Distanza dalla cima di un’antenna con angolo di elevazione
La luce sulla cima (punti 20) Il robot paranoico Marvin è sul bordo del cornicione della torre A della Megadodo Publications, la casa editrice della Guida Galattica per AutoStoppisti (G2AS) a 78 metri di altezza, ha appena terminato la discussione esistenziale con il Frogstar Robot Tank e guarda verso la vetta dell’unica collina di Ursa Minor B. In effetti, guarda proprio la luce in cima dell’antenna sulla vetta della collina: per farlo, alza la testa di 30 gradi. Sapendo che la collina è alta 856 m, l’antenna è alta 6 m e gli occhi di Marvin sono a 2 m dal cornicione, qual è la distanza in metri tra gli occhi di Marvin e la cima dell’antenna?
Topic: Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Distance from the top of an antenna with elevation angle
The light at the top (points 20) The paranoid robot Marvin is on the edge of the tower A cornice of Megadodo Publications, the publishing house of the 78-meter-high Galactic Guide for Auto Stoppers (G2AS), has just finished the existential discussion with the Frogstar Robot Tank and looks toward the top of the only hill of Ursa Minor B. In fact, you’re looking at the light at the top of the antenna on the top of the hill, and to do that, you’re raising your head 30 degrees. Knowing that the hill is 856 meters high, the antenna is 6 meters high and Marvin’s eyes are 2 meters from the cornice, what is the distance in meters between Marvin’s eyes and the top of the antenna?
Tentativi max per 4 pulsanti consecutivi in una griglia
Il quadro comandi (punti 20) Per attivare il quadro comandi della navetta spaziale Heart of Gold, composto da 8 file di 20 pulsanti ciascuna, Zaphod Beeblebrox, l’ex-presidente della Galassia, deve schiacciare 4 pulsanti consecutivi, in un ordine qualunque, ma non sa quali sono, n´e se sono disposti in orizzontale, in verticale o in diagonale. Quanti tentativi al massimo deve fare per attivare il quadro comandi?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Max attempts for 4 consecutive buttons in a grid
The command board (points 20) To activate the Heart of Gold space shuttle command board, made up of 8 rows of 20 buttons each, Zaphod Beeblebrox, the former president of the Galaxy, must press 4 consecutive buttons, in any order, but he doesn’t know which ones are, or whether they are arranged horizontally, vertically or diagonally. How many attempts does he have to make to activate the control panel?
Tempo minimo per nove viaggiatori a tre sportelli
Alla stazione ipergalattica (punti 20) In una stazione ipergalattica vicino ad Arcturus, i viaggiatori formano un’unica coda per accedere agli sportelli della biglietteria ed è sempre quello in testa alla coda che si rivolge ad uno degli sportelli disponibili. Nove viaggiatori sono in coda, con tre sportelli in funzione; impiegano tempi diversi, una volta davanti allo sportello, per acquistare i propri biglietti: 4, 6, 9, 11, 15, 36, 38, 40 e 45 minuti. Il tempo impiegato per terminare le operazioni di acquisto è stato il minimo possibile con le condizioni descritte. Qual è stato il tempo impiegato?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Minimum time for nine three-way passengers
At the hypergalactic station (points 20) At a hypergalactic station near Arcturus, travellers form a single queue to access the ticket office gates and it is always the one in front of the queue that turns to one of the available gates. Nine travelers are in line, with three gateways in operation; they spend different times, once in front of the gate, to buy their tickets: 4, 6, 9, 11, 15, 36, 38, 40 and 45 minutes. The time taken to complete the purchases was as short as possible under the conditions described. What was the time it took?
Anni perche l’acqua sia tutta nel cono di una clessidra
Il tempo di Deep Thought (punti 20) Per tenere conto del tempo di elaborazione, richiesto da Deep Thought, per produrre la Risposta alla Domanda Definitiva sulla Vita, l’Universo e il Tutto, il Sindacato Unico di Filosofie Altri Pensatori (SUFAP) ha predisposto una clessidra ad acqua formata da due coni, collegati nei vertici. L’acqua riempie il cono inferiore. La clessidra viene girata e l’acqua inizia a scendere; dopo 2009 anni, l’acqua è esattamente a metà altezza del cono inferiore. L’acqua continua a cadere regolarmente. Dopo quanti anni da quando la clessidra del SUFAP è stata girata, l’acqua sarà tutta nel cono inferiore?
