Massimo numero di elfi tra prigionieri sinceri/bugiardi
Questione d’onore [10] Gli elfisono creature nobili e rifuggono la falsità e l’inganno: essi dicono sempre il vero. Gli umani, invece, sono un popolo meno austero e non hanno alcun rimorso nel caso in cui abbiano la necessità di mentire: possono dire il vero o il falso. Quando gli orchi conquistano una roccaforte umana, catturano 9999 prigionieri. Essi vengono interrogati in ordine; i primi 1729 affermano di essere elfi. A partire dal 1730°, l’n-esimo afferma “Ci sono almeno n −1729 umani tra noi”. Quanti possono essere, al massimo, gli elfi?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5864 Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of Elves among honest/ foolish prisoners
Question of Honor [10] They elevate noble creatures to Him and flee from falsehood and deceit: they always speak the truth. Humans, on the other hand, are a less austere people and have no regrets if they need to lie: they can tell the truth or the lie. When the Orcs conquer a human stronghold, they capture 9999 prisoners. They are questioned in order; the first 1729 claim to be elves. Starting with 1730°, the n-eighth states There are at least n −1729 humans among us. How many elves can there be?
Answer: 5864 src_gas_2009_pubblico__Q01
Media aritmetica dei numeri in rettangolo di tavola pitagorica
Rettangolo pitagorico [15] El-Romb con mezzelfica pazienza sta compilando una tavola pitagorica 10000 × 10000. Bobo passa di là e traccia il bordo di un rettangolo da 5×53 caselle che ha 1001 su due angoli opposti e si domanda quanto valga la media aritmetica di tutti i numeri nel rettangolo. Sapete rispondere?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1053 Fonte: apri PDF p.1
Arithmetic mean of the numbers in the rectangle of the Pythagorean table
Pythagorean Rectangle [15] El-Romb is patiently compiling a 10000 × 10000 Pythagorean table. Bobo goes over there and traces the edge of a rectangle of 5×53 boxes that has 1001 on two opposite corners and wonders what the arithmetic mean of all the numbers in the rectangle is. Can you answer that?
Answer: 1053 src_gas_2009_pubblico__Q02
Ultime 4 cifre minimo numero con cifre 2,3 divisibile per 2^2009
Antiche battaglie [20] Una grande battaglia delle epoche antiche si è svolta nell’anno N della prima era. Sapendo che N è il più piccolo numero che, in base dieci, si scrive con le sole cifre 2 e 3 ed è divisibile per 22009, trovare le ultime 4 cifre di N.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3232 Fonte: apri PDF p.1
Last 4 digits minimum number with 2.3 digits divisible by 2^2009
Ancient Battles [20] A major battle of ancient times took place in the Year N of the first era. Knowing that N is the smallest number that, based on ten, is written with the numbers 2 and 3 and is divisible by 22009, find the last 4 digits of N.
Answer: 3232 src_gas_2009_pubblico__Q03
Interi 1-55 non esprimibili come somma con segni di quadrati
Compleanni gobbit [20] I gobbit hanno un ciclo vitale differente da quello degli umani, infatti raggiungono la maturità più tardi e restano giovani molto più a lungo. Oggi è il compleanno di Polino, ma Morry non ricorda più l’età del suo giovane amico. Polino allora pone questo indovinello: “La mia età è pari al numero di interi tra 1 e 55 che non si possono scrivere come ±12 ±22 ±32 ±42 ±52 per nessuna scelta dei segni”. Quanti anni ha Polino?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0041 Fonte: apri PDF p.1
Interies 1-55 not expressed as sums with square characters
Gobbit birthdays [20] Gobbits have a different life cycle than humans, in fact they reach maturity later and remain young much longer. Today is Polynus’ birthday, but Morry doesn’t remember the age of his young friend. Polino then puts this riddle: My age is equal to the number of integers between 1 and 55 that cannot be written as ±12 ±22 ±32 ±42 ±52 for any choice of signs. How old is Polino?
