Ora indicata da orologio digitale con proprieta somma cifre
L’ora fatale 30 punti Al termine di una delicata votazione, il Presidente del Parlamento della Repubblica delle Banane allevia la tensione dei presenti con una osservazione frivola di tipo matematico. “Guardate l’orologio in quest’aula”, afferma. “Per 24 ore la somma delle cifre che indica non sarà più uguale a quella che c’è ora. Noi però non possiamo restare qui a controllare in quanto, come sapete, dalla prossima mezzanotte fino alle 03:00 dovremo purtroppo interrompere i lavori per permettere le pulizie nell’aula”. Sapendo che nell’aula c’è un normale orologio digitale che indica le ore da 00:00 a 23:59, determinare l’ora indicata. Nella risposta utilizzare le 2 cifre a sinistra per indicare l’ora e le 2 cifre a destra per indicare i minuti.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
*Time indicated by digital clock with sum property *
After a delicate vote, the President of the Banana Republic Parliament relieves the tensions of those present with a frivolous mathematical observation. Look at the clock in this room, he says. For 24 hours the sum of the figures it indicates will no longer be the same as it is now. We cannot, however, remain here to check as, as you know, from next midnight until 3 a.m. we will unfortunately have to stop work to allow cleaning in the hall. Knowing that there is a normal digital clock in the room that indicates the hours from 00:00 to 23:59, determine the time indicated. In the answer, use the 2 digits on the left to indicate the time and the 2 digits on the right to indicate minutes.
ricostruire cifre di una sottrazione
La riconta 30 punti Nonostante siano passati parecchi mesi dalle elezioni, nella Repubblica delle Banane non si è ancora fatta del tutto chiarezza sui risultati. La nuova commissione che sta esaminando i verbali provenienti dai seggi si trova spesso di fronte a verbali pasticciati. In uno compare la seguente sottrazione a 0 0 8 c 2 − 4 ♦ ♥ 8 8 d
2 ♣ ♠ b 7 3 in cui lettere e simboli rappresentano cifre illeggibili (non è detto che simboli e lettere diversi rappresentino cifre diverse). Nonostante tutto, la commissione riesce a ricostruire in parte il calcolo. Indicare nella risposta (da sinistra verso destra) le cifre corrispondenti alle lettere a, b, c, d.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
reconstruct the digits of a subtraction
Despite several months since the elections, the results in the Banana Republic are still not entirely clear. The new committee which is examining the minutes from the seats is often faced with messed up minutes. In one the following subtraction appears at 0 0 8 c 2 − 4 ♦ ♥ 8 8 d = 2 ♣ b 7 3 where letters and symbols represent unreadable numbers (it is not said that different symbols and letters represent different numbers). Nevertheless, the committee manages to reconstruct part of the calculation. Enter in the answer (left to right) the digits corresponding to the letters a, b, c, d.
Angoli di un cortile triangolare diviso in tre
Separati in casa 30 punti Il Parlamento della Repubblica delle Banane ha un cortile triangolare nel quale i Parlamentari sono soliti ricrearsi nelle pause tra i lavori. Per evitare scontri tra le 3 fazioni che si oppongono, si è deciso di suddividere il cortile in 3 zone triangolari mediante delle transenne che partono dai vertici del cortile e concorrono in un punto interno. Il triangolo della Maggioranza e quello dell’Opposizione sono isosceli con base sul lato del cortile che a loro compete. Il lato che hanno in comune è lungo quanto il lato di cortile che appartiene alla zona degli Indecisi. Sapendo che gli angoli alla base del triangolo della Maggioranza misurano 20°, determinare gli angoli del cortile. Nella risposta, dopo aver ordinato gli angoli (in gradi sessagesimali) dal maggiore al minore, utilizzare le 2 cifre a sinistra per indicare l’angolo di misura intermedia e le 2 cifre a destra per indicare l’angolo minore. Gara a Squadre – Fase Locale – Testi dei problemi – Pag. 1 di 7
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Angles of a triangular courtyard divided into three
