Anni multipli auto-referenziale fino al 2010
Il Bar ScummTM All’alba dell’8 maggio 1726, Jack Disparrow, Bourbakossa e Elizabeth Somm siedono sbronzi al tavolo di un bar, quando si presenta un giovane dall’aria ingenua che dice di aver saputo che per diventare un π-rata deve rivolgersi in quel bar ai tre π-rati dall’aspetto importante. Tra il serio e il faceto, i tre amici gli sottopongono un quesito piratesco: “Quanti sono gli anni da adesso al 2010 che sono multipli della risposta a questa domanda?”
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0017 Fonte: apri PDF p.1
Multiple self-reference years up to 2010
The Scumm BarTM At dawn on May 8, 1726, Jack Disparrow, Bourbakossa and Elizabeth Somm sit drunk at a bar table, when a naive young man shows up who says he knows that in order to become a π-rate he must turn to the three π-rates in that bar. Between the serious and the factual, the three friends ask him a pirate question: How many years from now to 2010 are multiple of the answer to this question?
Answer: 0017 src_gas_2010_finale__Q01
Totale partecipanti da n,m radici di equazione quadratica
Lotta tra le flotte Nell’epico scontro tra la flotta dei π-rati e quella della Compagnia delle Indie Orientali, come si racconterà per generazioni, le n navi guidate da Capitan Jack Disparrow sconfissero le m navi della flotta di Lord Bracket, dove n ed m sono le soluzioni dell’equazione x2 −126x + 3293 = 0. Sapendo che su ognuna delle n navi di Disparrow c’erano n π-rati e che su ogni nave della Compagnia c’erano m militari, quanti in tutto parteciparono allo scontro?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 9290 Fonte: apri PDF p.1
Total participants from n,m roots of the quadratic equation
In the epic clash between theπ-rate fleet and that of the East India Company, as will be told for generations, the n ships led by Captain Jack Disparrow defeated the m ships of Lord Bracket’s fleet, where n and m are the solutions of the x2 −126x + 3293 = 0. Knowing that each of Disparrow’s ships hadπ-rates and that each of the Company’s ships had military personnel, how many in all took part in the encounter?
Answer: 9290 src_gas_2010_finale__Q02
Modi disporre 28 bottiglie su 7 mensole con somme non multiple di 3
π-rata nobile e pure esteta Il sanguinario Bourbakossa è sorprendentemente anche un fine esteta e vuole mettere ordine nella sua cantina, dopo il passaggio di Jack. Egli possiede 28 bottiglie identiche di rum, che vuole disporre sulle 7 mensole della sua cabina in modo che: ce ne sia un numero diverso per ogni mensola e per ogni n = 1,2,…,7 il numero complessivo di bottiglie sulle prime n mensole non sia multiplo di 3. In quanti modi diversi può riempire le mensole, in modo che nessuna di esse risulti vuota?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0360 Fonte: apri PDF p.1
How to dispose of 28 bottles on 7 shelves with non-multiple sums of 3*
The bloody Bourbakossa is surprisingly also an aesthetic end and wants to put order in his basement after Jack’s passing. He has 28 identical bottles of rum, which he wants to place on the 7 shelves of his cabin so that: there is a different number for each shelf and for each n = 1,2,…,7 the total number of bottles on the first n shelves is not multiple by 3. How many different ways can you fill shelves so that none of them are empty?
Answer: 0360 src_gas_2010_finale__Q03
Somma interi uguali al quadrato della somma delle proprie cifre
Il pendolo della salvezza Alcuni π-rati sono stati imprigionati dai cannibali in una gabbia che penzola in mezzo ad un burrone e legata ad una lunga fune. Per fuggire devono far oscillare la fune fino ad arrivare alla parete del burrone. Elizabeth calcola che il numero di oscillazioni necessarie è la somma degli interi positivi che sono uguali al quadrato della somma delle proprie cifre. Quante oscillazioni dovranno fare, se i suoi calcoli sono giusti?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0082 Fonte: apri PDF p.1
Total of integers equal to the square of the sum of their digits
Some rats have been imprisoned by cannibals in a cage that hangs in the middle of a cage and is tied to a long rope. To escape, they have to swing the rope to the wall of the canyon. Elizabeth calculates that the number of oscillations needed is the sum of the positive integers that are equal to the square of the sum of their digits. How many oscillations will he have to make if his calculations are correct?