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Years for all the water to be in the cone of a clex hydrometer
Deep Thought Time (points 20) To take into account the processing time required by Deep Thought, to produce the Answer to the Definitive Question about Life, the Universe and the Whole, the Unified Syndicate of Other Thinking Philosophies (SUFAP) has prepared a water clessor consisting of two cones, connected at the vertices. Water fills the bottom cone. The clessandra is turned and the water begins to fall; after 2009 years, the water is exactly half the height of the lower cone. The water keeps falling regularly. After how many years since the SUFAP’s clex hydrometer was turned, will the water be all in the bottom cone?
Massimo prodotto che lascia indeterminata la parita della somma
Il gioco di Trillian e Arthur (punti 30) Aspettando il ritorno di Zaphod, Trillian e Arthur fanno questo gioco. Trillian sceglie cinque numeri diversi tra 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, fa il prodotto dei cinque e comunica il risultato ad Arthur che deve dire se la somma dei cinque numeri è pari o dispari. Qual è il numero più grande che Trillian può dire in modo che Arthur non sia in grado di determinare con certezza la risposta? (Ad esempio, se Trillian dicesse 1680, dalla scomposizione in fattori primi 1680 = 24 × 3 × 5 × 7, Arthur capirebbe addirittura che i numeri scelti devono essere 2, 4, 6, 5 e 7; saprebbe dunque rispondere con certezza che la somma è pari.) Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 1 di 5
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Maximum product leaving the sum parity indeterminate
Trillian and Arthur’s game (points 30) Waiting for Zaphod’s return, Trillian and Arthur play this game. Trillian chooses five different numbers between 1, 2, 3, 4, 5, 6 and 7, makes the product of the five and communicates the result to Arthur who must tell her if the sum of the five numbers is even or odd. What’s the biggest number Trillian can say so that Arthur can’t determine the answer with certainty? (For example, if Trillian said 1680, from the breakdown into prime factors 1680 = 24 × 3 × 5 × 7, Arthur would even understand that the numbers chosen must be 2, 4, 6, 5 and 7; he would therefore know how to answer with certainty that the sum is equal.) Team competition Problem texts Pages. 1 di 5
Ora di un orologio con velocita diverse di tre pianeti
I tre orologi (punti 30) Secondo la G2AS, nella sede del Controllo Galattico Geo-temporale, su enormi pareti, ci sono orologi che indicano l’ora esatta di molti pianeti. In un angolo, ci sono orologi analogici a lancette, che indicano l’ora degli unici tre pianeti nell’universo dove il giorno è diviso in 12 ore da 60 minuti: Fallia, Ciceronicus e Bethselamin. Quando Trillian guarda gli orologi l’orologio di Fallia segna le 7, quello di Bethselamin segna le 11 e quello di Ciceronicus segna le 2. Ma, mentre passa un’ora sull’orologio di Fallia, quello di Ciceronicus si muove di un’ora e 20 minuti e, mentre l’orologio di Bethselamin conta 12 ore, quello di Fallia ne conta 36. Che ora segnerà l’orologio di Fallia la prima volta che quelli di Bethselamin e di Ciceronicus segneranno la stessa ora? Si dia la risposta utilizzando le prime due cifre per l’ora, le ultime due cifre per i minuti.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
*Hour of a clock with a speed different from three planets *
The three clocks (points 30) According to G2AS, in the headquarters of the Galactic Geo-temporal Control, on huge walls, there are clocks that indicate the exact time of many planets. In one corner, there are analog clock ticks, which indicate the time of the only three planets in the universe where the day is divided into 12 hours and 60 minutes: Fallia, Ciceronicus, and Bethselamin. When Trillian looks at the clocks, Fallia’s clock is at 7, Bethselamin’s is at 11, and Ciceronicus’s is at 2. But, as he moves an hour on the Fallia clock, Ciceronicus moves an hour and 20 minutes and, while the Bethsalami clock counts 12 hours, Fallia’s clock counts 36. What time will Fallia’s clock mark the first time that those of Bethselamin and Ciceronicus will mark the same hour? The answer is given using the first two digits for the hour, the last two digits for the minutes.
