Coincidenza cicli veglia-sonno, settimane e affitto
Una strana coincidenza Il giovane Meriandin Escherbach, detto Morry, alterna regolarmente 12 ore di veglia e 15 di sonno. Il pasticciere del villaggio sforna le sue sfogliatelle celebri in tutta la Contea ogni domenica a mezzogiorno. Sempre a mezzogiorno, ogni 30 giorni esatti, il padrone di casa di Morry viene a reclamare l’affitto. Quest’oggi, Meriandin si è svegliato esattamente mentre il pasticciere sfornava le sfogliatelle e il padrone di casa bussava alla sua porta. Tra quanti giorni questo succederà di nuovo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0630 Fonte: apri PDF p.1
Coincidence of sleep-wake cycles, weeks and rent
A strange coincidence The young Meriandin Escherbach, called Morry, regularly alternates 12 hours of wakefulness and 15 hours of sleep. The village pastry chef throws his celebrated sweets all over the county every Sunday at noon. Always at noon, every 30 days, Morry’s landlord comes to claim the rent. Today, Meriandin woke up exactly as the pastry chef squeezed the broomsticks and the landlord knocked on his door. How many days from now will this happen again?
Answer: 0630 src_gas_2009_semifinale_b__Q01
Area cortile triangolare in quadrato di lato 80
Il cortile di El-Romb Il vertice dei capi dei popoli liberi della Terra di Un Mezzo avviene a casa di El-Romb mezzelfo, a Riemandell. Il giardino della casa è un ampio quadrato ABCD di lato 80 metri. Due raffinate fontane sorgono su M e N i punti medi di AB e CD. El-Romb parla dal punto V, esattamente al centro di MBCN, ad un uditorio che sta tutto all’interno del cortile formato dal triangolo AVN. Quanto misura in metri quadrati la superficie del cortile?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1600 Fonte: apri PDF p.1
Triangular courtyard area in square side 80
The El-Romb courtyard The summit of the leaders of the free peoples of Middle-earth takes place at El-Romb’s home in Riemandell. The garden of the house is a large square ABCD side 80 meters. Two fine fountains rise on M and N the midpoints of AB and CD. El-Romb speaks from point V, right in the middle of MBCN, to an audience that’s all inside the courtyard formed by the AVN triangle. What is the yard area in square meters?
Answer: 1600 src_gas_2009_semifinale_b__Q02
Valore di prodotto/quoziente di differenze di quadrati
L’età degli enti Gli enti o pastori dei boschi, sono alberi intelligenti millenari. Polimino Tuc, detto Polino è invece un esemplare di gobbit, creature che somigliano ad umani piccoli e rotondetti, vivaci e amanti della bella vita. Parlando con un ente, Polino scopre la leggendaria longevità di queste straordinarie creature. Quando Polino gli domanda quanti anni abbia, l’ente risponde serafico e scandendo bene le parole: (20102 −20082)(20102 −20072)(20102 −20062)…(20102 −02) (20092 −20082)(20092 −20072)(20092 −20062)…(20092 −02) Quanti anni ha questo particolare ente?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica, Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4020 Fonte: apri PDF p.1
Product value/quotient of differences in squares
The age of the institutions The institutions, or shepherds of the forests, are millennial intelligent trees. Polimino Tuc, called Polino, is instead a specimen of gobbits, creatures that resemble small, rounded humans, lively and lovers of beautiful life. Talking to an entity, Polino discovers the legendary longevity of these extraordinary creatures. When Polino asks him how old he is, the student responds seraphically and scanning the words: (20102 −20082)(20102 −20072)(20102 −20062)…(20102 −02) (20092 −20082)(20092 −20072)(20092 −20062)…(20092 −02) How old is this particular entity?
Answer: 4020 src_gas_2009_semifinale_b__Q03
Successione con media variazioni, valore termine 1000
Soldato più, soldato meno Le caserme di re Theorem sono piene di soldati che vengono spostati di anno in anno da una sede all’altra a seconda delle necessità. La particolarità è che dall’anno scorso a quest’anno la media tra la variazione di soldati della caserma n e della caserma n+1 è stata n per ogni n ≥1. Sapendo che la caserma 2009 ha avuto 1000 soldati in più, quanti soldati in più ha avuto la caserma 1000?
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2008 Fonte: apri PDF p.1
Succession with average variations, term value 1000
Soldier plus, soldier minus The King Theorem barracks are full of soldiers who are moved from one location to another year on an annual basis as needed. The particularity is that from last year to this year the average change in the number of soldiers in the n and n+1 squadrons was n for each n ≥1. Knowing that the 2009 barracks had 1,000 more soldiers, how many more soldiers did the 1,000 barracks have?