Answer: 0082 src_gas_2010_finale__Q04
Somma numeri 4 cifre con vincoli su somme e parita cifre
Pirateria musicale Tutti i π-rati amano la musica, ma quelli veramente puristi non vogliono pagarla, e si limitano a “navigare” fino a che trovano l’occasione propizia per “scaricarla” illegalmente (dalle navi catturate! Che avevate capito!). Jack è sulle tracce di un carico di Menestrelli Pirateschi 3-mendi e per sapere dove intercettare la nave che li trasporta deve trovare tutti i numeri di 4 cifre tali che: Gara a Squadre 2010 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 1/4
2/4 Gara a Squadre 2010 – Finale Nazionale – Testi dei problemi la somma della prima e della terza cifra sia uguale alla somma della seconda e della quarta cifra e sia uguale a 9; non ci siano due cifre dispari vicine; la prima cifra (cioè quella delle migliaia) sia minore della seconda e della quarta. La somma di tutti i numeri che soddisfano questi requisiti rappresenta le coordinate del carico da depredare. Determinare tale somma.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7920 Fonte: apri PDF p.1
sum of 4-digit numbers with constraints on sums and even digits
Music piracy Allπ-rates love music, but those who are truly purists don’t want to pay for it, and they just navigate until they find the opportunity to download it illegally (from captured ships! That you understood!). Jack is on the trail of a shipment of 3-man Pirate Menestrelli and to know where to intercept the ship carrying them he must find all the four-digit numbers such as:
2/4 Team competition 2010 National Final Problem texts the sum of the first and third digits is equal to the sum of the second and fourth digits and is equal to 9; there are no two odd numbers nearby; the first digit (i.e. the thousand) is less than the second and fourth. The sum of all the numbers satisfying these requirements represents the loading coordinates. Determine that amount.
Answer: 7920 src_gas_2010_finale__Q05
Massimo tempo corsa andata-ritorno con velocita diverse
La corsa mattutina Prima di diventare un temibile π-rata, l’armaiolo e spadaccino dilettante Will Turing si teneva allenato facendo tutti i giorni una corsetta dalla sua bottega nella città alta fin giù al molo, distante 5km, tornando poi per la stessa strada. Will spiega a Elizabeth che nei tratti in piano la velocità media della sua corsa era di 20 km/h; nei tratti in discesa si lanciava fino a raggiungere una media di 30 km/h, mentre in salita (pant…pant…) non riusciva che a fare i 15 km/h di media. Will sfida Elizabeth a indovinare quanto tempo impiegava tutti i giorni per la sua corsetta. Al massimo, quanti secondi potevano essere?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo, Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: 1800 Fonte: apri PDF p.2
Maximum round trip time with different speeds
Before he became a formidable rat, amateur swordsman and gunner Will Turing trained himself every day from his shop in the uptown downtown to the pier, 5km away, then back down the same road. Will explains to Elizabeth that on the plane the average speed of his race was 20 km/h; on the downhill he jumped to an average of 30 km/h, while on the climb (pant…pant…) he could only do the 15 km/h average. Will challenged Elizabeth to guess how long it took her to run her race every day. At most, how many seconds could it be?
Answer: 1800 src_gas_2010_finale__Q06
Minuti settimanali in cui ago bussola indica il nord
La bussola impazzita La bussola di Jack Disparrow non indica quasi mai il nord. A mezzanotte di un certo giorno la bussola indica il nord e inizia a muoversi seguendo questo algoritmo: ogni 5 minuti l’ago si sposta improvvisamente in avanti di 90 gradi e poi torna altrettanto istantaneamente indietro di un numero di gradi pari a 6 volte il numero dei minuti passati fino a quel momento iniziando a contare dalla mezzanotte. Per quanti minuti nel corso di una settimana la bussola indica esattamente il nord?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1680 Fonte: apri PDF p.2
Weekly minutes in which a compass needle points north
Jack Disparrow’s compass almost never points north. At midnight on a certain day, the compass points north and starts moving by following this algorithm: every 5 minutes the ago suddenly moves forward by 90 degrees and then returns just as instantly back by a number of degrees equal to 6 times the number of minutes passed until that time starting to count from midnight. For how many minutes over the course of a week does the compass point exactly north?
