apri PDF p.2
Lunar area between arc radii
Legend has it that the night of the Battle of Puntor was illuminated by a moon shaped like the area enclosed between the arc of circumference AB, BD, DC and CA, where: AB is a semicircular point L; C and D are such that BC and AD are as long as AB and pass through L; BD, DC and CA arcs have a center in A, L and B respectively. (See figure.) If AB measured 46 km, how much was the area enclosed by the moon, in square kilometers? . ..A . .B . .L . .D ..C
Answer: 0444 src_gas_2009_finale__Q11
Inseguimento con velocita a tratti, distanza al raggiungimento
L’inseguimento Gli orchi hanno rapito Morry e Polino ieri pomeriggio alle 15 e sono partiti a tutta velocità verso Isengraf, distante 234 miglia. Areagorn, Legalois e Gim-Lie hanno scoperto le tracce del rapimento solo questa mattina alle 9 e si sono immediatamente lanciati all’inseguimento, partendo dallo stesso punto. Gli orchi hanno una marcia molto irregolare, che dipende dal sole e dalla loro stanchezza. Alle 15 partono a piena velocità, a 3 miglia l’ora e riescono a tenere questo ritmo per 6 ore; poi rallentano a 1.8 mi/h per le successive 6 ore; poi ancora scendono a 1.2 mi/h per le 6 ore
Gara a Squadre 2009 – Finale nazionale – Testi dei problemi – Pag. 3 di 4 seguenti e infine si fermano stremati a riposare per altre 6 ore, ricominciando daccapo alla fine del ciclo. I nostri eroi invece procedono di corsa al ritmo regolare di 2 mi/h per 24 ore intere, alla fine delle quali rallentano marciando a 1.5 mi/h per le 24 ore successive per riposarsi un po’, per poi essere pronti di nuovo a partire di corsa, e così via. Sapendo che in un miglio ci sono 80 catene, a quante catene da Isengraf i nostri raggiungono finalmente gli orchi? (Rispondere 0000 se non fanno in tempo.)
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo, Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: 4320 Fonte: apri PDF p.2
*Track speed, distance to reach *
The Orcs kidnapped Morry and Polino at 3 p.m. yesterday afternoon and set off at full speed to Isengraf, 234 miles away. Areagorn, Legalois and Gim-Lie discovered the traces of the abduction only this morning at 9am and immediately began their pursuit, starting from the same spot. Orcs have a very irregular gait, which depends on the sun and their fatigue. At 15 they leave at full speed, at 3 miles per hour and manage to keep this pace for 6 hours; then they slow down to 1.8 mi/h for the next 6 hours; then again they descend to 1.2 mi/h for the 6 hours
Team competition 2009 National final Problem texts Pag. 3 out of 4 follow and finally stop trying to rest for another 6 hours, starting again at the end of the cycle. Our heroes, on the other hand, run at a regular pace of 2 mph for 24 hours, at the end of which they slow down marching at 1.5 mph for the next 24 hours to rest a bit, then be ready to start running again, and so on. Knowing that there are 80 chains in a mile, how many chains from Isengraf do our people finally reach the orcs? (Answer 0000 if they don’t make it in time.)
Answer: 4320 src_gas_2009_finale__Q12
Differenza angoli in secondi tra due triangoli isosceli
Le vette di Puntor Il profilo delle vette di Puntor è costituito da due triangoli isosceli ABV1 e BCV2 di basi AB, BC, con B punto medio di AC. Sappiamo che AC è lungo 4572 metri e che V1 e V2 distano rispettivamente 8001 e 3429 metri da AC. A quanto ammonta, in secondi d’arco, il valore assoluto della differenza
V2AV1 −[ BV2C? (Si ricorda che un secondo d’arco è un angolo pari a 1/3600 di grado.)
Topic: Trigonometria, Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0000 Fonte: apri PDF p.3
Different angles in seconds between two isosceles triangles
Puntor peaks The profile of Puntor peaks consists of two isosceles triangles ABV1 and BCV2 of base AB, BC, with B mean point AC. We know that AC is 4572 meters long and that V1 and V2 are 8001 and 3429 meters from AC respectively. What is the absolute value of the difference \ V2AV1 −[ BV2C? (Remember that a second arc is an angle equal to 1/3600 degrees.)