The Parliament of the Banana Republic has a triangular courtyard in which Members of Parliament usually recreate themselves during breaks between work. In order to avoid clashes between the three opposing factions, it was decided to divide the courtyard into three triangular zones by means of trusses that start from the vertices of the courtyard and compete at an inner point. The Triangle of the Majority and the Triangle of the Opposition are isosceles based on the side of the court that is theirs. The side they have in common is as long as the courtyard side that belongs to the undecided zone. Knowing that the corners at the base of the Majority Triangle measure 20°, determine the corners of the courtyard. In the answer, after ordering the angles (in sexagesimal degrees) from major to minor, use the 2 digits on the left to indicate the middle measurement angle and the 2 digits on the right to indicate the minor angle. Team competition Local phases Problem texts Pages. 1 di 7
Trovare il pacco col totale sbagliato e il valore corretto
Ungere le ruote 30 punti In occasione delle festività natalizie, il responsabile di una grande società sull’orlo del fallimento ha preparato 5 pacchi dono per ingraziarsi i potenti di turno. I 5 pacchi contengono orologi, gioielli, quadri d’autore. Per non lasciare troppe tracce nel bilancio, si è appuntato la situazione nel modo seguente: Pacco 1 Pacco 2 Pacco 3 Pacco 4 Pacco 5 ♦ ♦ ♦ ♦ ♥ ♦ ♦ ♦ 110 80 140 130 100 È chiaro che i 3 simboli rappresentano i 3 tipi di oggetto, tutti dello stesso valore (nel senso che tutti gli orologi hanno lo stesso valore, così come i gioielli ed i quadri, ma ovviamente un orologio ed un gioiello possono avere valori diversi). È chiaro anche che il numero indicato sotto il pacco rappresenta il valore totale degli oggetti in esso contenuti, espresso in qualche misteriosa valuta. È chiaro infine che, per complicare ulteriormente le cose, uno dei 5 totali è stato volutamente sbagliato. Determinare come stanno le cose. Nella risposta utilizzare la cifra a sinistra per indicare il pacco dal valore sbagliato e le restanti 3 cifre per indicare il valore corretto. Se ad esempio si ritiene che il valore del quinto pacco dovrebbe essere 80 invece di 100, rispondere 5080.
Topic: Algebra, Logica, giochi, strategie Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Finding the package with the wrong total and the correct value
On the occasion of the Christmas holidays, the head of a large company on the verge of bankruptcy prepared 5 gift packages to thank the powerful on duty. The 5 packages contain watches, jewellery, and paintings by the author. To avoid leaving too many traces in the balance sheet, the situation was set as follows: Package 1 Package 2 Package 3 Package 4 Package 5 ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ 110 80 140 130 100 It is clear that the 3 symbols represent the 3 types of object, all of the same value (in the sense that all watches have the same value, as well as jewelry and frames, but of course a watch and a jewelry can have different values). It is also clear that the number shown below the package represents the total value of the items contained in it, expressed in some mysterious currency. Finally, it is clear that, to further complicate matters, one of the five totals was deliberately wrong. Determine how things are. In the answer, use the left digit to indicate the wrong value package and the remaining 3 digits to indicate the correct value. For example, if you think the value of the fifth package should be 80 instead of 100, answer 5080.
Assegnare mezzi di trasporto con vincoli logici
Amici nemici 30 punti Sei colleghi devono fare un viaggio di lavoro. A causa di alcune incompatibilità di carattere, decidono di viaggiare a gruppi di 2, usando mezzi di trasporto diversi: aereo, treno, autobus. Francesco viaggia con Gianfranco. Massimo prende l’aereo. Romano non vuole assolutamente viaggiare con Silvio, n´e prendere l’aereo. Umberto non viaggia in treno. Determinare con quali mezzi viaggeranno i 6 colleghi. Per scrivere la risposta, usare la convenzione che aereo = 1, treno = 2, autobus = 3, quindi indicare, da sinistra verso destra, i mezzi di trasporto scelti da Francesco, Romano, Silvio, Umberto.
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Assigning means of transport with logical constraints
Friends enemies 30 points Six colleagues are on a business trip. Due to some incompatibilities of character, they decide to travel in groups of 2, using different means of transport: airplane, train, bus. Francis is traveling with Gianfranco. Maximo takes the plane. Roman doesn’t want to travel with Silvio at all, and he’s taking the plane. Umberto does not travel by train. Determine what means the six colleagues will use to travel. To write the answer, use the convention that airplane = 1, train = 2, bus = 3, then indicate, from left to right, the means of transport chosen by Francesco, Romano, Silvio, Umberto.