Answer: 1680 src_gas_2010_finale__Q07
Numero tavolate di 5 quadrati con 12 posti a meno di rotazioni
Osteria dei Sargassi I π-rati della Perla Vera sono a cena presso l’osteria dei Sargassi; vogliono unire 5 tavoli quadrati (facendone combaciare dei lati) in modo da avere un’unica tavolata da 12 posti. (Un posto corrisponde a un lato libero di un quadrato). Quante tavolate soddisfano le richieste, considerando come distinte due tavolate che lo siano a meno di rotazioni (ma non di simmetrie)?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.2
Number of 5 square tables with 12 seats without rotation
Sargassi Osteria The π-rates of Perla Vera are dining at the Sargassi Osteria; they want to combine 5 square tables (making them match sides) so that they have a single table with 12 seats. (A place corresponds to a free side of a square). How many tables meet the requirements, considering as distinct two tables that are not rotational (but not symmetrical)?
Answer: 0016 src_gas_2010_finale__Q08
Prodotto ab con poligoni regolari aggiunti e angolo minimo*
Al Perimetro del Mondo Bourbakossa è infine riuscito a sottrarre la Mappa del Perimetro del Mondo al π-rata Sao Feng e la sta studiando comodamente sul suo vascello. Ruotando e spostando i vari pezzi mobili della Mappa, Bourbakossa fa comparire un esagono regolare. Successivamente aggiunge esternamente ad esso tutti i pentagoni regolari che può, in modo che abbiano tutti un lato in comune con la figura precedente, senza che si sovrappongano; ripete la procedura sui pentagoni facendo comparire tutti i possibili quadrati, e sui quadrati aggiungendo tutti i possibili triangoli equilateri, sempre in modo che non ci siano sovrapposizioni con quanto già costruito. Sia a il numero di poligoni regolari che compongono la figura finale e sia b la misura in gradi del più piccolo angolo non nullo che si viene a formare tra due qualsiasi lati con un vertice in comune. Quanto vale ab?
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0444 Fonte: apri PDF p.2
Product ab with added regular polygons and minimum angle*
At the World Perimeter Bourbakossa has finally managed to extract the World Perimeter Map from the π-rat Sao Feng and is studying it comfortably on his ship. By rotating and moving the various moving parts of the Map, Bourbakossa makes a regular hexagon appear. He then adds all the regular pentagons he can to it externally, so that they all have a side in common with the figure above, without overlapping; he repeats the procedure on the pentagons by appearing all the possible squares, and on the squares by adding all the possible equilateral triangles, always so that there are no overlapping with what has already been built. Both the number of regular polygons that make up the final figure and b the degree measure of the smallest non-zero angle that is formed between any two sides with a common vertex. How much is ab worth?
Answer: 0444 src_gas_2010_finale__Q09
Media in base 10 dei numeri pandigitali in base 5
Per una mano in più A causa dei continui duelli, la probabilità che un π-rata perda una mano in un combattimento è estremamente elevata. Per questo motivo, nella comunità dei π-rati la base di numerazione decimale è sostituita dalla numerazione in base 5. Ragetti, il mozzo dall’occhio di legno sta facendo il seguente gioco: scrive su un foglio tutti i numeri che, in base 5, si scrivono utilizzando una ed una sola volta tutte le cifre da 0 a 4 (lo 0 può essere anche in posizione iniziale). Infine, calcola la media di tutti i numeri che ha scritto. Che numero ha ottenuto, in base 10? 14 Pezzi meno facili
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1562 Fonte: apri PDF p.2
Mean of base 10 of the digits on base 5
For an extra hand Due to continuous duels, the likelihood that anπ-rat will lose a hand in a fight is extremely high. For this reason, in the π-rate community the decimal numbering base is replaced by the numbering base 5. Ragetti, the guy with the wooden eye is playing the following game: he writes on a sheet all the numbers that, on base 5, are written using once and only once all the numbers from 0 to 4 (the 0 can also be in the initial position). Finally, calculate the average of all the numbers you wrote. What number did you get, base 10? 14 Less easy pieces
Answer: 1562 src_gas_2010_finale__Q10
Valore atteso tessere multiple di 7 prima della rossa
