Massima strada del cane in un gioco di lancio palla
La passeggiata (punti 20) Frank porta a passeggio il cane lungo il muro est del penitenziario, perfettamente rettilineo e lungo 9 km. Partono dal portone del penitenziario, proprio all’inizio del muro est, fianco a fianco, e iniziano un gioco: Frank tira la palla, il cane gliela riporta, Frank la ritira immediatamente, e altrettanto istantaneamente il cane riparte dietro alla palla. Per tutta la durata del gioco Frank cammina a 6 km all’ora e il cane a 12 km all’ora. Arrivati alla fine del muro, ritornano continuando a fare il gioco fino al portone. Quanta strada al massimo può far fare Frank al cane tirando opportunamente la palla? Dare la risposta in in hm.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Maximum dog walk in a ball game
The walk (points 20) Frank takes the dog for a walk along the east wall of the prison, perfectly straight and 9 km long. They leave the prison gate, right at the beginning of the east wall, side by side, and they start a game: Frank throws the ball, the dog returns it to him, Frank picks it up immediately, and just as instantly the dog starts back behind the ball. For the duration of the game Frank walks at 6 km/h and the dog at 12 km/h. When they reach the end of the wall, they return and continue to play until the gate. How far can Frank get the dog to go by throwing the ball properly? Give the answer in hm.
Persone allo sportello con biglietto Q3 e regola di chiamata
La coda (punti 20) La macchina che stampa i biglietti d’attesa negli uffici comunali a Chicago produce biglietti numerati da 1 a 99; il numero è preceduto da una lettera dell’alfabeto, la quale cambia in ordine alfabetico ogni 99 stampe. Per velocizzare i tempi, si stabilisce che ogni numero chiamato possa portare con s´e agli sportelli tante persone quanto è il valore indicato dal suo biglietto. Ad esempio, la persona che ha il biglietto D7 porta con s´e D8, D9, D10… fino a D14. Jake ha ritirato il biglietto Q3, ed è appena stato chiamato la persona che ha il biglietto L75. Quante persone andranno assieme a Jake allo sportello, lui compreso?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Person at the door with Q3 ticket and call rule
The queue (points 20) The machine that prints the tickets at the municipal offices in Chicago produces tickets numbered 1 to 99; the number is preceded by a letter of the alphabet, which changes in alphabetical order every 99 prints. To speed up the timing, it is established that each number called can bring as many people to the door as the value indicated on your ticket. For example, the person with the D7 ticket carries with him D8, D9, D10… up to D14. Jake picked up the Q3 ticket, and he just got a call from the person with the L75 ticket. How many people will go with Jake to the door, including him?
Bugiardo e ordine d’arrivo in una gara di corsa
La gara di corsa, I (punti 20) Alan, Bob, Claire, e Duncan fanno una gara di corsa. Dopo vengono intervistati e ciascuno dice la sua: Alan: ⟨⟨Bob non è vicino a Duncan (in posizione d’arrivo).⟩⟩ Bob: ⟨⟨Alan non è ultimo.⟩⟩ Claire: ⟨⟨Non sono subito dopo Bob (in posizione d’arrivo).⟩⟩ Duncan: ⟨⟨N´e io n´e Bob abbiamo vinto.⟩⟩ Tuttavia uno e uno solo tra loro è bugiardo. Elwood sa chi mente e, ascoltando queste frasi, pensa: ⟨⟨So con assoluta certezza l’ordine d’arrivo dei giocatori.⟩⟩ Scrivere chi è il bugiardo e, a seguire, l’ordine dei giocatori sul podio, usando 1 per indicare Alan, 2 per indicare Bob, 3 per indicare Claire e 4 per indicare Duncan.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Liar and order of arrival in a race race
The race, I (20 points) Alan, Bob, Claire, and Duncan make a race. Then they’re interviewed and each says their own: Alan: Bob is not close to Duncan (in first position). Bob: Alan is not last. Claire: I’m not immediately after Bob (in second position). Duncan: N’ and I and Bob have won. However, only one of them is a liar. Elwood knows who’s lying and, listening to these phrases, thinks: I know with absolute certainty the order of arrival of the players. Write who’s the liar and, next, the order of the players on the podium, using 1 to indicate Alan, 2 to indicate Bob, 3 to indicate Claire and 4 to indicate Duncan.