Minimo numero di calzini per garantire coppie a 2007 persone
Finanziamenti occulti 30 punti Una nota ditta che produce calzini ha deciso di finanziare la politica nella Repubblica delle Banane. Per non scontentare nessuno ha inviato ai politici un container con 4000 calzini bianchi, 2000 neri, 1600 rossi, 1000 verdi, 800 gialli e 600 blu. Determinare il minimo numero di calzini che bisogna pescare a caso (tutti insieme) in modo da averne poi sicuramente a sufficienza per 2007 persone (si intende che ogni persona dovrà averne 2 dello stesso colore). Gara a Squadre – Fase Locale – Testi dei problemi – Pag. 2 di 7
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Minimum number of socks to guarantee couples per 2007 people
Hidden financing 30 points A well-known sock manufacturer has decided to finance policy in the Banana Republic. In order not to displease the politicians, no one sent a container with 4,000 white socks, 2,000 black socks, 1600 red socks, 1,000 green socks, 800 yellow socks and 600 blue socks. Determine the minimum number of socks to be fished at random (all together) so that there are enough socks for 2007 people (each person must have 2 of the same colour). Team competition Local phases Problem texts Pages. 2 di 7
Quanti hanno votato Si dato exit poll con scambio voti
Exit polls 30 punti Ad un Referendum hanno partecipato 10.000 elettori, i quali hanno dovuto pronunciarsi sulla costruzione di un nuovo palazzetto in cui svolgere le Gare a Squadre. Tutti hanno regolarmente votato o “Sì” o “No”. All’uscita dai seggi un’agenzia di sondaggi ha chiesto a tutti gli elettori di ripetere il proprio voto, in modo da preparare gli exit polls. Tuttavia, come regolarmente accade, il 90% di quelli che hanno votato “Sì” ha dichiarato di aver votato “No”, ed il 90% di quelli che hanno votato “No” ha dichiarato di aver votato “Sì”. Sapendo che 3600 elettori hanno dichiarato di aver votato “Sì”, determinare quanti effettivamente si sono espressi per il “Sì”.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.4
How many people voted Exit poll with vote exchange
Exit polls 30 points In a referendum 10,000 voters took part, who were asked to vote on the construction of a new building for the teams’ competitions. Everyone regularly voted either Yes or No. A polling agency asked all voters to repeat their vote in order to prepare exit polls. However, as is regularly the case, 90% of those who voted Yes said they voted No, and 90% of those who voted No said they voted Yes. Knowing that 3600 voters declared that they voted Yes, determine how many actually voted for Yes.
Massimo fattore primo di S con spesa logaritmica iterata
Tagli alla spesa 40 punti Per fronteggiare l’enorme indebitamento, il governo della Repubblica delle Banane ha varato un piano di tagli alla spesa pubblica. Tale piano prevede che la spesa in ognuno dei prossimi anni sarà il logaritmo della spesa dell’anno precedente, e che tale logaritmo sia calcolato nella base data proprio dall’anno precedente. Così, per esempio, la spesa pubblica nel 2008 sarà il logaritmo in base 2007 della spesa pubblica del 2007, e analogamente la spesa pubblica nel 2009 sarà il logaritmo in base 2008 della spesa pubblica del 2008. Procedendo di questo passo, il governo prevede che nel 2011 la spesa pubblica sarà di soli 2 euro. Indicato con S il numero che indica la spesa pubblica di quest’anno (il 2007), determinare il più grande fattore primo di S.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
Most prime factor of S with iterated logarithmic expense
Cutting spending 40 points To cope with the enormous debt, the Government of the Banana Republic has launched a plan to cut public spending. This plan provides that the expenditure in each of the following years will be the logarithm of the previous year’s expenditure, and that this logarithm is calculated on the basis given from the previous year. Thus, for example, public expenditure in 2008 will be the logarithm based on 2007 of public expenditure in 2007, and similarly public expenditure in 2009 will be the logarithm based on 2008 of public expenditure in 2008. In this step, the government expects public expenditure to be only EUR 2 in 2011. Indicated with S the number indicating public expenditure for this year (2007), determine the largest prime factor of S.
Angoli di due rette dato rapporto aree rosse/verdi
L’aiuola bipartisan 40 punti Il disegno di un’aiuola è composto da 3 circonferenze concentriche di raggio 1, 2, 3 metri, e da 2 rette passanti per il centro delle circonferenze. Le 3 circonferenze e le 2 rette determinano 12 regioni limitate, in ciascuna delle quali vengono piantati dei fiori rossi o verdi, avendo cura che 2 regioni con i fiori dello stesso colore abbiano al più un punto in comune. Sapendo che l’area con i fiori rossi è uguale ad una volta e mezza l’area con i fiori verdi, determinare la misura in gradi sessagesimali dei 2 angoli più piccoli formati dalle 2 rette.
Topic: Geometria piana Metodo: parita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4
Angles of two straight given red/green area ratio
The bipartisan ceiling 40 points The design of a ceiling consists of 3 concentric circles of radius 1, 2, 3 metres, and 2 straight lines passing through the centre of the circles. The three circumferences and the two straight lines determine 12 limited regions, each of which is planted with red or green flowers, ensuring that two regions with flowers of the same colour have at most one point in common. Knowing that the area with the red flowers is equal to one and a half times the area with the green flowers, determine the sexagesimal degree measurement of the two smaller angles formed by the two straight lines.