Chi cerca i favori di Davy Jensen? Il π-rata maledetto Davy Jensen ha una borsa che contiene 90 tessere bianche della tombola (numerate da 1 a 90), più 1 singola tessera rosso sangue. Chiunque gli chieda i suoi favori, per sapere per quanti anni ne potrà godere, si sottopone al seguente gioco: estrae le tessere a caso una alla volta, fino a che non esce la tessera rossa. Chi gioca, avrà i favori per tanti anni quante sono le tessere bianche con un numero multiplo di 7 che sono uscite prima di quella rossa. Bill “Sputafuoco” Turing, che osserva in disparte, si domanda mediamente quanti anni si vincano in questo modo. Jack non capisce esattamente cosa intenda il suo collega π-rata, ma suo figlio Will, che ha studiato, gli spiega che tra i tanti modi di definire il numero medio di anni vinti (tutti che portano allo stesso risultato) quello più comune è la somma dei numeri k · pk dove, per ogni numero naturale 0 ≤k ≤12, pk è la probabilità che gli anni vinti siano k. Qual è il numero medio di anni vinti? [Come risultato fornire il prodotto di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini]
Gara a Squadre 2010 – Finale Nazionale – Testi dei problemi 3/4
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0006 Fonte: apri PDF p.2
Expected value of multiple cards of 7 before red
Who’s looking for favors from Davy Jensen? The cursed Davy Jensen rat has a purse containing 90 white tiles of the tomb (numbered 1 to 90), plus 1 single red card of blood. Whoever asks him for his favors, to know how many years he can enjoy them, submits to the following game: he draws the cards randomly one at a time, until the red card comes out. If you play, you’ll have the favorites for so many years as are the white cards with a multiple of 7 that came out before the red one. Bill Turing, who observes from a different angle, wonders how many years you’ve been doing this on average. Jack doesn’t understand exactly what his colleague π-rate means, but his son Will, who studied, explains that among the many ways to define the average number of years won (all leading to the same result) the most common is the sum of the numbers k · pk where, for every natural number 0 ≤k ≤12, pk is the probability that the years won are k. What’s the average number of years won? [As a result, provide the product of the reduced fraction numerator and denominator to the minimum terms]
Team competition 2010 National final Problem tests 3/4
Answer: 0006 src_gas_2010_finale__Q11
Angolo QRP da bisettrici esterne con SP=PR=RT
La bocca del Cramer Nessuno sa esattamente come sia fatta la bocca del Cramer (almeno nessuno è vissuto per raccontarlo). Una leggenda però parla di una particolare forma triangolare… Nel triangolo PQR sia QR < PR < PQ e sia S l’intersezione fra la bisettrice dell’angolo esterno in P e la retta QR. Sia inoltre T l’intersezione fra la bisettrice dell’angolo esterno in R e la retta PQ. Sapendo che SP = PR = RT, trovare quanto misura l’angolo Q ˆRP. Rispondere in minuti di arco. (Un minuto di arco è 1/60 di grado.)
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 7920 Fonte: apri PDF p.3
QRP angle from external beacons with SP=PR=RT
The mouth of the Cramer No one knows exactly how the mouth of the Cramer is made (at least no one has lived to tell it). But there’s a legend about a particular triangular shape. In the PQR triangle both QR < PR < PQ and S are the intersection between the outer-angle intersection in P and the QR straight. In addition, T is the intersection between the outer angle beam in R and the straight PQ. Knowing that SP = PR = RT, find out how long the angle Q ˆRP is. Answer in arc minutes. (One minute of arc is 1/60 of a degree.)
Answer: 7920 src_gas_2010_finale__Q12
Somma vinta in successione di puntate a(n+1)=2a(n)+2n-1
Alzare la posta Will Turing non ha mai mandato giù la sua sconfitta nel duello con Jack Disparrow, quando si sono conosciuti. Ogni anno, per 40 anni, si incontrano e duellano: entrambi puntano la stessa somma di denaro e alla fine uno dei due vince e si prende tutto il piatto. Il primo anno la puntata è a1 = 2010 dobloni, poi gli anni successivi puntano una somma di denaro data dalla formula an+1 = 2an +2n−1 dove n = 1,..,39. Alla fine di questa grande sfida di 40 duelli Will risulta colui che ha vinto più dobloni ma Jack è comunque contento perché ha perso il minimo possibile. Quanti dobloni ha vinto Will?