Area del poligono ottenuto piegando un foglio su una diagonale
Un problema di estetica, I (punti 30) Discutendo di estetica con il Blagulon Kappa Computer, il robot paranoico Marvin prende un foglio di carta rettangolare di dimensioni 16 cm e 25 cm, lo piega lungo una diagonale, poi incolla le parti sovrapposte. Qual è il valore in cm2 dell’area del poligono ottenuto?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
Area of polygon obtained by folding a sheet on a diagonal
A problem of aesthetics, I (points 30) While discussing aesthetics with the Blagulon Kappa Computer, the paranoid robot Marvin takes a 16 cm and 25 cm rectangular sheet of paper, folds it along a diagonal, then glues the overlapping parts. What is the value in cm2 of the polygon area obtained?
Probabilita di almeno una maglietta azzurra su quattro
Le magliette degli umanoidi (punti 30) Ford Prefect corre a prendere magliette per i 4 umanoidi che viaggiano sulla Heart of Gold: Trillian ne voleva una azzurra. In un cassetto ci sono 7 magliette rosse e 8 magliette azzurre, ma Ford ne prende quattro senza guardare. Qual è la probabilità che almeno una sia azzurra? Si dia la risposta scrivendo le prime quattro cifre del risultato diverse da 0,1 e 9, nell’ordine in cui compaiono. (Ad esempio, se il risultato fosse 5 7 = 0.714285714 …, si dovrebbe scrivere 7428.)
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Probability of at least one blue t-shirt in four
The humanoid shirts (points 30) Ford Prefect runs to get shirts for the 4 humanoids traveling on the Heart of Gold: Trillian wanted a blue one. There’s seven red shirts and eight blue shirts in a drawer, but Ford takes four without looking. What’s the probability that at least one is blue? The answer is given by writing the first four digits of the result other than 0.1 and 9, in the order in which they appear. (For example, if the result was 5 7 = 0.714285714 … , you should write 7428.)
Altezza di un soprammobile con quattro sfere e una sopra
Il soprammobile di Slartibartfast (punti 40) Nello studio di Slartibartfast, c’è un soprammobile che consiste di quattro sfere di marmo di diametro 1.2 dm, bloccate in una scatola trasparente, di base quadrata di lato 2.4 dm senza coperchio; al centro, sopra alle quattro sfere di marmo, è appoggiata una sfera di acciaio di diametro 1.37 dm. Qual è l’altezza in mm del soprammobile?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
*Height of a four-wheel-drive vehicle with one overhead *
Slartibartfast overhang (points 40) In Slartibartfast’s study, there is a overhang consisting of four 1.2 dm diameter marble balls, locked in a transparent box, with a 2.4 dm square side base without a lid; in the centre, above the four marble balls, a 1.37 dm diameter steel ball is supported. What is the height in mm of the overmobile?
Numero di trapezi da 4 vertici di un 33-agono regolare
Il poligono della SCS (punti 40) Nella hall della Sirius Cybernetics Corporation, un pannello decorativo consiste di un poligono regolare di 33 lati iscritto in una circonferenza. Come esercizio, il robot Marvin controlla tutti i trapezi (compresi i parallelogrammi) che si possono generare con 4 dei 33 vertici del poligono. Quanti trapezi ha controllato?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.3
*Number of trapezoids from 4 vertices of a regular 33-agon *
The SCS polygon (points 40) In the hall of Sirius Cybernetics Corporation, a decorative panel consists of a regular polygon of 33 sides inscribed in a circumference. As an exercise, the Marvin robot controls all trapezoids (including parallelograms) that can be generated with 4 of the 33 vertices of the polygon. How many traps have you checked?
Area del poligono piegando il foglio su vertici opposti
Un problema di estetica, II (punti 40) Il Blagulon Kappa Computer, che non approva il senso estetico del robot Marvin, prende un foglio di carta rettangolare delle stesse dimensioni di quello usato nel problema 7., per piegarlo in modo completamente diverso da quello di Marvin. Infatti, lo piega sovrapponendo due vertici opposti, poi incolla le parti sovrapposte. Qual è il valore in cm2 dell’area del poligono ottenuto?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
Area of the polygon by folding the sheet on opposite vertices
Aesthetics problem, II (points 40) The Blagulon Kappa Computer, which does not approve of the aesthetic meaning of the Marvin robot, takes a rectangular sheet of paper the same size as the one used in problem 7, to fold it in a completely different way from that of Marvin. In fact, it folds it over two opposite vertices, then glues the overlapping parts. What is the value in cm2 of the polygon area obtained?
