Anni multipli auto-referenziale fino al 2726
Il Bar ScummTM [20] All’alba dell’8 maggio 1726, Jack Disparrow, Bourbakossa e Elizabeth Somm siedono sbronzi al tavolo di un bar, quando si presenta un giovane dall’aria ingenua che dice di aver saputo che per diventare un π-rata deve rivolgersi in quel bar ai tre π-rati dall’aspetto importante. Tra il serio e il faceto, i tre amici gli sottopongono un quesito π-ratesco: “Quanti sono gli anni da adesso al 2726 che sono multipli della risposta a questa domanda?”
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0032 Fonte: apri PDF p.1
Multiple self-referential years up to 2726
The Scumm BarTM [20] At dawn on May 8, 1726, Jack Disparrow, Bourbakossa and Elizabeth Somm sit drunk at a bar table, when a naive young man shows up who says he knows that in order to become a π-rat he must turn to the three π-rates in that bar. Between the serious and the factual, the three friends ask him a question: How many years from now to 2726 are multiple of the answer to this question?
Answer: 0032 src_gas_2010_pubblico__Q01
Probabilita che almeno 2 punti fissi in rotazione del cubo
Otto uomini ed una cassa di rum [40] Alla fine di una gustosa cena, 8 π-rati decidono di dividersi il conto così: prendono una cassa di rum cubica e ognuno sceglie uno degli 8 vertici e vi incolla lo scontrino del suo pasto. Poi scelgono casualmente una delle 24 rotazioni della cassa e ogni pirata paga lo scontrino che si trova sul suo vertice dopo la rotazione. Qual è la probabilità che almeno 2 pirati paghino il pasto che loro stessi hanno consumato? [Come risultato fornire il prodotto di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini]
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0024 Fonte: apri PDF p.1
Probability that at least 2 fixed points in the cube rotation
Eight men and a box of rum [40] At the end of a tasty dinner, 8 π-rates decide to split the bill like this: they take a box of cubic rum and each one chooses one of the 8 vertices and glues the box of his meal to it. Then they randomly pick one of the 24 rotations of the box, and each pirate pays the counter that is on its top after the rotation. What are the odds that at least two pirates will pay for the food they ate themselves? [As a result, provide the product of the reduced fraction numerator and denominator to the minimum terms]
Answer: 0024 src_gas_2010_pubblico__Q02
Differenza abitanti da affermazioni di sinceri/bugiardi/variabili
L’isola dei cannibali [30] Will ha conosciuto a Tortuga un gruppetto di 9 selvaggi. L’arcipelago da cui provengono è composto da 3 isole per un totale di 10000 abitanti, compresi loro stessi. Si sa che gli abitanti di Isla Cruces sono sempre sinceri (ma anche cannibali), gli abitanti di Isla de Muerta mentono sempre, e gli abitanti di Isla de Mono possono essere sinceri o mentire. I nove si dispongono in fila, e a turno, l’n-esimo componente della fila afferma: “La mia isola ha non meno di n-mila abitanti”. Si sa inoltre che nella fila ci sono 3 persone provenienti da ciascuna isola e che almeno uno dell’Isla de Mono ha detto la verità. Quant’è al massimo la differenza tra gli abitanti di Isla Cruces e quelli di Isla de Muerta?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8994 Fonte: apri PDF p.1
Different inhabitants from truthful/false/variable statements
Cannibal Island [30] Will met a small group of 9 savages in Tortuga. The archipelago from which they come is made up of 3 islands for a total of 10000 inhabitants, including themselves. It is known that the inhabitants of Isla Cruces are always sincere (but also cannibals), the inhabitants of Isla de Muerta always lie, and the inhabitants of Isla de Mono can be sincere or lie. The nine stand in line, and in turn, the ninth member of the line says: It is also known that there are 3 people in the line from each island and that at least one of the Isles of Mone has told the truth. What is the maximum difference between the inhabitants of Isla Cruces and those of Isla de Muerta?