Answer: 0041 src_gas_2009_pubblico__Q04
Numero coefficienti possibili termine cubico, radici intere
Incisioni nella roccia [25] Nel raccontare un suo viaggio nelle miniere di Toria, un viandante accennò a una parete rocciosa su cui era scritto qualcosa di particolare: si trattava di un polinomio, in cui il termine di grado più alto era x4 e il termine noto 45. Non ricordava altro di quella incisione, però sapeva che tutte le sue radici erano intere. Quanti diversi coefficienti poteva avere il termine di terzo grado? Gara a Squadre 2009 – Gara del pubblico – Testi dei problemi – Pag. 1 di 4
Pag. 2 di 4 – Gara a Squadre 2009 – Gara del pubblico – Testi dei problemi
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0013 Fonte: apri PDF p.1
Number of possible cubic term coefficients, whole roots
Engravings in the rock [25] In narrating his journey to the mines of Toria, a traveler hinted at a rock wall on which something particular was written: it was a polynomial, in which the highest degree term was x4 and the known term 45. He couldn’t remember anything else about that engraving, but he knew all his roots were intact. How many different coefficients could the third degree term have? Team competition 2009 Public competition Problem texts Pag. 1 di 4
I’m going to pay. 2 out of 4 Team competition 2009 Public competition Problem texts
Answer: 0013 src_gas_2009_pubblico__Q05
Distanza luce per dato rapporto superfici illuminata/ombra cubo
Luci e ombre [25] Il Poliedril di Sarumath è un cristallo perfettamente trasparente a forma di cubo di 1 piede di lato. Il malvagio Tauron ha sabotato anche questa pietra veggente, inserendo al suo interno un quadrato nero e opaco avente i vertici nei centri delle facce verticali del cubo. Per permettere ad Areagorn di usare nuovamente la pietra, Gaussdalf deve evocare una magica fonte di luce sulla verticale del centro del quadrato nero, in posizione tale che il rapporto tra la superficie del cubo illuminata e quella in ombra sia pari a 2010/2009 (la fonte di luce può essere posizionata anche all’interno del cubo). A che distanza dal quadrato, in piedi, dovrà essere evocata la luce? (Come risultato fornire la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.)
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 8041 Fonte: apri PDF p.2
Light distance per given ratio of illuminated surfaces to cubic shadows
Lights and Shadows [25] Sarumath’s Polyedril is a perfectly transparent cube-shaped crystal of 1 foot by side. The evil Tauron also sabotaged this visionary stone, inserting a black, opaque square with vertices in the centers of the vertical faces of the cube. To allow Areagorn to use the stone again, Gaussdalf must conjure up a magic light source on the vertical of the center of the black square, in such a position that the ratio between the surface of the illuminated cube and that in shadow is equal to 2010/2009 (the light source can also be placed inside the cube). At what distance from the square, standing, will the light have to be evoked? (As a result, provide the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.)
Answer: 8041 src_gas_2009_pubblico__Q06
Disposizioni a tavola rotonda con vincoli di vicinanza
Riunione a Riemandell [30] El-Romb ha organizzato a Riemandell un incontro tra i rappresentanti delle varie razze. Giungono 4 elfi, 3 nani e 3 uomini, che siederanno attorno ad una tavola rotonda con 10 posti. Tuttavia, elfi e nani non accettano di sedersi gli uni vicini agli altri: in quanti modi può El-Romb disporre a tavola i 10 invitati? (Note: due disposizioni si considerano uguali se si ottengono l’una dall’altra per rotazione, ma diverse se si ottengono per simmetria. Tutti gli invitati vanno considerati diversi e distinguibili.)
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6048 Fonte: apri PDF p.2
Round table layouts with proximity constraints
Meeting in Riemandell [30] El-Romb organized a meeting in Riemandell between representatives of the various races. Four elves, three dwarves and three men will come and sit around a round table with 10 seats. However, elves and dwarves do not agree to sit next to each other: how many ways can El-Romb arrange the 10 guests at the table? (Note: two arrangements are considered equal if they are obtained from each other by rotation, but different if they are obtained by symmetry. All guests should be considered different and distinctive.)