Answer: 0000 src_gas_2009_finale__Q13
Minimo numero quadrato e triangolare maggiore di 1000
Rinforzi ponderati Areagorn deve cercare di aumentare l’esercito della compagnia, e chiede rinforzi a Divisor, reggente di Minas Torith, famoso per la sua parsimonia. Areagorn dice a Divisor: “Mi servono almeno 1000 dei tuoi uomini. Il loro numero deve essere un quadrato perfetto perch´e li vorrei disporre a quadrato, ma vorrei poterli disporre anche a triangolo (in prima fila un solo guerriero, nella seconda fila 2, nella terza 3… nell’n-esima esattamente n).” Divisor ci pensa un po’ e poi risponde: “Si va bene, non dovrebbero essere troppi, te ne darò il minimo indispensabile!” Quanti guerrieri manderà Divisor?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1225 Fonte: apri PDF p.3
Minimum square and triangular number greater than 1000
Weighed reinforcements Areagorn must seek to increase the company’s army, and asks for reinforcements from Divisor, Regent of Minas Torith, famous for his parsimony. Areagorn says to Divisor, “I need at least 1,000 of your men. Their number has to be a perfect square, so I’d like to square them, but I’d like to be able to square them in a triangle. In the n-eighth exactly n). Divisor thinks about it a little bit and then he answers: All right, they shouldn’t be too many, I’ll give you the minimum necessary! How many warriors will Divisor send?
Answer: 1225 src_gas_2009_finale__Q14
Ultimo numero del triangolo di somme di potenze di 2009
I numeri del libro Per decorare il libro che racconta le sue avventure, Bobo ha deciso di scrivere sulla prima riga dell’ultima pagina i numeri 20090,20091,20092,…,20092009. Passato alla riga sottostante, sotto ogni coppia di numeri della riga superiore scrive la loro somma, poi passa alla riga successiva procedendo allo stesso modo e continua così fino ad ottenere un solo numero. Qual è l’ultimo numero? (Se la quantità richiesta è un intero maggiore di 9999, come risultato fornire le ultime 4 cifre.)
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0000 Fonte: apri PDF p.3
Last number of the triangle of power sums of 2009
To decorate the book that tells of his adventures, Bobo decided to write on the first line of the last page the numbers 20090,20091,20092,…,20092009. Moving to the bottom line, below each pair of numbers in the top line he writes their sum, then moves to the next line proceeding the same way and continues that way until he gets a single number. What’s the last number? (If the quantity requested is an integer greater than 9999, please provide the last 4 digits as a result.)
Answer: 0000 src_gas_2009_finale__Q15
Lato lungo di rettangolo di 10! tessere con rapporto vicino 11/17
Il mosaico Nella casa di El-Romb c’è una sala molto grande dove si intende realizzare un mosaico gigantesco, un rettangolo formato da 10! tessere quadrate identiche. Si vorrebbe che i lati del mosaico fossero in rapporto più vicino possibile a 11/17. Quante tessere deve misurare il lato lungo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2400 Fonte: apri PDF p.3
Long side of a rectangle of 10! Tickets with a ratio close to 11/17*
The mosaic In the house of El-Romb there is a very large hall where you intend to make a giant mosaic, a rectangle of 10! identical square cards. You’d like the sides of the mosaic to be as close to 9/11 as possible. How many cards do you have to measure the long side?
Answer: 2400 src_gas_2009_finale__Q16
Numero cammini su reticolo a distanza 5 dopo 7 passi
Gaussdalf sperduto a Toria Provato dal combattimento con il balrog, Gaussdalf vaga confuso nelle miniere di Toria. Ogni giorno, per 7 giorni consecutivi, egli si muove di una galleria in direzione nord, sud, est o ovest (e per tutta la giornata cammina nella stessa direzione). Tutte le gallerie hanno la stessa lunghezza, e cioè 1 lega. Alla fine del settimo giorno, utilizza un incantesimo che gli permette di scoprire quanta distanza ha percorso in linea d’aria dal punto da cui è partito il primo giorno considerato. Sapendo che Gaussdalf dista 5 leghe da dove è partito, quante strade diverse può aver percorso?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0476 Fonte: apri PDF p.3
Number of walks on a lattice at a distance of 5 to 7 steps
Gaussdalf lost in Toria Proved by the fight with the balrog, Gaussdalf wanders confused in the mines of Toria. Every day, for 7 consecutive days, he moves from a tunnel to the north, south, east or west (and throughout the day he walks in the same direction). All the tunnels have the same length, i.e. 1 league. At the end of the seventh day, he uses a spell that allows him to find out how far he has traveled in a straight line from where he left the first day. Knowing that Gaussdalf is five leagues from where he left off, how many different roads could he have walked?