Somma anni con somma cifre iterate uguale a 2007
Panem et circenses 40 punti Pochi sono i momenti in cui si può andare fieri di essere cittadini della Repubblica delle Banane. Tra questi, di sicuro al primo posto ci sono le vittorie nelle grandi competizioni sportive internazionali. Purtroppo queste si sono concentrate in pochi anni. Un esperto di numerologia ha notato che ciò è accaduto in tutti e soli gli anni con questa proprietà: “la somma del numero dell’anno, della somma delle sue cifre, e della somma delle cifre della somma delle cifre è uguale a 2007”. Ad esempio, nel 2005 non vi sono state importanti vittorie in quanto 2005+7+7 ̸= 2007. Determinare la somma dei numeri di tutti gli anni (dal 1900 in poi) in cui si sono avute le grandi vittorie sportive. Gara a Squadre – Fase Locale – Testi dei problemi – Pag. 3 di 7
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
sum of years with sum of iterated digits equal to 2007
Panem et circenses 40 points There are few moments when one can be proud of being a citizen of the Banana Republic. Of these, the first is certainly the victories in major international sporting competitions. Unfortunately, these have concentrated in a few years. One numerology expert noted that this happened in all but one year with this property: the sum of the number of years, the sum of its digits, and the sum of the digits of the sum of the digits is equal to 2007. For example, in 2005 there were no major victories as 2005+7+7 =2007. Determine the sum of the numbers of all the years (from 1900 onwards) in which major sporting victories have taken place. Team competition Local phases Problem texts Pages. 3 di 7
Perimetro del quadrato ricomposto da un rettangolo a L
Confluenze 40 punti Fatto incredibile: nella Repubblica delle Banane 2 partiti si sono uniti per fondarne uno solo. Per conservare traccia delle 2 diverse tradizioni, il simbolo del nuovo partito contiene un rettangolo suddiviso in 2 parti uguali di colore diverso, la cui forma ricorda vagamente una lettera L. Inoltre, se uno ritaglia le 2 parti, queste possono essere ricomposte per formare un quadrato. Supponendo di effettuare l’operazione a partire da un grande manifesto in cui il rettangolo ha un perimetro di 7020 millimetri, determinare, sempre in millimetri, il perimetro del quadrato che si viene a formare.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.5
Square perimeter consisting of a rectangle at L
Incredible fact: In the Banana Republic, two parties united to form one. To keep track of the 2 different traditions, the new party symbol contains a rectangle divided into 2 equal parts of different color, whose shape vaguely resembles an L letter. Furthermore, if one cuts the two parts, they can be reassembled to form a square. Assuming that the operation is carried out from a large manifesto in which the rectangle has a perimeter of 7020 millimetres, the perimeter of the square to be formed shall be determined in millimetres.
Tempo di recupero di un cappello in un fiume
E il barcarolo va … 40 punti Massimo sta portando la sua amica Giovanna su per un fiume con una barchetta. Massimo rema controcorrente ad una velocità costante rispetto alla riva di 1 Km/h mentre il fiume scorre con una velocità costante di 2 Km/h (sempre rispetto alla riva). Giovanna appoggia il suo cappellino sul bordo della barchetta e continuando a chiaccherare con Massimo non si accorge che il cappellino cade in acqua e si allontana galleggiando. Solo 30 minuti dopo la caduta del cappellino Giovanna si accorge di averlo perso. Massimo allora gira immediatamente la barca e insegue il capellino remando sempre allo stesso ritmo di prima (mantenendo dunque, in modulo, la stessa velocità relativa rispetto all’acqua). Trascurando il tempo che Massimo impiega a fare la virata, determinare quanti minuti intercorrono tra l’istante in cui il cappellino cade in acqua e quello in cui Giovanna riesce a recuperarlo.
Topic: Algebra Metodo: monovarianti Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.5
Time to recover a hat in a river
And the boat ‘s going … Maximo is taking his friend Giovanna up a river with a boat. Maximum countercurrent bend at a constant speed with respect to the shore of 1 Km/h while the river flows at a constant speed of 2 Km/h (always with respect to the shore). Joan rests her hat on the edge of the boat and as she continues to chat with Maximo, she does not notice that the hat falls into the water and floats away. Only 30 minutes after the hat fell, Giovanna realizes she’s lost it. Maximo then immediately spins the boat and pursues the capellino always rowing at the same pace as before (keeping, therefore, the same relative speed with respect to water). Ignoring the time that Maximo takes to make the turn, determine how many minutes pass between the moment the hat falls into the water and the moment Joan manages to recover it.