Answer: 6048 src_gas_2009_pubblico__Q07
Area di figura a luna fra archi di circonferenza
La luna di Puntor [30] Le leggende narrano che la notte della battaglia di Puntor fosse illuminata da una luna avente la forma dell’area racchiusa tra gli archi di circonferenza AB, BD, DC e CA, dove: AB è una semicirconferenza di punto medio L; C e D sono tali che BC e AD sono lunghi quanto AB e passano per L; gli archi BD, DC e CA hanno centro in A, L e B rispettivamente. (Vedi figura.) Se AB misurava 42 Km, a quanto ammontava l’area racchiusa dalla luna, in km quadri? . ..A . .B . .L . .D ..C
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0370 Fonte: apri PDF p.2
Lunar area between arc radii
The Moon of Puntor [30] Legends tell that the night of the Battle of Puntor was illuminated by a moon shaped like the area enclosed between the arc of circumference AB, BD, DC and CA, where: AB is a half-circle of midpoint L; C and D are such that BC and AD are as long as AB and pass through L; the arcs BD, DC and CA have a center in A, L and B respectively. (See figure.) If AB measured 42 kilometers, how much would the area enclosed by the moon be, in square kilometers? . ..A . .B . .L . .D ..C
Answer: 0370 src_gas_2009_pubblico__Q08
Numero cammini minimi su reticolo 3D con vincolo
Le miniere di Toria [35] Le miniere di Toria, meravigliose dimore sotterranee costruite dai nani, possono essere viste come un reticolo tridimensionale lungo 5 miglia in direzione Ovest-Est, largo 3 miglia in direzione Nord-Sud che si sviluppa su 5 livelli (5 piani, quindi 4 rampe di scale). Ogni miglio c’è una stanza che è collegata alle stanze accanto da corridoi verso E, O, N e S nonch´e alle stanze superiore ed inferiore mediante delle scale. Gaussdalf e la compagnia dell’Anello sono appena entrati dalla porta dell’Agrifogliere, al livello più alto nell’angolo NO e devono arrivare al cancello verso l’Anduin, al livello più basso nell’angolo SE. Vogliono fare in fretta, quindi vogliono attraversare il minimo numero possibile di stanze. Sanno inoltre che il livello più basso è incendiato, quindi vogliono scendervi solamente dopo essersi spinti il più a SE possibile. Quanti percorsi diversi possono seguire?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9240 Fonte: apri PDF p.2
Minimum number of steps on a 3D grid with constraint
Toria mines [35] The Toria mines, wonderful underground dwellings built by dwarves, can be seen as a three-dimensional lattice 5 miles long in the West-East direction, 3 miles wide in the North-South direction that develops on 5 levels (5 floors, so 4 stair ramps). Each mile there is a room which is connected to the next rooms by corridors to E, O, N and S and to the upper and lower rooms by stairs. Gaussdalf and the ring company have just entered the gate of the cleaver at the highest level in the NO corner and must reach the gate to the Anduin at the lowest level in the SE corner. They want to do it fast, so they want to go through as few rooms as possible. They also know that the lowest level is on fire, so they only want to get down there after pushing themselves as far as possible. How many different paths can they take?
Answer: 9240 src_gas_2009_pubblico__Q09
Massimo numero affermazioni coerenti su 12 argomenti
Una prova di logica [35] Sarumath è assediato nella sua torre di Isengraf! Egli vuole cercare di trattenere il più a lungo possibile gli assedianti con vuote parole: ha a disposizione 12 argomenti di cui parlare e vuole scoprire quante frasi può, al più, pronunciare per distrarre i nemici rispettando le seguenti regole: ⋆ogni frase deve essere una affermazione sulla verità o falsità di alcuni degli argomenti a sua disposizione; ⋆non può cadere in contraddizione, altrimenti l’astuto Gaussdalf se ne accorgerà e si risveglierà dall’incantesimo; ⋆non può fare affermazioni riguardanti tutti gli argomenti, altrimenti il nano Gim-Lie perderà il filo del discorso e l’incantesimo sarà rotto; ⋆ogni affermazione dovrà essere diversa dalle precedenti, altrimenti Morry comincerà ad annoiarsi e si desterà.
Gara a Squadre 2009 – Gara del pubblico – Testi dei problemi – Pag. 3 di 4 Quante affermazioni può fare, al più, Sarumath?
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4094 Fonte: apri PDF p.2
Maximum number of consistent statements on 12 subjects
A proof of logic [35] Sarumath is besieged in his Isengraf tower! He wants to try to hold the invaders back as long as possible with empty words: he has 12 arguments to talk about and he wants to find out how many sentences he can, at most, utter to distract the enemies by following the following rules: ⋆Each sentence must be an affirmation of the truth or falsity of some of the arguments at his disposal; ⋆he cannot fall into contradiction, otherwise the Gaussdalf master will notice and awaken from the spell; ⋆he cannot make claims concerning all the arguments, otherwise the Gim-Lie dwarf will be the thread of the discourse and the spell will be turned; ⋆he different statement will be from the previous ones, otherwise Morry will start to get bored and lose spell.
Team competition 2009 Public competition Problem texts Pag. How many statements can Sarumath make at most?