Answer: 8994 src_gas_2010_pubblico__Q03
Totale partecipanti da n,m radici di equazione quadratica
La grande battaglia [20] Nell’epico scontro tra la flotta dei π-rati e quella della Compagnia delle Indie Orientali, come si racconterà per generazioni, le n navi guidate da Capitan Jack Disparrow sconfissero le m navi della flotta di Lord Bracket, dove n ed m sono le soluzioni dell’equazione x2 −102x+1817 = 0. Sapendo che su ognuna delle n navi di Disparrow c’erano n π-rati e che su ogni nave della Compagnia c’erano m militari, quanti in tutto parteciparono allo scontro? Gara a Squadre 2010 – Gara del pubblico – Testi dei problemi – 1/3
2/3 Gara a Squadre 2010 – Gara del pubblico – Testi dei problemi
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 6770 Fonte: apri PDF p.1
Total participants from n,m roots of the quadratic equation
The great battle [20] In the epic clash between theπ-rate fleet and that of the East India Company, as will be told for generations, the n ships led by Captain Jack Disparrow defeated the m ships of Lord Bracket’s fleet, where n and m are the solutions of the equation x2 −102x+1817 = 0. Knowing that each of Disparrow’s ships hadπ-rates and that each of the Company’s ships had military personnel, how many in all took part in the encounter? Team competition 2010 Public competition Problem texts 1/3
2/3 Team competition 2010 Public competition Problem texts
Answer: 6770 src_gas_2010_pubblico__Q04
Massima cardinalita insieme chiuso per (m+n)/MCD(m,n)
I superstiti [25] Dopo la battaglia Jack chiede a Mastro Gibbs: “Quanti uomini ci restano, a parte noi due?”. La risposta è da vero π-rata: “Il numero, Capitan Disparrow, è la massima cardinalità di un sottoinsieme finito A degli interi positivi, tale che se m e n stanno in A, allora m+n MCD(m,n) sta in A.” Jack si rallegra, ma quanti sarebbero?
Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0001 Fonte: apri PDF p.2
Maximum combined cardinality closed for (m+n)/MCD(m,n)*
The Survivors [25] After the battle Jack asks Master Gibbs, “How many men are left, apart from us two?” The answer is true π-rate: The number, Captain Disparrow, is the maximum cardinality of a finite subset A of positive integers, such that if m and n are in A, then m+n MCD(m,n) is in A. Jack rejoices, but how many would be?
Answer: 0001 src_gas_2010_pubblico__Q05
Minuti settimanali in cui ago bussola indica il nord
Direzione corsara [35] La bussola di Jack Disparrow non indica quasi mai il nord. A mezzanotte di un certo giorno la bussola indica il nord e inizia a muoversi seguendo questo algoritmo: ogni 15 minuti l’ago si sposta improvvisamente in avanti di 90 gradi e poi torna altrettanto istantaneamente indietro di un numero di gradi pari a 6 volte il numero dei minuti passati fino a quel momento iniziando a contare dalla mezzanotte. Per quanti minuti nel corso di una settimana la bussola indica esattamente il nord?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2520 Fonte: apri PDF p.2
Weekly minutes in which a compass needle points north
Corsair direction [35] Jack Disparrow’s compass almost never points north. At midnight on a certain day, the compass points north and starts moving according to this algorithm: every 15 minutes the ago suddenly moves forward by 90 degrees and then returns just as instantly back by a number of degrees equal to 6 times the number of minutes passed until then starting to count from midnight. For how many minutes over the course of a week does the compass point exactly north?
Answer: 2520 src_gas_2010_pubblico__Q06
Area triangolo date le tre mediane 25,153,160
Mediangolo [60] La pinna dorsale del pesce-martello che sta nella ciurma di Davy Jensen è un grosso triangolo le cui mediane misurano 25, 153 e 160 cm. Quanti cm2 misura la sua area?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2496 Fonte: apri PDF p.2
Triangle area given the three medians 25,153,160
Half-triangle [60] The dorsal fin of the hammerfish in Davy Jensen’s clutch is a large triangle with medians of 25, 153, and 160 cm. How many square feet does it cover?