Numero di contadini dato il numero di contese a coppie
I litigi su Damogran (punti 40) Su un’isola di Damogran, ci sono contadini molto litigiosi. Ognuno di questi è in lite con tutti gli altri per motivi territoriali; per questo motivo si sono rivolti ad un giudice di pace che ha aperto una pratica per ogni contesa. Sapendo che il giudice ha nel suo ufficio 438516 pratiche, quanti contadini ci sono sull’isola? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 2 di 5
Topic: Combinatoria Metodo: manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Number of farmers given the number of couples’ disputes
The disputes over Damogran (point 40) On one island of Damogran, there are very contentious farmers. Each of these is in dispute with the others on territorial grounds; for this reason they have turned to a justice of the peace who has opened a practice for each dispute. Knowing that the judge has 438,516 practitioners in his office, how many farmers are there on the island? Team competition Problem texts Pag. 2 di 5
Dollari donati in beneficenza con triplicazione e divisione
La beneficenza dei neo-matematici (punti 50) Cento neo-matematici dei laboratori della Sirius Cybernetics Corporation hanno escogitato un sistema per vincere al casinò di Santraginus 5. Hooloovoo, il capo, mette i 3 dollari altariani con cui il gruppo di neo-matematici inizia a giocare; ogni sera che gioca, il gruppo triplica il patrimonio. Per non dar adito a sospetti, giocano una volta ogni due settimane, sempre di giovedì. Hanno iniziato giovedì 20 marzo 2008; hanno smesso ieri. Restituiti a Hooloovoo i 3 dollari che aveva investito all’inizio, i cento neo-matematici si sono divisi il patrimonio totale vinto in parti uguali, arrotondando ad un numero intero di dollari, e hanno donato il resto in beneficenza. Quanti dollari altariani hanno donato in beneficenza?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
Dollars donated to charity by tripling and dividing
One hundred neo-mathematicians from the laboratories of Sirius Cybernetics Corporation have devised a system to win at the Santraginus 5 casino. Hooloovoo, the boss, puts in the three dollar altars with which the group of neo-mathematicians starts playing; every night they play, the group triples the fortune. To avoid suspicion, they play once every two weeks, every Thursday. They started on Thursday 20 March 2008; they stopped yesterday. After returning to Hooloovoo the three dollars he had invested initially, the neo-mathematicians divided the total assets won into equal parts, rounding off to an entire number of dollars, and donated the rest to charity. How much have the Altaris donated to charity?
Orario di sveglia con triplicazioni e permutazioni di cifre
La sveglia su Eadrax (punti 50) Sul pianeta Eadrax un giorno dura 100 ore, un’ora dura 100 minuti, un minuto dura 100 secondi. Nella piazza principale della capitale, in cima a una torre altissima, c’è un grande orologio digitale ben visibile, diviso in 3 riquadri hh mm ss . Avendo la possibilità di vedere sempre il grande orologio digitale, i lavoratori sono diventati molto metodici: si svegliano, mangiano e vanno a dormire tutti sempre alla stessa ora. • Si svegliano, tutti allo stesso momento tra le 7 e le 8; in quel preciso momento, l’orario sul grande orologio mostra tre numeri distinti. • Iniziano a mangiare il pranzo, tutti nello stesso momento, quando il grande orologio digitale indica un orario che, come numero di 6 cifre, è esattamente il triplo di quello di sveglia; i tre numeri nei riquadri dell’orologio sono gli stessi dell’orario di sveglia, ma chiaramente in una differente disposizione. • Vanno a dormire, tutti nello stesso momento, quando il grande orologio digitale indica un orario che, come numero di 6 cifre, è esattamente il triplo dell’orario dell’inizio del pranzo; ancora i tre numeri nei riquadri dell’orologio sono gli stessi dell’ora di sveglia (e di pranzo), ma in un’altra disposizione. Qual è l’orario di sveglia? Si dia la risposta scrivendo i minuti e i secondi.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
Wake time with triples and permutations of digits
The awakening on Eadrax (50 points) On the planet Eadrax a day lasts 100 hours, an hour lasts 100 minutes, a minute lasts 100 seconds. In the main square of the capital, on top of a very high tower, there is a large digital clock, clearly visible, divided into 3 frames hh mm ss. With the ability to always see the great digital clock, workers have become very methodical: they wake up, eat and go to bed all at the same time. • They all wake up at the same time between 7 and 8 a.m.; at that precise time, the clock on the big clock displays three distinct numbers. • They all start eating lunch at the same time, when the large digital clock indicates a time which, as a 6-digit number, is exactly three times that of the alarm clock; the three numbers in the clock frames are the same as the alarm clock, but clearly in a different arrangement. • They all go to sleep at the same time when the large digital clock indicates a time which, as a 6-digit number, is exactly three times the time of the start of lunch; again the three numbers in the clock frames are the same as the time of waking up (and lunch), but in a different arrangement. What’s the wake-up time? Write down the minutes and seconds.