Answer: 4094 src_gas_2009_pubblico__Q10
Ultime 4 cifre del prodotto dei dispari fino a 2009
Il numero leggendario [40] C’è una iscrizione alle porte di Puntor che riporta il “numero leggendario” cioè il numero più grande che si conoscesse ai tempi della creazione di Puntor. Si sa che quel numero è 1·3·5·…· 2009. Tuttavia il vento nel tempo ha eroso la pietra e ciò che ne è rimasto sono solo le ultime 4 cifre. Quali sono?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0625 Fonte: apri PDF p.3
Last 4 digits of the odd product until 2009
The legendary number [40] There is an inscription at the doors of Puntor that records the legendary number i.e. the largest number known at the time of the creation of Puntor. We know that number is 1.3.5. 2009. However, the wind has eroded the stone over time and what remains are only the last four digits. What are they?
Answer: 0625 src_gas_2009_pubblico__Q11
Massimo volume parallelepipedo con vincolo lineare sui lati
Torrette d’assedio [40] Gli orchi stanno costruendo le torrette per assediare la fortezza di Minas Torith. Per realizzarle si servono di alcuni mattoni a forma di parallelepipedi retti. Non conoscono le misure dei lati, però sanno che se si somma la lunghezza con 7 volte la larghezza e 49 volte l’altezza si ottiene la misura di 273 cm. Quant’è al massimo il volume di ciascun mattone in centimetri cubi?
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2197 Fonte: apri PDF p.3
Most parallel-piped volume with linear boundary on the sides
Siege towers [40] The Orcs are building the towers to besiege the fortress of Minas Torith. To make them, some parallel-piped bricks are used. They don’t know the dimensions of the sides, but they know that if you add the length by 7 times the width and 49 times the height you get the size of 273 cm. What is the maximum volume of each brick in cubic centimetres?
Answer: 2197 src_gas_2009_pubblico__Q12
Numero minimo lettere tra 25 persone di 13 citta diverse
Mantenere i contatti [45] Prima di ritrovarsi al consiglio indetto da El-Romb a Riemandell, i 25 rappresentanti dei popoli liberi dovranno contattarsi, e ognuno di essi vuole assicurarsi di aver sentito tutti gli altri. Purtroppo però i partecipanti al consiglio vengono da 13 città diverse, per cui ognuno manderà una lettera a tutti quelli che non sono nella propria città. Quante lettere sono state mandate, come minimo?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0444 Fonte: apri PDF p.3
Minimum number of letters among 25 people from 13 different cities
Keeping in touch [45] Before meeting at the council convened by El-Romb in Riemandell, the 25 free peoples’ representatives will have to contact each other, and each of them wants to make sure they have heard everyone else. Unfortunately, the council members come from 13 different cities, so each will send a letter to everyone who is not in their city. How many letters were sent, at least?
Answer: 0444 src_gas_2009_pubblico__Q13
Modi di indossare 9 anelli su 8 dita con ordine
Nove agli uomini mortali [50] Il malvagio Tauron, accecato dalla brama di potere, conta i modi in cui può indossare i 9 anelli dei nazgul sulle 8 dita superstiti delle sue mani. Per ognuno di questi modi, prende nota di quanti e quali anelli vanno su quale dito e in che ordine. Quanti modi diversi conterà? (Se la quantità richiesta è un intero maggiore di 9999, come risultato fornire le ultime 4 cifre.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7200 Fonte: apri PDF p.3
How to wear 9 rings on 8 fingers in order*
Nine to mortal men [50] The evil Tauron, blinded by the desire for power, tells the story of how he can wear the 9 rings of the Nazgul on the 8 surviving fingers of his hands. In each of these ways, he notes how many and which rings go on which finger and in which order. How many different ways will it count? (If the quantity requested is an integer greater than 9999, please provide the last 4 digits as a result.)