Answer: 2496 src_gas_2010_pubblico__Q07
Valore atteso tessere con numero primo prima della rossa
Chi cerca i favori di Davy Jensen? [65] Il π-rata maledetto Davy Jensen ha una borsa che contiene 90 tessere bianche della tombola (numerate da 1 a 90), più 1 singola tessera rosso sangue. Chiunque gli chieda i suoi favori, per sapere per quanti anni ne potrà godere, si sottopone al seguente gioco: estrae le tessere a caso una alla volta, fino a che non esce la tessera rossa. Chi gioca, avrà i favori per tanti anni quante sono le tessere bianche con un numero primo che sono uscite prima di quella rossa. Bill “Sputafuoco” Turing, che osserva in disparte, si domanda mediamente quanti anni si vincano in questo modo. Jack non capisce esattamente cosa intenda il suo collega π-rata, ma suo figlio Will, che ha studiato, gli spiega che tra i tanti modi di definire il numero medio di anni vinti (tutti che portano allo stesso risultato) quello più comune è la somma dei numeri k · pk dove, per ogni numero naturale k = 0,1,2,…, pk è la probabilità che gli anni vinti siano k. Qual è il numero medio di anni vinti? [Come risultato fornire il prodotto di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini]
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0012 Fonte: apri PDF p.2
Expected value of cards with first number before red
Who’s looking for favors from Davy Jensen? [65] The π-cursed Davy Jensen rat has a purse containing 90 white tiles of the tomb (numbered 1 to 90), plus 1 single red card of blood. Whoever asks him for his favors, to know how many years he can enjoy them, submits to the following game: he draws the cards randomly one at a time, until the red card comes out. Players will have the advantage for many years as are white cards with a prime number that came out before the red one. Bill Turing, who observes from a different angle, wonders how many years you’ve been doing this on average. Jack doesn’t understand exactly what his colleague π-rate means, but his son Will, who studied, explains that among the many ways to define the average number of years won (all leading to the same result) the most common is the sum of the numbers k · pk where, for every natural number k = 0.1,2,…, pk is the probability that the years won are k. What’s the average number of years won? [As a result, provide the product of the reduced fraction numerator and denominator to the minimum terms]
Answer: 0012 src_gas_2010_pubblico__Q08
Massimo lato quadrato le cui cifre area aumentate di 1
Dominio territoriale [50] Jack e Elizabeth, naufraghi sull’isoletta, si appropriano ciascuno di un appezzamento quadrato di terreno. I due quadrati hanno per lato un numero intero di metri, ma a sentire Jack, il suo è più grande: “Aah! La superficie del mio territorio, in m2 ha le stesse cifre del tuo, ma tutte aumentate di 1.” Sapendo che il lato del terreno di Jack non arriva a 300 metri, quanto può misurare, al massimo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0156 Fonte: apri PDF p.2
Maximum square side whose area figures are increased by 1
Territorial dominion [50] Jack and Elizabeth, shipwrecked on the island, each appropriate a square plot of land. The two squares have an integer of meters on each side, but to hear Jack, his is bigger: Aah! The surface of my territory, in m2 has the same numbers as yours, but all increased by 1. Knowing that the side of Jack’s land does not reach 300 meters, how much can he measure, at most?
Answer: 0156 src_gas_2010_pubblico__Q09
Diametro sfera con due cerchi ortogonali tangenti in due punti
Un sistema di protezione [50] Jack è sempre più terrorizzato dal Cramer, che sente ovunque la sua presenza e cerca senza tregua la sua nave. La lady voodoo Tria Geome, usando i suoi poteri Geomistici, lo aiuterà a costruire un talismano che può tenere lontana la creatura. Gli spiega che dovrà fabbricare una sfera di creta sulla cui superficie dovrà tracciare due circonferenze mistiche. Queste circonferenze dovranno avere diametri di 50 e 72 cm, dovranno giacere su piani ortogonali, e dovranno toccarsi in due punti distanti 40 cm. Quanti millimetri dovrà misurare il diametro della sfera di creta?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0780 Fonte: apri PDF p.2
Diameter of sphere with two orthogonal circles tangent to two points
A system of protection [50] Jack is increasingly terrified of Cramer, who feels his presence everywhere and searches relentlessly for his ship. The voodoo lady Tria Geome, using her Geomystic powers, will help him build a talisman that can keep the creature away. He explains that he will have to make a ball of clay on whose surface he will have to draw two mystical circles. These circumferences shall have diameters of 50 and 72 cm, shall lie on orthogonal planes, and shall be touched at two points 40 cm apart. How many millimeters will you have to measure the diameter of the clay sphere?
Answer: 0780 src_gas_2010_pubblico__Q10
Pirati restanti a terra da successione c(n+1)=2c(n)+1
Tra 80 anni [60] Le imprese dei π-rati dei Caraibi sono molto popolari, e le iscrizioni stanno aumentando. L’anno scorso, che era il 1725, l’unico nuovo π-rata era stato Will Turing, ma da allora ogni anno il numero di nuovi π-rati aumenta secondo la formula cn+1 = 2cn +1, dove cn rappresenta il numero di nuovi π-rati nell’anno n. Nel 1806 tutti i nuovi π-rati di quell’anno salperanno per festeggiare in mare, dividendosi in 1806 per nave, lasciando eventualmente i π-rati restanti a terra. Quanti π-rati resteranno a terra?