Topic: successioni Metodo: Ricorsione, Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 3531 Fonte: apri PDF p.3
Summary of bets won in succession a(n+1)=2a(n)+2n-1
Will Turing never lowered his defeat in a duel with Jack Disparrow when they met. Every year, for 40 years, they meet and duel, both bet the same amount of money, and in the end one of the two wins and gets the whole plate. The first year the bet is a1 = 2010 doubles, then the following years bet a sum of money given by the formula an+1 = 2an +2n−1 where n = 1,..,39. At the end of this big 40-game challenge, Will is the one who has won the most doubles, but Jack is still happy because he lost the least possible. How many doubles has Will won?
Answer: 3531 src_gas_2010_finale__Q13
Diametro sfera con due cerchi ortogonali tangenti in due punti
Il talismano anti-Cramer Jack è sempre più terrorizzato dal Cramer, che sente ovunque la sua presenza e cerca senza tregua la sua nave. La lady voodoo Tria Geome, usando i suoi poteri Geomistici, lo aiuterà a costruire un talismano che può tenere lontana la creatura. Gli spiega che dovrà fabbricare una sfera di creta sulla cui superficie dovrà tracciare due circonferenze mistiche. Queste circonferenze dovranno avere diametri di 50 e 36 cm, dovranno giacere su piani ortogonali, e dovranno toccarsi in due punti distanti 14 cm. Quanti millimetri dovrà misurare il diametro della sfera di creta?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0600 Fonte: apri PDF p.3
Diameter of sphere with two orthogonal circles tangent to two points
Anti-Cramer talisman Jack is increasingly terrified of Cramer, who hears his presence everywhere and searches relentlessly for his ship. The voodoo lady Tria Geome, using her Geomystic powers, will help him build a talisman that can keep the creature away. He explains that he will have to make a ball of clay on whose surface he will have to draw two mystical circles. These circumferences shall have a diameter of 50 and 36 cm, shall lie on straight planes, and shall be touched at two points 14 cm apart. How many millimeters will you have to measure the diameter of the clay sphere?
Answer: 0600 src_gas_2010_finale__Q14
Conteggio interi esprimibili come [2x]+[4x]+[8x]+[12x]
L’organo del capitano Come tutti i capitani malinconici, anche Davy Jensen suona l’organo, e ne ha fatto installare sull’Olandese Secante uno molto particolare, che ha 9999 tasti numerati a 1 a 9999. Di questi tasti sono bianchi tutti e soli quelli il cui numero può essere scritto come [2x]+[4x]+[8x]+[12x] per qualche x reale. Gli altri sono neri. Quanti sono i tasti bianchi? (Si ricorda che il simbolo [·] denota la parte intera, quindi se y è un numero reale, [y] denota il più grande intero minore o uguale a y.)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6154 Fonte: apri PDF p.3
Interies expressed as [2x]+[4x]+[8x]+[12x]
Like all melancholy captains, Davy Jensen also plays the organ, and has a very special one installed on the Dutch Secante, which has 9999 keys numbered from 1 to 9999. Of these keys all are white and only those whose number can be written as [2x]+[4x]+[8x]+[12x] for some real x. The others are black. How many white keys are there? (Remember that the symbol [·] denotes the whole, so if y is a real number, [y] denotes the largest integer less or equal to y.)