Answer: 7200 src_gas_2009_pubblico__Q14
Numero passi di discesa scale dimezzando e per divisore
Gli scalini di Banach Dˆur [55] La torre di Tauron ha 39! scalini. Il più infimo dei servi orchetti, che si trova sullo scalino più in alto, sta prendendo ordini direttamente dall’Oscuro Sire, e li deve trasmettere in basso a vari luogotenenti lungo tutta la torre. Inizia scendendo la metà esatta dei gradini, dove trova un primo luogotenente; da qui in poi, ogni volta che parla con un luogotenente sullo scalino k-esimo, questi gli ordina di scendere di d altri scalini, dove d è il più grande divisore di k distinto da k stesso. Arrivato finalmente al primo scalino, scambia due parole con l’ennesimo luogotenente e poi strammazza a terra stremato. Con quanti luogotenenti avrà parlato l’orchetto prima di stramazzare al suolo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0195 Fonte: apri PDF p.3
Number of steps down the stairs by halving and divider
The stairs of Banach Dur [55] The tower of Tauron has 39! The stairs. The lowest of the orchestral servants, who is on the top ladder, is taking orders directly from the Dark Lord, and must transmit them down to various lieutenants throughout the tower. He starts by descending the exact half of the steps, where he finds a first lieutenant; from here on, whenever he talks to a lieutenant on the k-eighth ladder, he orders him to descend from d other steps, where d is the largest divisor of k distinct from k itself. When he finally reached the first step, he exchanged two words with the second lieutenant and then stroked the ground. How many lieutenants did the orchestra talk to before it hit the ground?
Answer: 0195 src_gas_2009_pubblico__Q15
Numero di n con espressione radicale annidata intera
Rinforzi radicali [60] Areagorn deve cercare di aumentare l’esercito della compagnia e chiede rinforzi ai non morti. Sadicamente il capo dell’esercito dei non morti, appassionato di matematica, propone ad Areagorn di dargli un guerriero per ogni numero naturale n tale che il numero 49q√n+ p n+20092009 sia intero. Di quanti non morti disporrà la compagnia?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1743 Fonte: apri PDF p.3
Number of n with full nested radical expression
Radical reinforcements [60] Areagorn must seek to increase the company’s army and ask for reinforcements from the undead. Sadly, the head of the army of the undead, a mathematician, proposes to Areagorn to give him a warrior for every natural number n such that the number 49q√n+p n+20092009 is whole. How many undead will the company have?
Answer: 1743 src_gas_2009_pubblico__Q16
Somma quadrati segmenti baricentro-vertice di un tetraedro
Il Poliedril di Tauron [65] Il Poliedril dell’Oscuro Sire è un tetraedro le cui lunghezze degli spigoli ammontano a 46, 47, 50, 55, 56 e 64 centimetri. All’interno del Poliedril, un segmento etereo è un segmento che congiunge un vertice con il baricentro della faccia opposta. Quanto vale la somma dei quadrati delle lunghezze dei quattro segmenti eterei, in centimetri quadri?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 7592 Fonte: apri PDF p.3
sum of squares of the baricenter-vertical segments of a tetrahedron
Tauron’s Polyhedron [65] The Polyhedron of the Dark Lord is a tetrahedron whose beam lengths amount to 46, 47, 50, 55, 56 and 64 centimetres. Within the polyhedron, an ethereal segment is a segment that joins a vertex with the baricenter of the opposite face. What is the sum of the squares of the lengths of the four etheric segments, in square centimeters?
Answer: 7592 src_gas_2009_pubblico__Q17
Tangente angolo da uguaglianza potenze rispetto a due cerchi
Strane geometrie [70] La piazza principale di Riemandell ha due fontane circolari: una grande di centro A e una piccola
Pag. 4 di 4 – Gara a Squadre 2009 – Gara del pubblico – Testi dei problemi di centro B. Morry e Polino si trovano rispettivamente nei punti M e P e notano che i punti in cui si trovano hanno una particolarità: se si calcola la differenza tra i quadrati delle lunghezze delle tangenti condotte ai due cerchi, si trova lo stesso numero per entrambi i gobbit. Inoltre notano che gli angoli [ MAB, [ MBA misurano rispettivamente 60 e 30 gradi e la tangente di d PAB è 12/5. Quanto vale la tangente dell’angolo d PBA? (Come risultato fornire la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.)
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0009 Fonte: apri PDF p.3
Tangent angle of equal power with respect to two circles
Strange geometries [70] Riemandell’s main square has two circular fountains: a large A-center and a small
I’m going to pay. 4 out of 4 Team competition 2009 Public competition Tests of B-center problems. Morry and Polino are respectively in points M and P and note that the points in which they are located have a peculiarity: if you calculate the difference between the squares of the lengths of the tangents conducting to the two circles, you find the same number for both gobbits. They also note that the angles [ MAB, [ MBA] measure 60 and 30 degrees respectively and the tangent of d PAB is 12/5. How much is the tangent of the angle of PBA? (As a result, provide the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.)