Answer: 2008 src_gas_2009_semifinale_b__Q04
Prodotto (alpha-1)(beta-1) radici polinomio quadratico
La strada breve e quella lunga Nelle miniere di Toria la compagnia di eroi guidata dallo stregone Gaussdalf il Grigio si imbatte in una porta segreta. Aprendola potrebbero accedere ad una scorciatoia importante, ma per farlo occorre conoscere il prodotto (α−1)(β−1), dove α e β sono le radici del polinomio 9x2 +9002x−2009. Dite il prodotto… ed entrate.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0778 Fonte: apri PDF p.1
*Product (alpha-1) (beta-1) square polynomial roots *
In the mines of Toria the company of heroes led by the wizard Gaussdalf the Grey stumbles upon a secret door. If you open it, you could access an important shortcut, but to do so you need to know the product (α−1) ((β−1), where α and β are the roots of the polynomial 9x2 +9002x−2009. Name the product… and come in.
Answer: 0778 src_gas_2009_semifinale_b__Q05
Ultime 4 cifre numeratore frazione minima con ab=28!
Un rischio calcolato Morry scommette con Polino che quest’ultimo non riuscirà a trovare le ultime 4 cifre del numeratore del più piccolo numero razionale della forma a/b (ridotta ai minimi termini) con ab = 28! e tale che b non sia multiplo di 35. Quale numero dovrà indovinare Polino per vincere la scommessa?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2401 Fonte: apri PDF p.1
Last four digits minimum fraction numbering with ab=28!
A calculated risk Morry bets with Polino that the latter will fail to find the last 4 digits of the numerator of the smallest rational number of the form a/b (reduced to minimum terms) with ab = 28! And so b is not a multiple of 35. What number will Polino have to guess to win the bet?
Answer: 2401 src_gas_2009_semifinale_b__Q06
Tentativi massimi combinazione 7 cifre 1-4 senza singole
Una combinazione per l’anello Il destino dei popoli liberi della Terra di Un Mezzo è sulle spalle di un giovane gobbit. Frobbino Massim-Mattlinks, detto Frobbo, è il portatore dell’anello del potere. Per proteggerlo, Frobbo lo ha messo in uno scrigno chiuso con una combinazione. Mentre Frobbo e il suo amico Sam dormono, il malvagio G¨odellum tenta di impossessarsene. Sapendo che la combinazione è composta da 7 cifre, ognuna tra 1 e 4, e che nessuna cifra compare una sola volta, quanti tentativi dovrà effettuare al massimo per riottenere il suo… tesssoro? Gara a Squadre 2009 – Semifinale B – Testi dei problemi – Pag. 1 di 2
Pag. 2 di 2 – Gara a Squadre 2009 – Semifinale B – Testi dei problemi
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3196 Fonte: apri PDF p.1
Maximum combined attempts of 7 digits 1-4 without singles
The fate of the free peoples of One Middle Earth rests on the shoulders of a young gobbit. Frobino Massim-Mattlinks, called Frobbo, is the bearer of the ring of power. To protect him, Frobbo put him in a closed box with a combination. While Frobbo and his friend Sam are sleeping, the evil G’dellum tries to take over. Knowing that the combination is made up of 7 digits, each between 1 and 4, and that no number appears once, how many attempts will you have to make to get your number back? . . What, honey? Team competition 2009 Semifinal B Problem texts Pag. 1 di 2
I’m going to pay. 2 out of 2 Team competition 2009 Semifinal B Problem tests
Answer: 3196 src_gas_2009_semifinale_b__Q07
Tentativi massimi lucchetto 5 cifre con tre uguali
I segreti della principessa La principessa Euleryn ha un diario segreto protetto da un lucchetto con 5 cifre. Hermilinguo vuole aprirlo e sa che esattamente 3 cifre sono uguali, ma non sa in che posizione si trovino n´e quali siano. Quanti tentativi dovrà fare al massimo?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7200 Fonte: apri PDF p.2
Maximum five-digit lock attempts with three equals
Princess Euleryn has a secret diary protected by a five-digit lock. Hermilinguo wants to open it and he knows exactly three digits are the same, but he doesn’t know where they are and what they are. How many attempts will you have to make?
Answer: 7200 src_gas_2009_semifinale_b__Q08
Spigoli minimi cancellati per cammino euleriano su icosaedro
Le visioni di Divisor I Poliedril o pietre veggenti, sono magici cristalli che permettono di vedere cose remote nel tempo e nello spazio. Tauron detto l’Oscuro Sire della Terra di Un Mezzo, o semplicemente il Nemico, ha sabotato il Poliedril di re Divisor, che ora mostra solo immagini spaventose e reality show. Il Poliedril ha la forma di un icosaedro ma Tauron ha “cancellato” magicamente alcuni spigoli del solido. Adesso è possibile percorrere l’intero “scheletro” formato dai restanti spigoli passando una ed una sola volta per ognuno di essi. Quanti spigoli ha cancellato come minimo?