Numero di cifre di 25^3007 moltiplicato per 8^2007
La voragine 40 punti Nella Repubblica delle Banane ogni governo si lamenta dei buchi di bilancio lasciati dal governo precedente. Il governo precedente asseriva di aver trovato un debito di 253007 euro. Il governo attuale, per rincarare la dose, asserisce di aver trovato un debito pari a quello lamentato dal governo precedente moltiplicato per 82007. Determinare quante cifre servirebbero per scrivere per esteso la rappresentazione decimale del numero che indica il debito stimato dal governo attuale.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.5
Number of digits 25^3007 multiplied by 8^2007
In the Banana Republic, every government complains about the budget gaps left by the previous government. The previous government claimed to have found a debt of EUR 253007. The current government, to lower the dose, claims to have found a debt equal to that complained by the previous government multiplied by 82007. Determine how many digits would be needed to write out the decimal representation of the number indicating the estimated debt of the current government.
Numero di facce di un poliedro dopo sei smussamenti
Luci poliedriche 50 punti Nel salone delle feste del Parlamento vi è un lampadario supermoderno. La forma del lampadario è un poliedro che si può pensare ottenuto partendo da un cubo ed operando 6 “smussamenti”. Il primo smussamento consiste nel prendere il cubo e tagliare via un piccolo tetraedro in corrispondenza di ogni vertice del cubo in cui concorrono 3 spigoli: si ottiene così un solido con 6 facce ottagonali (non necessariamente regolari) ed 8 facce triangolari. A questo punto si ripete nuovamente l’operazione di smussamento sul nuovo solido, eliminando un piccolo tetraedro in corrispondenza di ogni vertice del nuovo solido in cui concorrono 3 spigoli, e così via. Determinare quante sono le facce del lampadario. Gara a Squadre – Fase Locale – Testi dei problemi – Pag. 4 di 7
Topic: Geometria solida Metodo: Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Geometria Fonte: apri PDF p.5
Number of faces of a polyhedron after six movements
50 points polyhedral lamps In the Parliament’s party hall there is a super modern lighthouse. The shape of the bulb is a polyhedron which can be thought of as being obtained from a cube and operating 6 smussements. The first move consists of taking the cube and cutting off a small tetrahedron corresponding to each vertex of the cube in which 3 spikes compete: a solid with 6 octagonal faces (not necessarily regular) and 8 triangular faces is obtained. At this point, again the stirring operation on the new solid is repeated, removing a small tetrahedron corresponding to each vertex of the new solid in which 3 spikes compete, and so on. Determine how many faces the lamp has. Team competition Local phases Problem texts Pages. 4 di 7
Positivi terzo e quarto giorno con medie sempre intere
Il buon esempio 50 punti Si sa che nella Repubblica delle Banane è fatto assoluto divieto ai Parlamentari di consumare, appunto, le banane. Per indagare sull’osservanza di tale disposizione, gli inviati di una nota trasmissione televisiva hanno, con un pretesto, prelevato dei campioni di materiale organico dai Parlamentari stessi, sottoponendoli poi ad analisi per smascherare l’eventuale consumo del frutto proibito. L’indagine si è svolta in 5 giorni consecutivi. Alla fine di ogni giornata gli inviati si sono appuntati il numero dei Parlamentari risultati positivi ed hanno anche calcolato il numero medio di positivi fino a quel giorno. Fatto strano, per 5 volte la media è risultata un intero. Sapendo che il numero dei positivi nei vari giorni è stato di 71, 76, 80, 82, 91 (non necessariamente nell’ordine), determinare quanti sono stati i positivi nel terzo e nel quarto giorno. Nella risposta utilizzare le 2 cifre a sinistra per indicare il numero dei positivi il terzo giorno, e le 2 cifre a destra per il numero dei positivi del quarto giorno.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.6
*Third and fourth day positive with always full mean *
The good example 50 points It is known that in the Banana Republic it is absolutely forbidden for Members of Parliament to consume bananas. In order to investigate compliance with this provision, the subjects of a televised broadcast took samples of organic material from the Members themselves under pretext and then analysed them to reveal the possible consumption of the prohibited fruit. The survey was carried out over 5 consecutive days. At the end of each day, the delegates set out the number of Members who had tested positive and also calculated the average number of those who had tested positive up to that day. Oddly enough, five times the average was a whole. Knowing that the number of positive cases on the various days was 71, 76, 80, 82, 91 (not necessarily in the order), determine how many positive cases were on the third and fourth days. In the answer, use the 2 digits on the left to indicate the number of positive on the third day, and the 2 digits on the right to indicate the number of positive on the fourth day.