Answer: 0476 src_gas_2009_finale__Q17
Massimo volume parallelepipedo con vincolo lineare sui lati
Preparando l’assedio Gli orchi stanno costruendo le torrette per assediare la fortezza di Minas Torith. Per realizzarle si servono di alcuni mattoni a forma di parallelepipedi retti. Non conoscono le misure dei lati, però sanno che se si somma la lunghezza con 3 volte la larghezza e 9 volte l’altezza si ottiene la misura di 171 cm. Quant’è al massimo il volume di ciascun mattone in centimetri cubi?
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 6859 Fonte: apri PDF p.3
Most parallel-piped volume with linear boundary on the sides
The Orcs are building the towers to besiege the fortress of Minas Torith. To make them, some parallel-piped bricks are used. They don’t know the dimensions of the sides, but they know that if you add the length by 3 times the width and 9 times the height you get the measurement of 171 cm. What is the maximum volume of each brick in cubic centimetres?
Answer: 6859 src_gas_2009_finale__Q18
Modi di indossare 7 anelli su 8 dita con ordine
Sette ai principi dei nani Il malvagio Tauron, accecato dalla brama di potere, conta i modi in cui può indossare i 7 anelli dei nani sulle 8 dita superstiti delle sue mani. Per ognuno di questi modi, prende nota di quanti e quali
Pag. 4 di 4 – Gara a Squadre 2009 – Finale nazionale – Testi dei problemi anelli vanno su quale dito e in che ordine. Quanti modi diversi conterà? (Se la quantità richiesta è un intero maggiore di 9999, come risultato fornire le ultime 4 cifre.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7280 Fonte: apri PDF p.3
How to wear 7 rings on 8 fingers in order*
Evil Tauron, blinded by the craving for power, tells the story of how he can wear the seven rings of the dwarves on the eight surviving fingers of his hands. For each of these ways, he notes how many and which
I’m going to pay. 4 out of 4 Team competition 2009 National final Problem ring texts go on which finger and in which order. How many different ways will it count? (If the quantity requested is an integer greater than 9999, please provide the last 4 digits as a result.)
Answer: 7280 src_gas_2009_finale__Q19
Volume piramide retta quadrata con angolo diedro 120 gradi
La piramide di Banach-Alaoglu La piramide di Banach-Alaoglu, leggendario sovrano degli orchi, è una piramide retta a base quadrata di lato 36 metri. Sapendo che due facce adiacenti della superficie laterale formano un angolo di 120 gradi, qual è il volume della piramide, in metri cubi?
Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 7776 Fonte: apri PDF p.4
Volume of rectangular pyramid with dihedral angle of 120 degrees
The Pyramid of Banach-Alaoglu The Pyramid of Banach-Alaoglu, legendary ruler of the Orcs, is a rectangular pyramid with a square base of side 36 meters. Knowing that two adjacent faces of the lateral surface form a 120-degree angle, what is the volume of the pyramid, in cubic meters?
Answer: 7776 src_gas_2009_finale__Q20
Carta inutilizzata minima per sviluppo cubo da rettangolo
Cubbit I gobbit amano fare piccoli lavoretti con la carta. Sam si è procurato un foglio rettangolare dall’area di 1 metro quadrato e vuole farne un cubo. Per la precisione, vuole ritagliare dal foglio un pezzo unico formato da 6 quadrati uguali, uniti tra di loro per uno o più lati, che rappresenti uno sviluppo piano del cubo, ovvero che piegato opportunamente tra un quadrato e l’altro, formi la superficie di un cubo (ogni quadrato deve diventare una faccia del cubo). Sam sa il fatto suo, quindi ha fatto in modo che le proporzioni tra i due lati del rettangolo siano tali da poter ottenere, a parità di superficie, il cubo più grande possibile. Quanti centimetri quadrati di carta restano comunque inutilizzati, come minimo?
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 4000 Fonte: apri PDF p.4
Minimum unused card for rectangular cube development
Cubbit The gobbits like to do small jobs with paper. Sam got himself a rectangular sheet from an area of 1 square meter and wants to make a cube of it. To be precise, he wants to cut from the sheet a single piece of 6 equal squares, joined together by one or more sides, which represents a plane development of the cube, that is, that folded appropriately between one square and the other, forms the surface of a cube (each square must become a face of the cube). Sam knows his facts, so he made sure that the proportions between the two sides of the rectangle are such that we can get, at parity of surface, the largest cube possible. How many square inches of paper are still unused, at least?