Circonferenze per almeno 4 di 9 colonne (config geometrica)
I templi di Magrathea, I (punti 50) Su Magrathea si sa che nel remoto passato furono costruiti molti templi, rettangolari in onore del sole Soulianis, e circolari in onore dell’altro sole Rahm. Scavando in una zona archeologica, vengono dissotterrati resti di 9 colonne. Gli archeologi determinano con precisione le posizioni dei loro centri: 7 stanno sul perimetro di un grande rettangolo (100 m per 11.44 m), occupandone i 4 vertici più altri 3 punti; 6 stanno sul perimetro di un rettangolo più piccolo (14.3 m per 6 m), occupandone i 4 vertici più altri 2 punti–necessariamente 4 di questi punti appartengono ad entrambi i perimetri. I due rettangoli non hanno lati paralleli. Inoltre, si osserva che un lato lungo del rettangolo piccolo ha entrambi gli estremi sul perimetro del rettangolo grande, uno sovrapposto ad un vertice, e l’altro no. L’altro lato lungo ha invece entrambi i vertici all’esterno del rettangolo grande. Gli archeologi cercano di capire se hanno trovato tracce di un tempio circolare dedicato al sole Rahm. Per cercarne traccia con maggiori probabilità di successo, decidono di scavare tutti quei solchi circolari che passino per almeno 4 delle 9 colonne che hanno già trovato. Una volta identificate le circonferenze che gli archeologi intendono scavare, si conti per ciascuna delle 9 colonne a quante di queste circonferenze appartiene; si dia come risposta la somma del prodotto di quei 9 numeri con la somma di quei 9 numeri. Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 3 di 5
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Casework accurato Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4
*Circles for at least 4 of 9 columns (geometric configuration) *
The Temples of Magrathea, I (points 50) On Magrathea it is known that in the distant past many temples were built, rectangular in honour of the Sun Soulianis, and circular in honour of the other Sun Rahm. Excavating in an archaeological area, remains of nine columns are unearthed. Archaeologists determine precisely the positions of their centres: 7 are on the perimeter of a large rectangle (100 m by 11.44 m), occupying the 4 vertices plus 3 other points; 6 are on the perimeter of a smaller rectangle (14.3 m by 6 m), occupying the 4 vertices plus 2 other pointsnecessarily 4 of these points belong to both perimeter. The two rectangles have no parallel sides. In addition, it is observed that a long side of the small rectangle has both ends on the perimeter of the large rectangle, one overlapping to a vertex, and the other not. The long side, on the other hand, has both vertices outside the large rectangle. Archaeologists are trying to determine if they have found traces of a circular temple dedicated to the sun Rahm. To find traces of them with a better chance of success, they decide to dig out all those circular grooves that pass through at least four of the nine columns they have already found. Once you have identified the circles that the archaeologists intend to dig, you count for each of the 9 columns how many of these circles it belongs to; you give the sum of the product of those 9 numbers with the sum of those 9 numbers as the answer. Team competition Problem texts Pag. 3 di 5
Somma massima di prodotti dividendo ripetutamente 50 monete
Il costo variabile di un cocktail (punti 50) Per pagare un Pan Galactic Gargle Blaster al Bistrò Illegale, si prendono 50 dollari altariani, si dividono le 50 monete in due mucchi, si contano le monete di ognuno dei due mucchi e si scrive il prodotto delle due conte. Poi si prende uno dei mucchi con più di una moneta e lo si divide in due mucchi, si contano le monete di ogni mucchio e si scrive il prodotto delle due conte. Si continua finch´e tutti i mucchi sono di una sola moneta. Si sommano tutti i prodotti. Si paga la somma finale che si ottiene (non 50 dollari altariani). Qual è la somma massima che si può dover pagare?
Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
Maximum sum of products divided by 50 coins repeatedly
The variable cost of a cocktail (50 points) To pay a Pan Galactic Gargle Blaster to the Illegal Bistro, you take 50 Altarian dollars, divide the 50 coins into two heaps, count the coins of each of the two heaps and write the product of the two counts. Then you take one of the heaps with more than one coin and you divide it into two heaps, you count the coins of each heap and you write down the product of the two counts. It goes on until all the heaps are of one coin. All the products are added. You pay the final amount you get (not 50 Altarian dollars). What is the maximum amount that you can pay?