Gara a Squadre 2010 – Gara del pubblico – Testi dei problemi 3/3
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0513 Fonte: apri PDF p.2
Remaining pirates on land by succession c(n+1)=2c(n)+1
80 years from now [60] Businesses with π-rates in the Caribbean are very popular, and enrollment is increasing. Last year, which was 1725, the only new π-rate had been Will Turing, but since then every year the number of new π-rates increases according to the formula cn+1 = 2cn +1, where cn represents the number of new π-rates in year n. In 1806 all the new π-rates of that year will sail to celebrate at sea, dividing in 1806 by ship, possibly leaving the remaining π-rates ashore. How manyπ-rates will remain on the ground?
Team competition 2010 Public competition Problem texts 3/3
Answer: 0513 src_gas_2010_pubblico__Q11
Massimo numero veritieri in rettangolo con affermazioni sui vicini
La ciurma della Perla [50] La ciurma della Perla Vera è divisa in due fazioni: quelli fedeli a Jack, che dicono sempre la verità, e quelli fedeli a Bourbakossa che dicono sempre il falso. Tutti quanti si dispongono sul ponte in un rettangolo 1726 × 11 e ognuno dice ad alta voce per ciascuno di quelli accanto a lui: “Lui serve Jack” oppure “Lui serve Bourbakossa” indicandolo (quelli ai vertici diranno dunque 2 frasi, quelli sui lati ne diranno 3 e quelli interni ne diranno 4). Sapendo che ogni persona dice esattamente una volta “Lui serve Jack”, quanti sono al massimo quelli fedeli a Jack?
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9494 Fonte: apri PDF p.3
Maximum number of truths in a rectangle with neighbour statements
The Pearl Jam [50] The Pearl Jam is divided into two factions: those loyal to Jack, who always tell the truth, and those loyal to Bourbakossa, who always tell the lie. Everyone stands on the bridge in a rectangle 1726 × 11 and everyone says out loud to each of those next to him: He serves Jack or He serves Bourbakossa indicating him (those at the top will say 2 phrases, those on the sides will say 3 and those inside will say 4). Knowing that every person says exactly once, “He needs Jack”, how many people are loyal to Jack at most?
Answer: 9494 src_gas_2010_pubblico__Q12
Probabilita di vincita con bastoncini di Fibonacci
I bastoncini di Filibunacci [80] Will, Elizabeth, Capitan Disparrow e Capitan Bourbakossa non riescono a mettersi d’accordo sulla rotta da seguire e decidono di affidare la scelta alla sorte. Il mozzo Filibunacci prepara 7 bastoncini di lunghezza 1, 2, 3, 5, 8, 13 e 21 cm. Capitan Disparrow vince se estrae il bastoncino più corto tra tutti quelli estratti o se la somma tra la lunghezza del suo bastoncino e quello di Elizabeth è maggiore della somma degli altri due bastoncini estratti. Qual è la probabilità che capitan Disparrow vinca? [Come risultato fornire il prodotto di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini]
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0006 Fonte: apri PDF p.3
Probability of winning with Fibonacci rods
Filibunacci’s staffs Will, Elizabeth, Captain Disparrow and Captain Bourbakossa are unable to agree on the route to be followed and decide to entrust the choice to the lot. The young Filibunacci makes 7 sticks 1, 2, 3, 5, 8, 13 and 21 cm long. Captain Disparrow wins if he extracts the shortest stick of all the extracts or if the sum between the length of his stick and Elizabeth’s is greater than the sum of the other two extracted sticks. What are the odds of Captain Disparrow winning? [As a result, provide the product of the reduced fraction numerator and denominator to the minimum terms]
Answer: 0006 src_gas_2010_pubblico__Q13
Somma vinta in successione di puntate a(n+1)=2a(n)+2n-1
Sette anni di duelli [65] Will Turing non ha mai mandato giù la sua sconfitta nel duello con Jack Disparrow, quando si sono conosciuti. Ogni mese, per 7 anni, si incontrano e duellano: entrambi puntano la stessa somma di denaro e alla fine uno dei due vince e si prende tutto il piatto. Il primo mese la puntata è a1 = 1726 dobloni, poi i mesi successivi puntano una somma di denaro data dalla formula an+1 = 2an +2n−1, per n = 1,2,… . Alla fine di questa grande sfida di 7 anni, Will risulta colui che ha vinto più dobloni ma Jack è comunque contento perché ha perso il minimo possibile. Quanti dobloni ha vinto Will?
