Gara a Squadre 2010 - Semifinale B

Risposta n auto-referenziale a ((n-1)(n-3)+6)/2

sono colate a picco due navi con un π-rata ciascuna, nel 1602 (1, 2, 1) sono affondate tre navi, con uno, due e un π-rata rispettivamente, e così via. Il superstizioso Mastro Gibbs spiega che di queste sono diventati vascelli fantasma tutte e sole quelle con una ciurma dispari. Quanti vascelli fantasma sono comparsi in questo periodo di tempo?

Topic: Algebra, Logica, giochi, strategie Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Lettura attenta del testo Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0003 Fonte: apri PDF p.1

Self-referential answer to ((n-1) ((n-3)+6)/2

Two ships with a π-rate each were launched at peak, three ships were sunk in 1602 (1, 2, 1) with one, two and one π-rate respectively, and so on. The superstitious Master Gibbs explains that all of these have become ghost vessels, and only those with a strange beak. How many ghost ships have appeared in this time period?

Answer: 0003 src_gas_2010_semifinale_b__Q01

Lunghezza segmento bisettrice in triangolo isoscele 120 gradi

2. Una pergamena di gran valore Capitan Disparrow sta studiando la mappa di un tesoro sulla quale sono segnati tre punti A, B e C, che sono vertici di un triangolo isoscele. La base AB del triangolo misura 4.4 km e l’angolo al vertice è di 120 gradi. Capitan Disparrow si trova nel punto B e sa che il tesoro si trova nel punto d’intersezione tra il lato BC e la bisettrice dell’angolo in A. Quanti metri dovrà percorrere per arrivare al tesoro?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1610 Fonte: apri PDF p.1

Length of the bisector segment in an isosceles triangle 120 degrees

2. Captain Disparrow is studying a treasure map on which three points A, B, and C are marked, which are the vertices of an isosceles triangle. The base AB of the triangle measures 4.4 km and the angle at the top is 120 degrees. Captain Disparrow is at point B and knows that the treasure is at the intersection between the BC side and the angle’s intersection in A. How many yards will it take to get to the treasure?

Answer: 1610 src_gas_2010_semifinale_b__Q02

Conteggio non-bugiardi in cerchio con affermazioni sui vicini

3. La resa dei conti La ciurma della Perla Vera è divisa in due fazioni: i π-rati reclutati da Capitan Jack Disparrow, che dicono sempre la verità, e quelli arruolati dal temibile Bourbakossa, che mentono sempre e stanno tramando di ammutinarsi. Alla resa dei conti finale, ben 7776 membri della ciurma si dispongono in cerchio sul ponte della nave. Ognuno di essi dice ad alta voce: “Dei miei due vicini uno è stato reclutato da Jack e l’altro da Bourbakossa”. Sapendo che nel cerchio è presente anche Mastro Gibbs, che è stato il primo ad essere reclutato da Jack, quanti saranno in totale quelli che non si ammutineranno?

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5184 Fonte: apri PDF p.1

Circle count of non-bugs with neighbouring statements

3. The true pearl swarm is divided into two factions: the MSK rat recruited by Captain Jack Disparrow, who always tell the truth, and those recruited by the fearsome Bourbakossa, who always lie and plot to mutineer. At the end of the final count, 7776 members of the crew were in a circle on the deck of the ship. Each of them says out loud, “Of my two neighbors, one was recruited by Jack and the other by Bourbakossa”. Knowing that Master Gibbs is also in the circle, who was the first to be recruited by Jack, how many in total will not mutine?

Answer: 5184 src_gas_2010_semifinale_b__Q03

Velocita nave da calo stimato di 1 minuto ogni 8 miglia

4. A vele spiegate La bussola del pirata $To{m}^2$, oltre a indicare sempre la direzione del tesoro, fornisce anche l’ora di arrivo stimata ipotizzando che la nave viaggi direttamente verso la meta alla velocità costante di 12 nodi (un nodo di velocità corrisponde a 1 miglio all’ora). L’Olandese Secante, il vascello su cui è imbarcato $To{m}^2$, sta andando dritta filata verso il tesoro alla sua massima velocità. Sapendo che l’orario di arrivo stimato dalla bussola cala di 1 minuto ogni 8 miglia percorse, a quanti nodi di velocità va la nave? [Come risultato fornire il prodotto di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini] Gara a Squadre 2010 – Semifinale B – Testi dei problemi – 1/3