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0005 Fonte: apri PDF p.2
Minimum cleared eulerian path mirrors on icosahedron
The visions of Divisor I Polyedril, or visionary stones, are magical crystals that allow you to see remote things in time and space. Tauron called the Dark Lord of Middle-earth, or simply the Enemy, sabotaged King Divisor’s Polyedril, which now only shows scary images and reality shows. The polyhedron has the shape of an icosahedron but Tauron magically erased some of the solid’s stalks. It is now possible to travel the entire skeleton formed by the remaining spines by passing once and only once for each of them. How many lashes did you wipe at least?
Answer: 0005 src_gas_2009_semifinale_b__Q09
Minimo soldati totali con 5a^4=6b^3
Lo scontro dei grandi numeri Nel mezzo dello scontro tra le forze dell’Oscuro Sire e i popoli liberi della Terra di Un Mezzo, Gaussdalf si accorge che, dette a le unità dell’esercito di Tauron e b le unità che costituiscono quello dei popoli liberi, vale la relazione 5a4 = 6b3. Qual è il numero totale minimo di soldati presenti sul campo di battaglia considerando entrambi gli eserciti e supponendo che effettivamente almeno qualcuno ci fosse?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0900 Fonte: apri PDF p.2
Minimum total number of soldiers with 5a^4=6b
In the midst of the clash between the forces of the Dark Lord and the free peoples of One Middle Earth, Gaussdalf realizes that, given to the units of Tauron’s army and b the units that constitute that of the free peoples, the ratio 5a4 = 6b3 is true. What is the minimum total number of soldiers on the battlefield considering both armies and assuming that at least someone was actually there?
Answer: 0900 src_gas_2009_semifinale_b__Q10
Raggio cerchio inscritto in trapezio rettangolo dato area
Una scatola su misura I nazgul si avvicinano, e Frobbo nasconde l’anello in un contenitore quadrangolare ABCD di area 6480 mm2, in cui AD è perpendicolare ad AB e a CD e tale che 4AB = 5CD. L’anello calza perfettamente nel contenitore, toccandone tutti e quattro i lati. Quanti millimetri misura il raggio dell’anello?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0040 Fonte: apri PDF p.2
A circle beam inscribed in a rectangular trapezoid given area
A tailor-made box The nazgul approaches, and Frobbo hides the ring in a quadrilateral ABCD container of area 6480 mm2, where AD is perpendicular to AB and CD and such that 4AB = 5CD. The ring fits perfectly into the container, touching all four sides. How many millimeters does the radius of the ring measure?
Answer: 0040 src_gas_2009_semifinale_b__Q11
Numero di sovrapposizioni di tre sfere su circonferenza
Le luci dell’anello Tra le numerose caratteristiche dell’anello vi è una singolare e inquietante luminosità che si manifesta per un fenomeno molto strano. Tre sfere di energia percorrono l’intera circonferenza dell’anello nello stesso verso con velocità costanti, rispettivamente di 2009, 1246 e 763 giri al minuto. Quando almeno 2 di esse si trovano sovrapposte, un leggero bagliore si sprigiona dall’anello. Quanti bagliori si verificano ogni minuto, se in un dato istante le tre sfere sono perfettamente sovrapposte?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2478 Fonte: apri PDF p.2
Number of overlays of three spheres on circumference
Among the many characteristics of the ring is a singular and disturbing brightness that is manifested by a very strange phenomenon. Three energy spheres travel the entire circumference of the ring in the same direction at constant speeds, respectively of 2009, 1246 and 763 rounds per minute. When at least two of them are overlapping, a slight glow is released from the ring. How many flashes occur every minute if at any given moment the three spheres are perfectly overlapping?
Answer: 2478 src_gas_2009_semifinale_b__Q12
Angolo ABC in quadrilatero con cerchio e archi
Le mura della torre La torre dello stregone Sarumath il Bianco, signore di Isengraf e traditore dei popoli liberi, sorge in mezzo ad una piana ed è circondata da due perimetri di mura che si intersecano tra loro: le mura più antiche disegnano nella piana un quadrilatero convesso ABCD, mentre quelle più recenti sono di forma circolare e si intersecano 8 volte con le prime, restando suddivise dai punti di intersezione in 8 archi. Di questi ultimi, i 4 interni alle mura antiche sono tali che le somme delle lunghezze di due non consecutivi sono uguali tra loro. L’angolo d DAB del quadrilatero vale 108°; inoltre, d BCD −d CDA = 30°. Determinare l’angolo d ABC.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0138 Fonte: apri PDF p.2
*Rectangular angle ABC with circle and arc *
The tower’s walls The tower of the sorcerer Sarumath the White, lord of Isengraf and traitor of the free peoples, stands in the middle of a plain and is surrounded by two perimeters of walls that intersect each other: the oldest walls draw in the plain a convex quadrilateral ABCD, while the most recent ones are circular in shape and intersect 8 times with the former, remaining divided by the intersection points into 8 arches. Of these, the 4 interiors of the ancient walls are such that the sums of the lengths of two non-consecutive ones are equal to each other. The DAB angle of the quadrilateral is 108°; furthermore, d BCD −d CDA = 30°. Determine the angle d of ABC.