Answer: 6154 src_gas_2010_finale__Q15
Triangoli non congruenti con vertici in poligono di 144 lati
Il delirio di Jack Disparrow Jack alla fine non è riuscito a sfuggire al Cramer, che se lo è pappato con tutta la Perla Vera. Ora, prigioniero oltre il Perimetro del Mondo, è in preda alle allucinazioni. Dall’albero maestro della Perla Vera guarda in basso e vede 144 granchi sassosi che cominciano a muoversi disponendosi ai vertici di un poligono regolare di 144 lati. Ancora in preda alle allucinazioni si domanda quanti siano i triangoli non congruenti che hanno vertici nei vertici del poligono. Qual è la risposta? (Si ricorda che in particolare triangoli simmetrici rispetto ad una retta sono congruenti.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1728 Fonte: apri PDF p.3
Non-conforming triangles with 144 side polygon vertices
Jack Disparrow’s delirium finally failed to escape the Cramer, who fucked him up with all the True Pearl. Now, a prisoner beyond the Perimeter of the World, he’s a victim of hallucinations. From the tree the master of the Pearl of Truth looks down and sees 144 rocky crabs that begin to move by positioning themselves at the tops of a regular polygon of 144 sides. Still in the midst of hallucinations one wonders how many non-conforming triangles have vertices in the vertices of the polygon. What’s the answer? (Remember that in particular symmetrical triangles with respect to a straight line are congruent.)
Answer: 1728 src_gas_2010_finale__Q16
mcm di tre interi con a+b+c=2010 e 1/a+1/b+1/c=1/58
Lo scrigno di Davy Jensen Jack e il suo equipaggio sono prigionieri nello scrigno di Davy Jensen, le acque mistiche oltre il Perimetro del Mondo. Al tramonto Capitan Disparrow capisce come tornare nel mondo dei vivi: occorre rovesciare la nave in modo che navighi sottosopra, e contemporaneamente occorre trovare tre interi positivi a, b, c, tali che a+b+c = 2010 e che si possano rovesciare anche loro, ottenendo che 1/a + 1/b + 1/c = 1/58. Mentre con un verde baleno i π-rati tornano nel mondo dei vivi, rispondere il minimo comune multiplo dei tre interi.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5220 Fonte: apri PDF p.3
mcm of three integers with a+b+c=2010 and 1/a+1/b+1/c=1/58
Jack and his crew are trapped in Davy Jensen’s coffin, the mystical waters beyond the Perimeter of the World. At sunset Captain Disparrow understands how to return to the world of the living: you have to overturn the ship so that you sail above it, and at the same time you have to find three positive integers a, b, c, such that a+b+c = 2010 and that you can overturn them too, obtaining that 1/a + 1/b + 1/c = 1/58. While with a green whale theπ-rats return to the world of the living, responding to the minimum common multiple of the three integers.
Answer: 5220 src_gas_2010_finale__Q17
Area triangolo rettangolo da area esagono coi quadrati esterni
La bussola di Jack Disparrow La magica bussola che è in possesso di Jack Disparrow è stata creata da Tria Geome, usando rigorosi criteri Geomistici. La forma della bussola infatti è un esagono ottenuto come segue: si parte da un triangolo rettangolo con cateti che misurano un numero intero di mm; si costruiscono sui suoi lati i tre quadrati (esterni); si uniscono infine a due a due i vertici dei quadrati che non stanno sul triangolo, in modo da ottenere un esagono convesso. Sapendo che l’area dell’esagono misura 1922 mm2, determinare l’area del triangolo di partenza.
Topic: Geometria piana Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0132 Fonte: apri PDF p.3
Area triangle rectangle from area hexagon with outer squares
Jack Disparrow’s compass The magical compass that Jack Disparrow owns was created by Tria Geome, using strict Geomatics criteria. The shape of the compass is a hexagon obtained as follows: it starts from a rectangular triangle with catets measuring an integer number of mm; the three squares (external) are built on its sides; the vertices of the squares not on the triangle are finally joined to two by two, in order to obtain a convex hexagon. Knowing that the area of the hexagon is 1922 mm2, determine the area of the starting triangle.
Answer: 0132 src_gas_2010_finale__Q18
Minimo a+b+c con relazione su mcm e MCD
Il cruccio di Cutler Bracket La fratellanza dei π-rati nobili si raduna in un luogo segreto detto la Città dei Relitti. Per comunicarne le coordinate ai nuovi affiliati, si usano dei messaggi in codice, comprensibili solo da veri π-rati. Lord Bracket ne ha intercettato uno e da un po’ si scervella senza successo: “Le coordinate sono tre numeri interi positivi a,b,c tali che nessuno dei tre è multiplo di un altro, mcm(a,b)·mcm(b,c)·mcm(a,c) = a·b·c·MCD(a,b,c) e il valore di a+b+c è il minimo possibile.” Quanto vale a+b+c?