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 2080 Fonte: apri PDF p.1

Ship’s speed of descent estimated at 1 minute every 8 miles

4. The pirate’s compass $To{m}^2$, besides always indicating the direction of the treasure, also provides the estimated time of arrival by assuming that the ship travels directly to the destination at a constant speed of 12 knots (a speed knot corresponds to 1 mile per hour). The Dutchman Secante, the vessel on which he is embarking $To{m}^2$, is heading straight for the treasure at its maximum speed. Knowing that the compass’s estimated time of arrival drops by 1 minute every 8 miles traveled, at how many knots of speed does the ship go? [As a result, the product of the numerator and denominator of the reduced fraction is provided to the minimum terms] Team competition 2010 Semifinal B Problem tests 1/3

Answer: 2080 src_gas_2010_semifinale_b__Q04

Differenza conteggio simboli in triangolo ciclico di 2010 righe

5. Bandiera al vento Purtroppo l’ammutinamento è riuscito, Jack Disparrow è stato abbandonato su un’isoletta deserta e la Perla Vera è caduta nelle mani di Bourbakossa, che fa issare le sue insegne: la sua bandiera è un grosso triangolo nero su cui sono rappresentati tante volte tre simboli pirateschi. Sulla prima riga è rappresentata una scim- mia. Sulla seconda riga una scimmia ed un forziere. Sulla terza riga una scimmia, un forziere ed una mela. Sulla quarta riga ancora una scimmia, un forziere, una mela ed un’altra scimmia, e così via: sull’n-esima riga ci sono n simboli ottenuti ripetendo nell’ordine scimmia, forziere e mela. Il triangolo conta in tutto 2010 righe: qual è la differenza tra il numero di scimmie ed il numero di mele?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1340 Fonte: apri PDF p.2

Different symbol count in cyclic triangle of 2010 rows

5. Unfortunately, the mutiny succeeded, Jack Disparrow was abandoned on a deserted island and the True Pearl fell into the hands of Bourbakossa, whose flag is a large black triangle on which three pirate symbols are often depicted. The first line depicts a monkey. On the second line, a monkey and a forzer. On the third line, there’s a monkey, a forzer, and an apple. On the fourth line again a monkey, a forcer, an apple and another monkey, and so on: on the ninth line there are n symbols obtained repeating in monkey, forcer and apple order. The triangle counts all 2010 lines: what’s the difference between the number of monkeys and the number of apples?

Answer: 1340 src_gas_2010_semifinale_b__Q05

Conteggio righe dispari nel triangolo di Tartaglia (1600-1726)

6. Il triangolo di Tortuga Sull’isola di Tortuga ha grande importanza una targa commemorativa detta il Triangolo di Tortuga. È apparentemente identica al triangolo di Tartaglia, ma ogni sua riga è dedicata ad un anno dal 1600 al 1726 e i numeri riportati rappresentano il numero di π-rati imbarcati per ciascuna delle navi π-rata che sono affondate in quell’anno. Ad esempio nel 1600 (1) è affondata una sola nave con un solo π-rata, nel 1601 (1,

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2059 Fonte: apri PDF p.2

*Counting of odd lines in the Triangle of Tartaglia (1600-1726) *

6. The Tortuga Triangle on the Tortuga Island has a great importance a commemorative plaque called the Tortuga Triangle. It is apparently identical to the Tartaglia triangle, but each of its lines is dedicated to a year from 1600 to 1726 and the numbers reported represent the number of π-rates boarded for each of the π-rates ships that sank in that year. For example, in 1600 (1) only one ship with a singleπ-rate was sunk, in 1601 (1),

Answer: 2059 src_gas_2010_semifinale_b__Q06

Minimo a=n^5+4n^4 quadrato di intero dispari

Il forziere azteco Il forziere con l’oro azteco è vuoto e tutte le antiche monete dovranno essere recuperate prima che la maledizione sia sciolta. Il pirata fantasma Bourbakossa ha sguinzagliato i suoi uomini a cercare per ogni dove, e intanto cerca di ricordarsi quante erano le monete quando il forziere è stato trovato. L’unico indizio è un appunto sul giornale di bordo di Capitan Jack Disparrow che dice: “…le monete azteche sono in quantità pari al più piccolo intero positivo a = n5 +4n4, tale che n è un numero naturale ed a è il quadrato di un intero dispari.” Quante monete devono cercare i π-rati di Bourbakossa?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5625 Fonte: apri PDF p.2

*Minimum a=n^5+4n^4 squared of odd whole *

The Aztec fortress The Aztec gold fortress is empty and all the ancient coins must be recovered before the curse is dissolved. The ghost pirate Bourbakossa has led his men to look everywhere, and in the meantime he tries to remember how many coins there were when the enforcer was found. The only clue is a note in Captain Jack Disparrow’s boarding journal that says: …the Aztec coins are in quantity equal to the smallest positive integer a = n5 + 4n4, such that n is a natural number and a is the square of an odd integer. How many coins must the π-raties of Bourbakossa look for?