Somma dei tre maggiori numeri sul tratto orizzontale di una H
Non ci capisco un … H 50 punti Passata la Sudoku-mania, un nuovo gioco va per la maggiore nella Repubblica delle Banane. Si parte con uno schemino composto da 7 quadratini uguali, disposti in modo da formare una lettera H. L’obiettivo è di riempire i quadratini usando tutte e sole le cifre da 1 a 7 e facendo in modo che la somma dei 3 numeri scritti su ognuno dei 3 bracci della lettera H sia sempre la stessa. Ordinando in maniera decrescente i numeri di 3 cifre che possono comparire nel tratto orizzontale (ovviamente in uno schemino completamente compilato secondo le regole), determinare la somma dei 3 più grandi.
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
sum of the three largest numbers on the horizontal line of an H
I don ‘t understand any of that … H 50 points past Sudoku-mania, a new game goes to the major in the Banana Republic. It starts with a pattern of 7 equal squares arranged to form a letter H. The goal is to fill the squares using only the digits 1 to 7 and making sure that the sum of the 3 numbers written on each of the 3 arms of the letter H is always the same. By decreasing the order of the 3-digit numbers that can appear in the horizontal line (obviously in a pattern completely compiled according to the rules), determine the sum of the 3 largest.
Chilometri reali dato un contachilometri che salta cifre
Il rimborso spese 50 punti Un politico della Repubblica delle Banane ha manomesso il contachilometri della sua auto blu, in modo da far figurare una maggior percorrenza e aumentare corrispondentemente il rimborso spese che gli spetta. In conseguenza della manomissione, ora tutte le cifre del contachilometri passano direttamente dal 3 al 5 (saltando il 4), e dall’8 allo 0 (saltando il 9). All’inizio dell’anno il contachilometri indicava 2007, ora indica 7002. Determinare quanti chilometri ha effettivamente percorso l’auto.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.6
Real kilometres given a counting kilometre that skips digits
A banana republican politician tampered with the meter of his blue car so that he could see a greater distance and increase the corresponding reimbursement of his expenses. As a result of the tampering, all the numbers in the calculator now go directly from 3 to 5 (leaping 4), and from8 to 0 (leaping 9). At the beginning of the year, the meter was 2007 and now it is 7002. Determine how many kilometres the car actually traveled.
Minimo numero di parlamentari diventati indipendenti
Il ribaltone 60 punti I Deputati della Repubblica delle Banane erano suddivisi in 200 gruppi parlamentari. Tutti i gruppi avevano un numero diverso di elementi, sempre comunque maggiore od uguale a 7. A seguito di una crisi di governo le cose sono cambiate. Ora alcuni Deputati sono diventati indipendenti (cioè non fanno parte di nessun gruppo), mentre gli altri hanno costituito dei nuovi gruppi parlamentari. Ancora una volta, tutti i gruppi hanno un numero diverso di elementi, sempre comunque maggiore od uguale a 7. Inoltre, come solitamente accade, se 2 Parlamentari erano nello stesso gruppo prima della crisi, ora o sono in gruppi diversi o almeno uno di loro è diventato indipendente. Determinare il minimo numero di parlamentari che sono diventati indipendenti. Gara a Squadre – Fase Locale – Testi dei problemi – Pag. 5 di 7
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Minimum number of MPs becoming independent
The 60 points turning point The Members of the Banana Republic were divided into 200 parliamentary groups. Each group had a different number of elements, always greater than or equal to 7. After a government crisis, things changed. Now some Members have become independent (i.e. they are not part of any group), while others have formed new parliamentary groups. Once again, all groups have a different number of elements, always greater than or equal to 7. Moreover, as is usually the case, if two Members of Parliament were in the same group before the crisis, they are now either in different groups or at least one of them has become independent. Determine the minimum number of MPs who have become independent. Team competition Local phases Problem texts Pages. 5 di 7
Terne di numeri pari di tre cifre con cifre 1-9
Ritorno al passato 60 punti L’unico accordo che i partiti della Repubblica delle Banane hanno trovato per la nuova legge elettorale prevede un drastico ritorno al passato. Vi sarà infatti una sola Camera in cui siederanno i rappresentanti della Nobiltà, del Clero, e del Terzo Stato. Ciascuna delle tre categorie avrà un numero pari di rappresentanti, in modo da favorire la litigiosità interna. I numeri di rappresentanti delle categorie saranno tutti di 3 cifre, e per scriverli si useranno una ed una sola volta le cifre da 1 a 9. Sapendo che i rappresentanti della Nobiltà saranno di più di quelli del Clero, i quali a loro volta saranno di più di quelli del Terzo Stato, determinare quante sono le possibili terne di numeri che rappresentano i componenti delle 3 categorie.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.7
Trees of three-digit numbers with digits 1-9
The only agreement that the parties of the Banana Republic have found for the new electoral law is a drastic return to the past. In fact, there will be only one chamber in which the representatives of the nobility, the clergy, and the Third State will sit. Each of the three categories will have an equal number of representatives, so as to foster internal litigation. The numbers representing the categories will all be three digits, and the digits 1 to 9 will be used only once to write them. Knowing that the representatives of the nobility will be more than those of the clergy, who in turn will be more than those of the Third State, determine how many possible number threads represent the components of the 3 categories.