Rapporto durate di segnale tra treni stesso/opposto senso
Le monorotaie di Ursa Minor Beta (punti 60) Sul pianeta Ursa Minor Beta, c’è un lunghissimo rettilineo ferroviario con due monorotaie dove, grazie ad un sofisticato sistema computerizzato, i treni possono viagggiare in entrambe le direzioni su ciascuna monorotaia. Su tutto il rettilineo, non viaggiano mai due treni sulla stessa monorotaia. La distanza tra le due monorotaie è di 1.9 m. I treni viaggiano a velocità costanti e predeterminate: le più comunemente usate per marcia rapida e normale risultano essere, rispettivamente, di 295.4 km/ h e 147.7 km/ h, quando trasformate nel sistema metrico decimale. Ogni treno ha in punta una piccola antenna (di dimensioni trascurabili) che, quando necessario, emette un segnale radio. Quando le antenne di due treni sono a distanza inferiore di o uguale a 749.25 m emettono un segnale radio continuo per segnalare la posizione reciproca. Gli ingegneri ferroviari si sono resi conto che il segnale viene trasmesso per un tempo più lungo quando due treni marciano nello stesso senso rispetto a quando due treni marciano in sensi opposti. Qual è il rapporto tra la durata di trasmissione del segnale tra due treni che viaggiano nello stesso senso, uno in marcia rapida, l’altro in marcia normale, e la durata di trasmissione del segnale tra due treni che viaggiano in sensi opposti, uno in marcia rapida, l’altro in marcia normale? Nella risposta si scriva il rapporto moltiplicato per 100.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.5
Signal duration ratio between trains in the same/opposite direction
On the planet Ursa Minor Beta, there is a very long railway straight with two single tracks where, thanks to a sophisticated computerised system, trains can travel in both directions on each single track. In all the straight lines, no two trains ever travel on the same track. The distance between the two monorails is 1.9 m. Trains travel at constant and predetermined speeds: the most commonly used for fast and normal travel are 295.4 km/h and 147.7 km/h, respectively, when converted into the decimal metric system. Each train has a small antenna at its tip (negligible size) that, when necessary, emits a radio signal. When the antennas of two trains are less than or equal to 749.25 m away they emit a continuous radio signal to signal each other’s position. Railway engineers have found that the signal is transmitted for a longer time when two trains are moving in the same direction than when two trains are moving in opposite directions. What is the relationship between the signal transmission time between two trains travelling in the same direction, one travelling at high speed and the other travelling at normal speed, and the signal transmission time between two trains travelling in opposite directions, one travelling at high speed and the other travelling at normal speed? In the answer, you write the ratio multiplied by 100.
Numero di sinceri in un reggimento su griglia 41 file
L’Esercito della Contraddizione Apparente (punti 60) L’Esercito della Contraddizione Apparente (ECA) di Altair arruola soltanto persone che siano disposte a dire sempre la verità o sempre il falso. Hanno armi potentissime, quasi paradossali, che possono annichilire territori sterminati in un solo, assurdo colpo. Un reggimento di 2009 soldati è composto da sinceri e bugiardi. Un colonnello (non si diventa colonnelli dell’ECA se non si dice sempre la verità) ordina ai 2009 soldati del reggimento di mettersi in rassegna, a rettangolo su 41 file. A quel punto, ogni soldato esclama: ⟨⟨Tra quelli intorno a me, c’è esattamente un bugiardo.⟩⟩ Il colonnello verifica che i soldati siano perfettamente allineati, che intorno ad ogni soldato ci siano 8 soldati, esclusi quelli sui lati del rettangolo di rassegna. Come controllo definitivo, chiede ai soldati della prima fila di dichiarare quanti bugiardi hanno a fianco nella fila. Ognuno dei soldati della prima fila dichiara: ⟨⟨Di fianco a me, nella prima fila, c’è esattamente un bugiardo.⟩⟩Tra i 2009 soldati del reggimento dell’ECA, quanti sono sinceri?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: parita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
Number of sinks in a grid regiment 41 files
The Army of Apparent Contradiction (paragraphs 60) The Army of Apparent Contradiction (ECA) of Altair only enlists persons who are willing to tell the truth or the lie. They have very powerful, almost paradoxical weapons that can annihilate exterminated territories in a single, absurd blow. A regiment of 2009 soldiers is made up of honest and lying men. A colonel (you don’t become an ECAC colonel if you don’t always tell the truth) orders the 2009 regimental soldiers to take a stand, rectangular in 41 rows. At that point, each soldier exclaims: Among those around me, there is exactly one liar. The colonel checks that the soldiers are perfectly aligned, that around each soldier there are 8 soldiers, excluding those on the sides of the rectangle of survey. As a final check, he asks the soldiers in the front line to declare how many liars they have in line. Each of the soldiers in the front row declares: Next to me, in the front row, there is exactly one liar.Among the 2009 soldiers of the ECA regiment, how many are honest?