Answer: 4000 src_gas_2009_finale__Q21
Numero passi di discesa scale dimezzando e per divisore
L’oscura torre La torre di Tauron ha 29! scalini. Il più infimo dei servi orchetti, che si trova sullo scalino più in alto, sta prendendo ordini direttamente dall’Oscuro Sire, e li deve trasmettere in basso a vari luogotenenti lungo tutta la torre. Inizia scendendo la metà esatta dei gradini, dove trova un primo luogotenente; da qui in poi, ogni volta che parla con un luogotenente sullo scalino k-esimo, questi gli ordina di scendere di d altri scalini, dove d è il più grande divisore di k distinto da k stesso. Arrivato finalmente al primo scalino, scambia due parole con l’ennesimo luogotenente e poi strammazza a terra stremato. Con quanti luogotenenti avrà parlato l’orchetto prima di stramazzare al suolo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0130 Fonte: apri PDF p.4
Number of steps down the stairs by halving and divider
The dark tower The tower of Tauron has 29! The stairs. The lowest of the orchestral servants, who is on the top ladder, is taking orders directly from the Dark Lord, and must transmit them down to various lieutenants throughout the tower. It starts by descending the exact half of the steps, where it finds a first lieutenant; from here on, whenever it speaks to a lieutenant on the k-eighth ladder, he orders it to descend from d other stairs, where d is the largest divisor of k distinct from k itself. When he finally reached the first step, he exchanged two words with the second lieutenant and then stroked the ground. How many lieutenants did the orchestra talk to before it hit the ground?
Answer: 0130 src_gas_2009_finale__Q22
Differenza quadrati aree triangoli da polinomi delle lunghezze
Il vessillo triangolare polinomiale Il vessillo triangolare polinomiale V1, realizzato da Gaussdalf a protezione del regno degli umani, raffigura un triangolo T1 avente lati di lunghezza 440, 444, 448, il polinomio monico di terzo grado P1(x), che ha come radici proprio le lunghezze dei lati di T1, e il magico numero q1, pari al quadrato dell’area di T1. Il vessillo nemico V2, realizzato dal malvagio Tauron, ha le medesime caratteristiche, ma al posto di P1(x) figura il polinomio P2(x) = P1(x)+1 associato al tetro triangolo T2. Quanto vale q2 −q1?
Topic: Algebra, Geometria piana Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 0666 Fonte: apri PDF p.4
Differential square triangle areas by length polynomials
The polynomial triangular flag The polynomial triangular flag V1, made by Gaussdalf to protect the kingdom of humans, depicts a triangle T1 with sides of length 440, 444, 448, the monic polynomial of third degree P1(x), which has as its roots the lengths of the sides of T1, and the magic number q1, equal to the square of the area of T1. The enemy flag V2, made by the evil Tauron, has the same characteristics, but instead of P1(x) the polynomial P2(x) = P1(x) +1 associated with the tetra triangle T2 appears. How much is q2 minus q1?
Answer: 0666 src_gas_2009_finale__Q23
Numero di n con espressione radicale annidata intera
Rinforzi fantasmagorici Areagorn deve cercare di aumentare ancora l’esercito della compagnia, e stavolta chiede rinforzi ai non morti. Sadicamente il capo dell’esercito dei non morti, appassionato di matematica, propone ad Areagorn di dargli un guerriero per ogni numero naturale n tale che il numero 41q√n+ p n+20092009 sia intero. Di quanti non morti disporrà la compagnia? Con la collaborazione di
. . Cesenatico . Gara a Squadre .2 .9 X GARA NAZIONALE A SQUADRE Finale nazionale – SOLUZIONI – 9 maggio 2009 Nr. Problema
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2475 Fonte: apri PDF p.4
Number of n with full nested radical expression
Ghost reinforcements Areagorn must try to increase the company’s army further, and this time he asks for reinforcements from the undead. Sadly, the head of the army of the undead, a mathematician, proposes to Areagorn to give him a warrior for every natural number n such that the number 41q√n+p n+20092009 is whole. How many undead will the company have? With the cooperation of
. . I ‘m not . Competition in teams .2 .9 X GARA NATIONAL A SQUADER Final national Solution 9 May 2009 Nr. The problem
Answer: 2475 src_gas_2009_finale__Q24