Distanza dalla terza sbarra di un tornello a 60 gradi
Per soli abbonati 60 punti Ottemperando alle ultime disposizioni in materia, gli ingressi di uno stadio sono stati muniti di tornelli. Un tornello è costituito da 3 sbarre metalliche complanari disposte con i centri coincidenti in modo da formare tra di loro angoli di 60°e da poter ruotare attorno ad un asse verticale passante per il centro comune. Nel momento in cui uno spettatore sta passando attraverso il tornello, il metal detector rivela un oggetto metallico sospetto. La macchina indica che l’oggetto sospetto si trova nel piano delle sbarre e dista, rispettivamente, 36 e 42 centimetri dalle 2 sbarre che delimitano l’angolo di 60°in cui si trova. Determinare, sempre in centimetri, la distanza dell’oggetto dalla terza sbarra (trascurando ovviamente lo spessore dell’oggetto e delle sbarre).
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Distance from the third bar of a 60 degree screw
In accordance with the latest provisions, the entrances to a stadium have been fitted with screws. A screw consists of three parallel metal bars arranged with the centers coinciding so as to form angles of 60° between them and so as to rotate around a vertical axis passing through the common centre. The moment a viewer is passing through the screw, the metal detector detects a suspicious metal object. The machine indicates that the suspected object is located in the plane of the bars and is 36 and 42 centimetres respectively from the two bars which delimit the angle of 60° in which it is located. Determine, always in centimetres, the distance of the object from the third bar (neglecting of course the thickness of the object and the bars).
Numero di triangoli formati da corde di 13 punti su cerchio
Il palio di Bananopolis 70 punti In epoca antica l’attuale Repubblica delle Banane era governata da sovrani autorevoli. Il fondatore circondò la capitale Bananopolis con possenti mura circolari nelle quali si aprivano 13 porte. Ogni coppia di porte era unita da una strada rettilinea. Tali strade erano dette “vie sacre”. La disposizione delle porte faceva sì che in nessun incrocio confluissero 3 o più vie sacre. Dopo la costruzione della città l’oracolo disse che, per ingraziarsi il favore degli dei, ogni anno si sarebbe dovuto correre un palio. La pista su cui correre doveva essere un triangolo i cui lati erano tratti di vie sacre ed i cui vertici non erano in corrispondenza delle porte (intendendo come buoni anche i triangoli attraversati da altre vie sacre oltre a quelle su cui giacciono i lati). Ogni anno, inoltre, il palio si doveva correre su un tracciato diverso: finiti tutti i possibili tracciati, il regno sarebbe crollato. Determinare quanti anni è durato questo antico regno.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.7
Number of triangles made up of 13 point strings per circle
In ancient times the present-day Banana Republic was ruled by authoritative rulers. The founder surrounded the capital Bananopolis with powerful circular walls that opened 13 gates. Each pair of doors was connected by a straight road. These roads were called “sacred streets”. The arrangement of the gates meant that at no crossroads did three or more sacred paths meet. After the city was built, the oracle said that in order to thank the gods for their favor, one would have to run a paleo every year. The track on which to run had to be a triangle whose sides were stretches of sacred roads and whose vertices were not in correspondence with the gates (meaning as good also the triangles crossed by other sacred roads besides those on which the sides lie). Each year, the pallium was to be run on a different track: if all possible tracks were completed, the kingdom would collapse. Determine how long this ancient kingdom lasted.