Answer: 5625 src_gas_2010_semifinale_b__Q07

Massimo a con a^2+200a+1 quadrato perfetto

Optimiser! Quando la bella Elizabeth Somm finisce prigioniera di Bourbakossa, invoca il “optimiser” per essere risparmiata, ma scopre con rammarico che per renderlo efficace con dei veri π-rati, le viene chiesto di trovare il più grande intero positivo a tale che a2 +200a+1 sia un quadrato perfetto. Cosa deve rispondere?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4900 Fonte: apri PDF p.2

Maximum a with a^2+200a+1 perfect square

Optimize it! When beautiful Elizabeth Somm ends up a prisoner of Bourbakossa, she invokes the optimiser to be spared, but discovers with regret that to make it effective with real π-rates, she is asked to find the largest positive integer such that a2 +200a + 1 is a perfect square. What’s the answer?

Answer: 4900 src_gas_2010_semifinale_b__Q08

Media scalini tra piani con rampe crescenti su 222 piani

Faticosa evasione Jack Disparrow con l’aiuto di Will è scappato dalla sua cella che si trova al piano più basso della torreprigione e vuole salire al piano più alto, da dove spera di riuscire a fuggire. La prigione è composta da 222 piani, numerati da 1 a 222 e collegati da un certo numero di rampe di scale. Dal piano 1 al 2 c’è 1 sola rampa di scale con 1 solo gradino. Dal piano 2 al 3 ci sono 2 rampe con 1 e 2 scalini rispettivamente; dal piano 3 al 4, ci sono 3 rampe con 1, 2 e 3 scalini; e così via. Quanti scalini ci sono, in media, tra un piano e l’altro?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8251 Fonte: apri PDF p.2

Medium staircase between floors with ramps rising over 222 floors

Hard escape Jack Disparrow with Will’s help has escaped from his cell which is on the lower floor of the prison tower and wants to climb to the top floor, from where he hopes to escape. The prison consists of 222 floors, numbered from 1 to 222 and connected by a number of stair ramps. From the 1st to the 2nd floor there is only 1 staircase ramp with only 1 step. From floors 2 to 3 there are 2 ramps with 1 and 2 steps respectively; from floors 3 to 4, there are 3 ramps with 1, 2 and 3 steps; and so on. How many stairs are there, on average, between one floor and the other?

Answer: 8251 src_gas_2010_semifinale_b__Q09

Massimi dobloni per pirata con divisione esatta e +13

Macabra spartizione La Perla Vera ha messo le mani su un favoloso bottino non superiore a 100000 dobloni. Jack si accorge che riesce a dividere esattamente il bottino tra i π-rati della ciurma. Improvvisamente però arriva Mastro Gibbs che gli dice: “Capitano, abbiamo perso un uomo”. Jack si mostra addolorato solo per un attimo, ma poi scrolla le spalle, agita il cappello sorridente e informa i π-rati della ciurma che la divisione esatta del bottino è ancora possibile, e ciascuno in questo modo avrà esattamente 13 dobloni in più. Quanti possono essere al massimo i dobloni che alla fine toccheranno a ciascun π-rata?

Gara a Squadre 2010 – Semifinale B – Testi dei problemi 3/3

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1144 Fonte: apri PDF p.2

Maximum double per pirate with exact division and +13

The true pearl has got its hands on a fabulous loot of no more than 100,000 doubles. Jack realizes that he can exactly divide the spoil between theπ-rates of the swarm. But suddenly Master Gibbs comes and says, “Captain, we lost a man”. Jack is only sad for a moment, but then he rolls his shoulders, shakes his smiling hat and informs theπ-rat of the swarm that the exact division of the loot is still possible, and each one will thus have exactly 13 more doubles. How many doubles can be reached at eachπ rate at the most?