4/4 Gara a Squadre 2010 – Finale Nazionale – Testi dei problemi
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0300 Fonte: apri PDF p.3
Minimum a+b+c with respect to mcm and MCD
Cutler Bracket’s cross The fraternity of noble rats gathers in a secret place called the City of Relics. To communicate their coordinates to new affiliates, coded messages are used, which can only be understood by real π-rates. Lord Bracket has intercepted one of them and a little bit later it is unsuccessful: The coordinates are three positive integers a,b,c such that none of the three is multiple of another, mcm(a,b)·mcm(b,c)·mcm(a,c) = a·b·c·MCD(a,b,c) and the value of a+b+c is the least possible. How much is a+b+c?
4/4 Team competition 2010 National final Problem texts
Answer: 0300 src_gas_2010_finale__Q19
Prodotto ab con a^2-b^2 quadrato perfetto minimo, cifre scambiate*
Il cane con le chiavi Dopo l’ennesimo voltafaccia, Jack Disparrow è rinchiuso in una cella dell’Olandese Secante. Immancabilmente compare Spiffy, il cane con le chiavi, e Jack tenta di attirarlo senza successo. Dal buio della cella emerge Bill “Sputafuoco” Turing, che gli spiega: “Il cane risponde solo a chi conosce i numeri magici a e b e pronuncia il loro prodotto. Ti darò qualche indizio: a è un intero positivo di due cifre distinte; b si ottiene da a scambiandone le cifre; la differenza a2 −b2 è un quadrato perfetto ed è, inoltre, la minima possibile.” Che numero deve pronunciare Jack per attirare Spiffy?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3640 Fonte: apri PDF p.4
Product ab with a^2-b^2 perfect square minimum, figures exchanged*
The dog with the keys. After the second time, Jack Disparrow is locked up in a dried-up Dutch cell. Spiffy, the dog with the keys, inevitably shows up, and Jack tries to lure him unsuccessfully. Out of the darkness of the cell emerges Bill Turing, who explains: “The dog answers only to those who know the magic numbers a and b and pronounces their product. I’ll give you some clues: a is a positive integer of two distinct digits; b is obtained from a by exchanging the digits; the difference a2 −b2 is a perfect square and is also the least possible. What number must Jack pronounce to attract Spiffy?
Answer: 3640 src_gas_2010_finale__Q20
Numero punti su incroci di griglia in due mappe quadrate
Le due mappe Esistono due mappe che conducono all’Isla de Mono. Sulla prima mappa, di forma quadrata e di lato 1726 miglia, i 4 porti maggiori della Compagnia delle Indie orientali si trovano ognuno su un lato; per una strana coincidenza, la seconda mappa ha questi stessi quattro porti come vertici, ha ancora forma quadrata, ma ha lato 1250 miglia. Entrambe le mappe sono divise in quadratini di lato 1 miglio con linee color sangue parallele ai lati. Jack sa che, sia nella prima che nella seconda mappa, l’Isla de Mono sta esattamente all’incrocio di due delle linee color sangue (compresi i bordi delle mappe). Non sa però quali siano queste linee. Quanti sono in tutto i punti in cui può trovarsi l’isola?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Metodo delle coordinate Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2505 Fonte: apri PDF p.4
Number of points on grid intersections in two square maps
Two maps There are two maps that lead to Isle de Mono. On the first, square-shaped and side-shaped 1726 miles map, the 4 major ports of the East India Company are each on one side; by a strange coincidence, the second map has these same four ports as vertices, it is still square-shaped, but side-shaped 1250 miles. Both maps are divided into 1 mile square sides with blood-colored lines parallel to the sides. Jack knows that, in both the first and second maps, Isle de Mono is exactly at the intersection of two bloodlines (including the edges of the maps). But you don’t know what these lines are. How many points can the island be found?