Volume di una serra con base quadrata e facce triangolari
La serra 70 punti Una serra protegge nei mesi invernali la coltivazione di banane (a soli fini estetici) nei giardini del Parlamento. La base della serra è un quadrato la cui area misura 450 m2. Da due lati opposti del quadrato partono 2 facce della serra a forma di triangolo equilatero. I restanti 2 lati del quadrato sono le basi (minori) di 2 trapezi isosceli uguali. Le basi maggiori dei 2 trapezi, lunghe il doppio del lato del quadrato, sono unite in alto a completare la struttura. Determinare, in metri cubi, il volume della serra. Gara a Squadre – Fase Locale – Testi dei problemi – Pag. 6 di 7
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Volume of a greenhouse with square base and triangular faces
Greenhouse 70 points A greenhouse protects banana cultivation (for aesthetic purposes only) in Parliament’s gardens during the winter months. The base of the greenhouse is a square with an area of 450 m2. From two opposite sides of the square, two equilateral triangle-shaped greenhouse faces begin. The remaining two sides of the square are the bases (minors) of two equal isosceles. The larger foundations of the two trapezoids, twice the length of the side of the square, are joined at the top to complete the structure. Determine the volume of the greenhouse in cubic metres. Team competition Local phases Problem texts Pages. 6 di 7
Minimo di una somma di radici (cammino spezzato ottimale)
Fregatura astrologica 80 punti Per conoscere la durata del prossimo governo, il Primo Ministro della Repubblica delle Banane ha deciso di rivolgersi ad un astrologo. L’astrologo gli ha chiesto date ed orari di nascita di tutti quelli che lo sostengono, da cui, compilando complesse tabelle, ha ricavato 3 importanti parametri. Ora si appresta ad inserire questi 3 parametri in un nuovo software che dovrebbe fornirgli la durata in giorni del governo. Quello che nessuno sa è che l’ingegnere che ha programmato il software non aveva idea di come tener conto di quei parametri e quindi, per confondere un po’ le acque, ha fatto un programma che, ricevuti in input 3 numeri x, y, z, restituisce in output la parte intera di √ x2 + 1 + p (y −x)2 + 4 + p (z −y)2 + 1 + p (10 −z)2 + 9 2 . Sapendo che i 3 parametri calcolati dall’astrologo possono essere numeri reali qualunque, determinare quanti giorni durerà, come minimo, il nuovo governo.
Topic: Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Fonte: apri PDF p.8
*Minimum of a sum of roots (optimal broken path) *
To find out the duration of the next government, the Prime Minister of the Banana Republic decided to consult an astrologer. The astrologer asked him the dates and times of birth of all those who support him, from which, by compiling complex tables, he obtained 3 important parameters. Now he’s about to insert these three parameters into a new software that should provide it with government days. What no one knows is that the engineer who programmed the software had no idea how to account for those parameters and so, to confuse the waters a bit, he did a program that, received in input 3 numbers x, y, z, returns in output the entire part of √ x2 + 1 + p (y −x) 2 + 4 + p (z −y) 2 + 1 + p (10 −z) 2 + 9 2). Knowing that the 3 parameters calculated by the astrologer can be any real number, determine how many days the new government will last, at least.
Minima ronda euleriana in un reticolo 64x37
La ronda 80 punti Per mantenere la disciplina tra i principali esponenti dei partiti che a parole lo sostengono, il Primo Ministro della Repubblica delle Banane ha deciso di sistemarli in una tendopoli. Questo ha comportato la costruzione di un enorme accampamento suddiviso da delle stradine in un reticolo di 64 × 37 quadrati tutti uguali, all’interno di ognuno dei quali c’è una tenda. Ogni notte, per evitare congiure, il Primo Ministro parte da un vertice dell’accampamento e, dopo aver percorso almeno una volta tutte le stradine interne e perimetrali, ritorna al vertice di partenza. Determinare quanto è lunga, come minimo, la ronda del Primo Ministro (esprimere la risposta assumendo come unità di misura la lunghezza del lato dei quadrati del reticolo). Gara a Squadre – Fase Locale – Testi dei problemi – Pag. 7 di 7
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.8
*Minimum eulerian round in a 64x37 lattice *
The 80 points round To maintain discipline among the main members of the parties that speak for it, the Prime Minister of the Banana Republic decided to place them in a tent town. This resulted in the construction of a huge encampment divided by streets in a grid of 64 × 37 square feet all equal, inside each of which there is a tent. Every night, to avoid conspirations, the Prime Minister leaves a summit of the camp and, after having walked at least once through all the inner and perimeter roads, returns to the summit of departure. Determine how long, at least, the Prime Minister’s round is (express the answer by taking as a unit of measurement the length of the sides of the grid squares). Team competition Local phases Problem texts Pages. 7 di 7