Diametro della circonferenza piu piccola tra le colonne
I templi di Magrathea, II (punti 60) Tra tutti i solchi circolari che si prevede di scavare nel problema 15., il primo che verrà scavato è quello della circonferenza più piccola. Quanti cm è lungo il diametro di questa circoferenza?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.5
Diameter of the smallest circumference between the columns
The temples of Magrathea, II (points 60) Of all the circular grooves that are planned to be excavated in issue 15, the first to be excavated is that of the smallest circumference. How many centimetres is the diameter of this circumference?
Massimo di n operazione 2009 con proprieta funzionali
La noia di Marvin (punti 70) Analizzando s´e stesso, il robot paranoico Marvin trova, nei recessi dei suoi circuiti digitali, un’operazione ⊠tra numeri naturali con le seguenti proprietà: a ⊠(a + b) = a ⊠b a ⊠b = b ⊠a a ⊠0 = a per numeri naturali a, b qualunque. Per passare il tempo, Marvin calcola il valore di n ⊠2009 per tutti gli n da 1 a 2008. Qual è il valore massimo calcolato da Marvin? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 4 di 5
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.5
Maximum 2009 operation with functional property
Marvin’s boredom (points 70) Analyzing himself, the paranoid robot Marvin finds, in the recesses of his digital circuits, an operation between natural numbers with the following properties: a (a + b) = a b a b = b a a 0 = a for natural numbers a, b any. To pass the time, Marvin calculates the value of n 2009 for all n from 1 to 2008. What’s the maximum value Marvin calculated? Team competition Problem texts Pag. 4 di 5
Probabilita di vittoria nel gioco doppia testa-e-croce
Il gioco della doppia testa-e-croce (punti 70) Nelle bettole di Traal, si gioca il gioco della doppia testa-e-croce, con una moneta, tra due squadre di due giocatori. Un giocatore della prima squadra lancia la moneta: se esce croce, è eliminato dal gioco; se esce testa, non succede nulla. Ora, un giocatore dell’altra squadra lancia una moneta: se esce croce, è eliminato; se esce testa, elimina uno dei giocatori della prima squadra. Il gioco passa di nuovo alla prima squadra e si continua come dall’inizio. Perde la squadra che finisce prima i giocatori. Che probabilità ha la prima squadra di vincere? Si dia la risposta scrivendo le prime quattro cifre del risultato diverse da 0,1 e 9, nell’ordine in cui compaiono. (Ad esempio, se il risultato fosse 5 7 = 0.714285714 …, si dovrebbe scrivere 7428.)
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Probability of winning in double-headed cross game
The game of double head-and-cross (points 70) In Traal’s beetles, the game of double head-and-cross, with a coin, is played between two teams of two players. A player from the first team throws the coin: if a cross comes out, he is eliminated from the game; if a head comes out, nothing happens. Now, a player from the other team throws a coin: if he gets a cross, he’s eliminated; if he gets a head, he’s eliminating one of the players from the first team. The game moves back to the first team and continues as from the beginning. He loses the team that finishes first. What are the odds of the first team winning? The answer is given by writing the first four digits of the result other than 0.1 and 9, in the order in which they appear. (For example, if the result was 5 7 = 0.714285714 … , you should write 7428.)