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 8615 Fonte: apri PDF p.3
Summary of bets won in succession a(n+1)=2a(n)+2n-1
Seven years of duels [65] Will Turing never sent down his defeat in a duel with Jack Disparrow, when they met. Every month, for seven years, they meet and fight, both bet the same amount of money, and in the end one of the two wins and takes the whole plate. The first month the bet is a1 = 1726 doubles, then the following months bet a sum of money given by the formula an+1 = 2an +2n−1, for n = 1,2,… . At the end of this great seven-year challenge, Will is the one who has won the most doubles, but Jack is still happy because he lost the least possible. How many doubles has Will won?
Answer: 8615 src_gas_2010_pubblico__Q14
Estrazioni su 10000 con almeno due numeri vicini al lotto
Lo scetticismo di Ragetti [70] Ragetti, il mozzo dall’occhio di legno, è molto scettico nei confronti del lotto π-ratesco. Ha notato che succede insolitamente spesso che vengano estratti due numeri “vicini”, cioè che hanno differenza minore o uguale a 2 (per esempio 17 e 19, o 27 e 28, ma non 46 e 49). Ben conoscendo i trucchi della filibusta, crede che questo sia un indice del fatto che il gioco è truccato. Sapendo che nel lotto π-ratesco si estraggono 6 numeri tra 1 e 90, sapreste dire in quante estrazioni su 10000 dobbiamo aspettarci che escano almeno due numeri vicini (se il gioco non è truccato)?
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5173 Fonte: apri PDF p.3
Extractions from 10000 with at least two numbers close to the lot
Ragetti’s skepticism [70] Ragetti, the guy with the wooden eye, is very skeptical of the π-race lot. He noted that it happens unusually often that two numbers near are extracted, that is, that they have a difference less than or equal to 2 (e.g. 17 and 19, or 27 and 28, but not 46 and 49). Well aware of the tricks of the filibusta, he thinks this is an indication that the game is rigged. Knowing that in theπ-ratico lot you extract 6 numbers between 1 and 90, would you know how many extractions out of 10,000 we should expect to get at least two nearby numbers (if the game is not rigged)?
Answer: 5173 src_gas_2010_pubblico__Q15
Area regione di pentagono circoscrittibile con altitudine data
Il segreto di Monkey IslandTM [80] Tutti i π-rati con qualche anno sulle spalle hanno sentito parlare del favoloso tesoro nascosto nella perduta Isla de Mono; la leggenda narra che il tesoro sia sepolto in un punto dell’isola in cui l’altitudine è di almeno 4 metri. Tria Geome possiede forse l’unica mappa dell’isola, dalla quale si deduce che: la pianta è un pentagono circoscrittibile (ovvero che ammette una circonferenza inscritta, tangente a tutti i lati); la profondità del mare attorno all’isola è pari a √π volte la distanza minima dalla costa misurata sulla cartina, mentre l’altitudine di ogni punto della superficie dell’isola è pari a √π/2 moltiplicato per la minima distanza di quel punto dall’acqua, misurata sulla cartina; l’area racchiusa sulla cartina dai punti che sono a 14 metri di profondità è 10456 m2 mentre quella racchiusa dai punti che sono a 24 metri di profondità è 12736 m2. Quanti m2 misura sulla cartina la parte dell’isola nella quale secondo la leggenda si può trovare il tesoro?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 6156 Fonte: apri PDF p.3
Area region of circumscribed pentagon with given altitude
The Secret of Monkey IslandTM [80] All π-rats with a few years on their backs have heard of the fabulous treasure hidden in the lost Isla de Mono; legend has it that the treasure is buried at a point on the island where the altitude is at least 4 meters. Tria Geome possesses perhaps the only map of the island, from which it is inferred that: the plant is a circumscribed pentagon (i.e. it admits an inscribed circumference, tangent on all sides); the depth of the sea around the island is √π times the minimum distance from the coast measured on the map, while the altitude of each point on the surface of the island is √π/2 multiplied by the minimum distance of that point from the water, measured on the map; the area roughly on the map from points that are 14 metres deep is 10456 m2 while that from points that are 127 metres deep is 127362 m2. How many square meters on the map is the part of the island where, according to legend, the treasure can be found?
Answer: 6156 src_gas_2010_pubblico__Q16