Answer: 0009 src_gas_2009_pubblico__Q18
Ultimo numero triangolo di somme di quadrati
Il libro dà i numeri [75] Per decorare il libro che racconta le sue avventure, Bobo ha deciso di scrivere sulla prima riga dell’ultima pagina i numeri 1,22,32,…,20092. Passato alla riga sottostante, sotto ogni coppia di numeri della riga superiore scrive la loro somma, poi passa alla riga successiva procedendo allo stesso modo e continua così fino ad ottenere un solo numero. Qual è l’ultimo numero? (Se la quantità richiesta è un intero n = pa1 1 … pak k , con p1,…, pk primi distinti, fornire come risultato il numero p1a1 +··+ pkak.)
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4574 Fonte: apri PDF p.4
Last number of triangles of sums of squares
The book gives the numbers [75] To decorate the book that recounts his adventures, Bobo decided to write on the first line of the last page the numbers 1,22,32,…,20092. Moving to the bottom line, below each pair of numbers in the top line he writes their sum, then moves to the next line proceeding the same way and continues that way until he gets a single number. What’s the last number? (If the required quantity is an integer n = pa1 1 … pak k, with p1,…, pk prime distinct, giving the resulting number p1a1 +··+ pkak.)
Answer: 4574 src_gas_2009_pubblico__Q19
Volume del solido entro 1.8mm dal perimetro di triangolo equilatero
L’anello di Gaussdalf [80] Dopo la distruzione dell’Unico Anello, anche gli altri anelli magici persero i loro poteri. Solo in seguito Gaussdalf rivelò di possederne uno e lo mostrò a Frobbo. Immaginate un triangolo equilatero di lato 40 mm; l’anello è il solido formato da tutti i punti che distano al più 1.8 mm dal perimetro del triangolo. Quanti millimetri cubi misura il volume dell’anello? Con la collaborazione di
. . Cesenatico . Gara a Squadre .2 .9 X GARA NAZIONALE A SQUADRE Gara del pubblico – SOLUZIONI – 9 maggio 2009 Nr. Problema Pti Soluzione 1 Questione d’onore 10 5864 2 Rettangolo pitagorico 15 1053 3 Antiche battaglie 20 3232 4 Compleanni gobbit 20 0041 5 Incisioni nella roccia 25 0013 6 Luci e ombre 25 8041 7 Riunione a Riemandell 30 6048 8 La luna di Puntor 30 0370 9 Le miniere di Toria 35 9240 10 Una prova di logica 35 4094 11 Il numero leggendario 40 0625 12 Torrette d’assedio 40 2197 13 Mantenere i contatti 45 0444 14 Nove agli uomini mortali 50 7200 15 Gli scalini di Banach Dˆur 55 0195 16 Rinforzi radicali 60 1743 17 Il Poliedril di Tauron 65 7592 18 Strane geometrie 70 0009 19 Il libro dà i numeri 75 4574 20 L’anello di Gaussdalf 80 1205
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1205 Fonte: apri PDF p.4
Volume of solid within 1.8 mm of the perimeter of the equilateral triangle
The Ring of Gaussdalf[80] After the destruction of the One Ring, the other magical rings also lost their powers. Only later did Gaussdalf reveal that he owned one and showed it to Frobbo. Imagine an equilateral triangle with a side of 40 mm; the ring is the solid formed by all points that are at most 1.8 mm away from the perimeter of the triangle. How many cubic millimeters does the volume of the ring measure? With the cooperation of
. . I ‘m not . Team competition .2 .9 X NATIONAL GARA A SQUADER Public competition SOLUTIONS 9 May 2009 No. Problem Pti Solution 1 Question d’honneur 10 5864 2 Pythagorean Rectangle 15 1053 3 Ancient battles 20 3232 4 Birthdays gobbit 20 0041 5 Incisions in the rock 25 0013 6 Lights and Shadows 25 8041 7 Meeting at Riemandell 30 6048 8 The moon of Puntor 30 0370 9 The mines of Toria 35 9240 10 A proof of logic 35 4094 11 The legendary number 40 0625 12 Towers d’assassination 40 2197 13 Maintaining contacts 45 0444 14 Nine to mortal men 50 7200 15 The scatters of Banach Dur 55 0195 16 Radical 60 1743 17 Poliedril forces of Tauron 65 7592 18 Strange Rhineries 709 000 numbers of the book gives the geometry of the numbers 45 75 75 75 20 L’annel Gauss 805 120
Answer: 1205 src_gas_2009_pubblico__Q20