Minimo n con due palline una tripla dell’altra (1..2009)
Lo psichiatra paranormale (punti 70) Per dimostrare ai clienti le sue capacità ultra-psichiatriche, il dottor Gag Halfrunt fa eseguire un facile esperimento al paziente: gli dice di estrarre un certo numero di palline da una scatola che contiene 2009 palline, numerate da 1 a 2009. Lui, parlando al paziente, farà in modo che, tra le palline estratte, ce ne siano almeno due che riportano numeri una il triplo dell’altra. Il fatto è che Gag fa sempre estrarre il minimo numero di palline che gli assicura di ottenere il risultato. Qual è il minimo numero n tale che, presi comunque n palline numerate da 1 a 2009, ce ne siano due tra queste con numeri che siano uno il triplo dell’altro?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
*Minimum n with two balls one triple the other (1..2009) *
The paranormal psychiatrist (points 70) To demonstrate to clients his ultra-psychiatric abilities, Dr. Gag Halfrunt has the patient perform an easy experiment: he tells him to extract a certain number of balls from a box containing 2009 balls, numbered from 1 to 2009. He, speaking to the patient, will make sure that, among the balls extracted, there are at least two that give three times the number of the other. The thing is, Gag always pulls out the least number of balls that assures him he gets the result. What is the minimum number n such that, taken in any case n balls numbered from 1 to 2009, there are two of these with numbers that are one triple the other?
Mossa vincente nel gioco di rottura della tavoletta
La tavoletta di cioccolata (punti 80) Dopo aver bevuto tre Pan Galactic Gargle Blaster, Ford e Zaphod hanno fatto generare al Nutrimatic Food Synthesizer un’enorme tavoletta rettangolare di cioccolata a riquadri: 9002 colonne, ciascuna composta da 2009 riquadri di cioccolato. Decidono di fare un gioco: spalmano di maionese il riquadro in un vertice; poi, a turno, ognuno di loro spezzerà la tavoletta (o quel che ne resta) in due pezzi rettangolari, lungo una delle scanalature tra i riquadri, mangiando una delle due parti. Perde chi mangia il riquadro con la maionese. Ford gioca per primo. Quale rettangolo deve mangiare alla prima mossa per essere certo di vincere? Si indichi nella risposta il numero di riquadri diverso da 2009 e da 9002 di uno dei lati del pezzo di cioccolata che deve mangiare.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Ragionamento all’indietro, monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Winning move in the board breaking game
After drinking three Pan Galactic Gargle Blasters, Ford and Zaphod had the Nutrimatic Food Synthesizer generate a huge rectangular square chocolate table: 9002 columns, each composed of 2009 square chocolate. They decide to play a game: they may splash the box on a top; then, in turn, each of them will break the table (or what is left of it) into two rectangular pieces, along one of the drains between the boxes, eating one of the two parts. Whoever eats the box with the mayonnaise loses. Ford plays first. Which rectangle must eat on the first move to be sure of winning? The answer indicates the number of different pictures from 2009 and 9002 of one of the sides of the piece of chocolate you have to eat.
Massimo squadre in torneo con regola MCD sui punteggi
Il campionato di MCD (punti 80) I pianeti che partecipano al torneo del campionato galattico di MCD devono iscrivere due squadre al torneo; ogni squadra gioca una e una sola volta contro tutte le squadre degli altri pianeti iscritti, ma non gioca contro l’altra squadra del proprio pianeta. MCD è un gioco molto particolare: quest’anno, prevede che una partita finisca quando il somma dei punti segnati dalle due squadre è 2009, ma con un’importante eccezione. Quando la somma arriva a 2009, se i punteggi delle due squadre hanno massimo comun divisore diverso da 1, il punteggio della squadra in vantaggio viene azzerato e la partita continua. Sapendo che tutte le partite si sono concluse con punteggi diversi (2008-1 e 1-2008 sono considerati punteggi uguali), quante potevano essere al massimo le squadre? Per saperne di più, si può consultare la Guida Galattica per AutoStoppisti, come trascritta da Douglas Adams, ai cui eredi appartengono i diritti sui personaggi e luoghi menzionati e alla cui mente vanno ∞ringraziamenti per l’eccellente trascrizione. Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 5 di 5
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Most teams in the tournament with MCD rule on scores
The MCD Championship (points 80) Planets participating in the MCD Galactic Championship tournament must register two teams to the tournament; each team plays once and only once against all teams from the other participating planets, but does not play against the other team from its own planet. MCD is a very special game: this year, it predicts that a match will end when the sum of the points scored by the two teams is 2009, but with one important exception. When the sum reaches 2009, if the scores of the two teams have a maximum common divisor other than 1, the lead team’s score is zero and the game continues. Knowing that all matches ended with different scores (2008-1 and 1-2008 are considered equal scores), how many teams could be at most? For more information, you can consult the Galactic Guide for Auto Stoppers, as transcribed by Douglas Adams, to whose heirs belong the rights to the characters and places mentioned and to whose minds go ∞ thanks for the excellent transcription. Team competition Problem texts Pag. 5 di 5