Team competition 2010 Semifinal B Problem tests 3/3

Answer: 1144 src_gas_2010_semifinale_b__Q10

Valore atteso righe sopra la tessera rossa nel triangolo

Temi tu la tombola di Davy Jensen? Il π-rata maledetto Davy Jensen ha una borsa che contiene 90 tessere bianche della tombola, più 1 singola tessera rosso sangue. Ogni prigioniero sulla sua nave, l’Olandese Secante, si sottopone al seguente gioco per sapere quanti anni dovrà servire sulla nave: estrae le tessere a caso una alla volta e le dispone a triangolo (1, poi 2, poi 3, …, fino a 13). Il malcapitato dovrà servire tanti anni quante sono le righe del triangolo più lunghe di quella in cui compare la tessera rossa. Bill “Sputafuoco” Turing, che osserva in disparte, si domanda mediamente quanti anni di servizio tocchino in questo modo. Jack non capisce esattamente cosa intenda il suo collega π-rata, ma suo figlio Will, che ha studiato, gli spiega che tra i tanti modi di definire il numero medio di anni di servizio (tutti che portano allo stesso risultato) quello più comune è la somma dei numeri k· pk dove, per ogni numero naturale 0 ≤k ≤12, pk è la probabilità che gli anni di servizio siano k. Qual è il numero medio di anni di servizio? [Come risultato fornire il prodotto di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini]

Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.3

Expected value lines above the red card in the triangle

Are you afraid of Davy Jensen’s grave? The cursed Davy Jensen rat has a bag that contains 90 white tiles from the tomb, plus one single red card of blood. Each prisoner on his ship, the Dutchman Secante, undergoes the following game to know how many years he will have to serve on the ship: he extracts the cards randomly one at a time and arranges them in a triangle (1, then 2, then 3, …, up to 13). The headless man will have to serve as many years as the lines of the triangle are longer than the one in which the red card appears. Bill Turing, who observes from a different angle, wonders on average how many years of service are affected in this way. Jack does not understand exactly what his colleague π-rate means, but his son Will, who has studied, explains that among the many ways of defining the average number of years of service (all leading to the same result) the most common is the sum of the numbers k· pk where, for every natural number 0 ≤k ≤12, pk is the probability that the years of service are k. What is the average number of years of service? [As a result, provide the product of the reduced fraction numerator and denominator to the minimum terms]

Answer: 0004 src_gas_2010_semifinale_b__Q11

Minimi numeri di 5 cifre con cifre 0-9, uno doppio dell’altro

La cattura di Cauchypso La fratellanza dei π-rati è formata dai 9 π-rati nobili più Teague Disparrow, il padre di Jack. Ciascuno dei membri possiede una delle carte di un mazzo di 10 tarocchi magici, numerati con le cifre da 0 a 9. Per catturare Cauchypso in forma umana, i π-rati devono disporre tutte le carte in modo da formare con esse 2 numeri di 5 cifre (nessuno dei quali inizia con zero) che siano l’uno il doppio dell’altro e in modo tale che siano i più piccoli possibili. Quali sono le ultime 4 cifre del minore dei due?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3485 Fonte: apri PDF p.3

Minimum numbers of 5 digits with digits 0 to 9, one double the other

The Fraternity of the π-rats is made up of 9 π-rat nobles plus Teague Disparrow, Jack’s father. Each member holds one of the cards in a deck of 10 magic tarot decks, numbered from 0 to 9. To capture Cauchypso in human form, π-rates must arrange all the cards so as to form with them 2 5-digit numbers (none of which starts with zero) that are one double the other and so as to be the smallest possible. What are the last four digits of the smaller of the two?

Answer: 3485 src_gas_2010_semifinale_b__Q12

Prezzo ottimale spade per massimizzare i guadagni

Un avido bucaniere Le spade fabbricate dal giovane Will Turing sono celebri per la loro qualità e possono essere vendute a caro prezzo. Will vuole finanziare la prossima avventura vendendo le sue spade a Tortuga, ma deve decidere quante fabbricarne e a che prezzo venderle. Se chiede un prezzo di 70 dobloni o meno è sicuro che tutti i 10000 π-rati di Tortuga ne vorranno una. Se però fissa un prezzo superiore, per ogni doblone in più venderà 50 spade in meno. Sapendo che fabbricare ogni spada gli costa 10 dobloni, supponendo che fissi un prezzo tale da massimizzare i suoi guadagni, quanti pirati compreranno la propria spada da Will?

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 6500 Fonte: apri PDF p.3

Optimal price of swords to maximize earnings

The swords made by the young Will Turing are famous for their quality and can be sold for a high price. Will wants to finance his next adventure by selling his swords to Tortuga, but he has to decide how many to make and at what price to sell them. If you ask for a price of 70 doubles or less, you’re sure that all 10,000 Tortuga rates will want one. But if he sets a higher price, for every extra double he sells 50 fewer swords. Knowing that making every sword costs him 10 doubles, assuming he sets a price that maximizes his earnings, how many pirates will buy their sword from Will?