Answer: 0138 src_gas_2009_semifinale_b__Q13
Somma valori assoluti soluzioni intere equazione diofantea
L’anello del potere Frobbo ha ereditato anni fa l’anello del potere dal suo parente Bobo Mattlinks. Frobbo si è chiesto molte volte come Gaussdalf abbia scoperto che quello di Bobo era davvero l’anello del potere. Ebbene, un’antica pergamena dice che l’anello si sarebbe illuminato se qualcuno avesse pronunciato le soluzioni intere (x,y) dell’equazione 2x2 +5y2 xy−14 = 11 Gaussdalf racconta con emozione del giorno in cui, dopo aver a lungo riflettuto, prese in mano l’anello e iniziò recitare le soluzioni. Quanto vale la somma dei valori assoluti di tutti i numeri che disse in quell’occasione?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0164 Fonte: apri PDF p.2
Summary absolute values solutions of the whole diophantine equation
The power ring Frobbo inherited years ago the power ring from his cousin Bobo Mattlinks. Frobbo has often wondered how Gaussdalf discovered that Bobo’s was really the ring of power. Well, an ancient scroll says that the ring would have lit up if someone had pronounced the whole solutions (x,y) of the equation 2x2 +5y2 xy−14 = 11 Gaussdalf recounts with emotion the day when, after a long reflection, he took the ring in his hand and began to recite the solutions. What is the sum of the absolute values of all the numbers you said on that occasion?
Answer: 0164 src_gas_2009_semifinale_b__Q14
Massima distanza tra due punti date somme quadrati ai vertici
La battaglia di Puntor L’epica battaglia di Puntor, tra Gaussdalf e Tauron, ebbe luogo in una foresta quadrata, dal perimetro di 68 Km. Le scritture riportano, per entrambi i contendenti, la somma dei quadrati delle distanze dai vertici del campo di battaglia: Gaussdalf 747 Km2, Tauron 603 Km2. Da quanti metri di distanza dovettero affrontarsi, al massimo, lo stregone e l’oscuro signore?
Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 9000 Fonte: apri PDF p.2
Maximum distance between two points given sums squared at vertices
The Battle of Pontor The Battle of Pontor, between Gaussdalf and Tauron, took place in a square forest, from the perimeter of 68 Km. The scriptures record, for both contenders, the sum of the squares of the distances from the vertices of the battlefield: Gaussdalf 747 Km2, Tauron 603 Km2. How many yards away did the wizard and the dark lord have to face each other?
Answer: 9000 src_gas_2009_semifinale_b__Q15
Probabilita di fuga colpito esattamente una volta su 4 tiri
Tiro con l’orco Dopo una feroce battaglia con il nano Gim-Lie, un orco si dà alla fuga. Quando è ormai quasi al sicuro nella foresta, Legalois lo nota e scaglia in rapida successione 4 frecce, ma dato che il bersaglio si allontana, la sua precisione è sempre minore: ha 1/4 di probabilità di colpirlo con la prima freccia, 1/5 con la seconda, e così via, fino a 1/7 con la quarta. Sapendo che il nemico riesce a fuggire se colpito 1 volta, ma non se viene colpito 2 volte, qual è la probabilità che riesca a scappare? (Come risultato fornire la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.)
. . Cesenatico . Gara a Squadre .2 .9 X GARA NAZIONALE A SQUADRE Semifinale B – SOLUZIONI – 8 maggio 2009 Nr. Problema
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0257 Fonte: apri PDF p.2
Probability of escape hit exactly once in 4 shots
After a fierce battle with the dwarf Gim-Lie, an orc escapes. When it is now almost safe in the forest, Legalois notices it and scores in quick succession 4 arrows, but as the target moves away, its accuracy is always less: it has a 1/4 chance of hitting it with the first arrow, 1/5 with the second, and so on, up to 1/7 with the fourth. Knowing that the enemy can escape if hit once, but not if hit twice, what is the probability that he can escape? (As a result, provide the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.)
. . I ‘m not . Competition in teams .2 .9 X NATIONAL GARA A Semifinal squad B SOLUTIONS 8 May 2009 Nr. The problem
Answer: 0257 src_gas_2009_semifinale_b__Q16