Answer: 2505 src_gas_2010_finale__Q21
Area regione di pentagono circoscrittibile con altitudine data
Il segreto di Monkey IslandTM Tutti i π-rati con qualche anno sulle spalle hanno sentito parlare del favoloso tesoro nascosto nella perduta Isla de Mono; la leggenda narra che il tesoro sia sepolto in un punto dell’isola in cui l’altitudine è di almeno 5 metri. Tria Geome possiede forse l’unica mappa dell’isola, dalla quale si deduce che: la pianta è un pentagono circoscrittibile (ovvero che ammette una circonferenza inscritta, tangente a tutti i lati); la profondità del mare attorno all’isola è pari a √π volte la distanza minima dalla costa misurata sulla cartina, mentre l’altitudine di ogni punto della superficie dell’isola è pari a √π/2 moltiplicato per la minima distanza di quel punto dall’acqua, misurata sulla cartina; l’area racchiusa sulla cartina dai punti che sono a 1 metro di profondità è 12343 m2 mentre quella racchiusa dai punti che sono a 3 metri di profondità è 12835 m2. Quanti m2 misura sulla cartina la parte dell’isola nella quale secondo la leggenda si può trovare il tesoro?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 9801 Fonte: apri PDF p.4
Area region of circumscribed pentagon with given altitude
The Secret of Monkey IslandTM All π-rats with a few years on their backs have heard of the fabulous treasure hidden in the lost Isla de Mono; legend has it that the treasure is buried at a point on the island where the altitude is at least 5 meters. Tria Geome possesses perhaps the only map of the island, from which it is inferred that: the plant is a circumscribed pentagon (i.e. that it admits an inscribed circumference, tangent on all sides); the depth of the sea around the island is equal to √π times the minimum distance from the coast measured on the map, while the altitude of each point on the surface of the island is equal to √π/2 multiplied by the minimum distance of that point from the water, measured on the map; the root area on the map from points that are 1 meter deep is 12343 m2 while that from points that are 3 meters deep is 12835 m2. How many square meters on the map is the part of the island where, according to legend, the treasure can be found?
Answer: 9801 src_gas_2010_finale__Q22
Probabilita vincita iterando prodotto delle cifre da 1 a 10000
Una trappola per i polli. Appiedato a Tortuga, Mastro Gibbs si guadagna da vivere truffando i passanti con il gioco d’azzardo. Il malcapitato estrae a caso da un sacchetto un numero da 1 a 10000. Inizia quindi iterativamente a sostituirlo con il prodotto delle sue cifre, e perde se in un qualunque momento scende strettamente sotto 9. Vince invece se riesce a ottenere indefinitamente numeri non inferiori a 9. Qual è la probabilità di vincere? [Come risultato fornire il prodotto di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini]
Topic: Probabilita e statistica, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0500 Fonte: apri PDF p.4
Probability of winning by iterating product of digits 1 to 10000
It’s a chicken trap. Based in Tortoise, Master Gibbs makes his living cheating passersby with gambling. The homeless person randomly extracts a number from 1 to 10,000 from a bag. It then iteratively starts to replace it with the product of its digits, and it loses if at any time it drops tightly below 9. Instead, he wins if he can get indefinitely numbers not less than 9. What are the odds of winning? [As a result, provide the product of the reduced fraction numerator and denominator to the minimum terms]
Answer: 0500 src_gas_2010_finale__Q23
Rapporto altezza/raggio di quattro coni tangenti
La Città dei Relitti La roccaforte inespugnabile della fratellanza dei π-rati nobili è costruita interamente con il legno dei relitti di navi arenate. La forma è quella di quattro coni identici, appoggiati su un terreno piatto in modo che i vertici si tocchino, le loro superfici laterali siano tangenti al terreno su 4 segmenti uguali e perpendicolari che formano una croce e due coni adiacenti abbiano le superfici laterali tangenti. Scrivere le prime quattro cifre dopo la virgola del rapporto tra l’altezza e il raggio di base dei coni.
Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Metodo delle coordinate, Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4142 Fonte: apri PDF p.4
Height/radius ratio of four tangent cones
The city of relics The impregnable stronghold of the fraternity of the π-noble rats is built entirely from the wood of the wrecks of sandy ships. The shape is that of four identical cones, resting on a flat ground so that the vertices touch each other, their side surfaces are tangent to the ground on 4 equal and perpendicular segments forming a cross and two adjacent cones have tangent side surfaces. Write the first four digits after the comma of the ratio of the height to the base radius of the cones.
Answer: 4142 src_gas_2010_finale__Q24