Answer: 6500 src_gas_2010_semifinale_b__Q13

Massima velocita inseguitore con rotta alternata a due direzioni

Una rotta ingegnosa La Perla Vera è braccata dal Cramer, il terribile mostro marino scatenato da Davy Jensen, e sta cercando di raggiungere la terra prima di lui. L’isola più vicina è un punto che si trova esattamente 10 miglia a nord della nave. Siccome il vento non è di poppa ma un po’ laterale, Capitan Disparrow imposta una rotta che alterna continuamente due direzioni diverse: verso nord-est (30 gradi rispetto al nord) la nave va a 5 m/s, mentre verso nord-ovest (60 gradi rispetto al nord) la nave va a 3 m/s. Il Cramer parte da un punto 10 miglia più a sud della nave e si muove verso nord a velocità costante. Qual è la massima velocità del Cramer che permette alla Perla Vera di arrivare all’isola per prima? Rispondere in cm/s.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 0588 Fonte: apri PDF p.3

Maximum speed pursuer with two-way alternating course

An ingenious route The True Pearl is caught by Cramer, the terrible sea monster set off by Davy Jensen, and is trying to get to land ahead of him. The nearest island is a point that lies exactly 10 miles north of the ship. As the wind is not windy but slightly lateral, Captain Disparrow imposes a route that alternates continuously in two different directions: to the northeast (30 degrees relative to the north) the ship goes at 5 m/s, while to the northwest (60 degrees relative to the north) the ship goes at 3 m/s. The Cramer starts at a point 10 miles south of the ship and moves north at constant speed. What’s the maximum speed of the Cramer that allows the Pearl to reach the island first? Answer in cm/s.

Answer: 0588 src_gas_2010_semifinale_b__Q14

Tentativi massimi per aprire scrigno con 4 serrature e vincolo

Lo scrigno spettrale Non è semplice aprire lo scrigno che custodisce il cuore di Davy Jensen: il prode Will Turing dispone già della chiave, ma ora è in crisi, perché ha scoperto che lo scrigno ha ben 4 serrature (una per lato). Per fortuna la chiave in suo possesso va bene per tutte le serrature, ma per sbloccare il meccanismo che apre lo scrigno, bisogna far fare 2 giri ad ogni serratura, in un ordine preciso che Will non conosce; sa solo che il primo giro (ma non il secondo) va dato sulla serratura anteriore. Per quante volte Will dovrà, al massimo, provare a sbloccare il meccanismo per esser sicuro di aprire lo scrigno?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0540 Fonte: apri PDF p.3

Maximum attempts to open the box with 4 locks and fasteners

It’s not easy to open the chest that holds Davy Jensen’s heart: the prodigy Will Turing already has the key, but now he’s in crisis, because he discovered that the chest has 4 locks (one on each side). Fortunately, the key in his possession is good for all locks, but to unlock the mechanism that opens the casket, you have to make 2 turns at each lock, in a precise order that Will doesn’t know; he only knows that the first turn (but not the second) is on the front lock. How many times does Will have to try to unlock the mechanism to make sure he opens the safe?

Answer: 0540 src_gas_2010_semifinale_b__Q15

Massima area quadrilatero in semicerchio con angoli dati

Scontro tra i flutti La Perla Vera rischia di essere inghiottita in un vortice! Quest’ultimo ha la forma di un quadrilatero OABC, tutto contenuto in un semicerchio di centro O e diametro AD. Il punto B sta sulla semicirconferenza e l’angolo BOA misura 60 gradi. L’Olandese Secante dà battaglia da un punto E della semicirconferenza tale che EOD misura 30 gradi. Il punto C appartiene al segmento DE oppure all’arco EB, ma purtroppo la vedetta non è sicura. Sapendo che AD misura 48 m, quanti metri quadrati può misurare, al massimo, l’area del vortice?

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0537 Fonte: apri PDF p.3

Maximum quadrilateral area in semicircle with data angles

The true pearl is in danger of being swallowed up in a vortex! The latter has the shape of an OABC quadrilateral, all contained in a semicircle of centre O and diameter AD. The point B is on the semicircular and the BOA angle is 60 degrees. The Dutch Dryer gives battle from a point E of the semicircle such that EOD measures 30 degrees. The point C belongs to the DE segment or to the EB arc, but unfortunately the viewpoint is not certain. Knowing that AD measures 48 m, how many square meters can it measure, at most, the area of the vortex?

Answer: 0537 src_gas_2010_semifinale_b__Q16