Somma da spartire tra musicisti per eta e parti uguali
La paga dei musicisti (punti 20) Murph spiega ai tre Magic Tones come sarà diviso il denaro che spetta loro per la loro performance, come prevede il regolamento del Sindacato Musicisti. Murph spiega: ⟨⟨Metà del denaro sarà diviso tra voi in parti uguali, l’altra metà vi sarà assegnata proporzionalmente alla vostra età in anni.⟩⟩Sapendo che il musicista più vecchio riceverà, a conti fatti, 40 dollari, e che la sua età è la somma delle età degli altri due, a quanto ammonta in centesimi di dollaro la somma da spartire? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 1 di 6
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Sum to be divided between musicians by ages and equal parts
Murph explains to the three Magic Tones how the money they owe for their performance will be divided, as provided for in the regulations of the Musicians’ Union. Murph explains: Half of the money will be divided equally between you, the other half will be allocated to you in proportion to your age in years.Knowing that the older musician will receive, in fact, $40, and that his age is the sum of the ages of the other two, how much in cents of a dollar is the sum to be divided? Team competition Problem texts Pag. 1 di 6
Somma numeri non-10 dato prodotto 360360 di numeri 7-17
I voti (punti 30) Molto soddisfatta dei risultati dei suoi 11 alunni, la Madre Superiora, direttrice dell’Istituto di St. Helen of the Blessed Shroud, assegna ad ognuno un numero diverso tra 7 e 17 e li mette alla prova con un problema: scrive alla lavagna il numero 360360. Poi spiega: ⟨⟨Questo è il prodotto dei numeri relativi agli alunni che hanno preso 10, tutti gli altri hanno preso 8.⟩⟩Qual è la somma dei numeri assegnati agli alunni che non hanno preso 10?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
sum of numbers other than 10 given product 360360 of numbers 7-17
Grades (point 30) Very pleased with the results of her 11 pupils, Mother Superior, Director of the Institute of St. Helen of the Blessed Shroud assigns each of them a different number between 7 and 17 and tests them with a problem: she writes the number 360360 on the board. Then he explains: This is the product of the numbers for the students who took 10, everyone else took 8.What is the sum of the numbers assigned to the students who did not take 10?
Area incolta tra lago quadrato e aiuole triangolari
Il lago nel parco (punti 30) Un parco comprende un lago di forma quadrata, di cui ogni sponda costituisce la base di un’aiuola a forma di triangolo equilatero. I quattro vertici delle aiuole che non sono sul lago, sono uniti a due a due da recinti rettilinei. Il terreno fra aiuole e recinti è lasciato incolto. L’area del lago è di 9747 metri quadrati, quanti sono i metri quadrati dell’area del terreno incolto?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
Located area between square lake and triangular valleys
The lake in the park (point 30) A park comprises a square lake, each of which forms the base of an equilateral triangle-shaped lake. The four tops of the gulls that are not on the lake are joined by two to two straight fences. The land between the fences and the fences is left untouched. The area of the lake is 9747 square meters, how many square meters is the area of the uncultivated land?
Dollari del vincitore in gioco di carte con sequenze periodiche
Un gioco d’azzardo, I (punti 30) Jake e Sline fanno un gioco d’azzardo: si dividono tra loro un mazzo di 4020 carte da pokwer, ciascuna delle quali reca un seme rosso oppure un seme nero. Ciascuno appoggia il suo mazzo di 2010 carte coperto sul tavolo e iniziano a giocare. Scoprono insieme una carta: se i semi delle due carte sono di colore diverso, Sline paga un dollaro ad Jake, se i semi di entrambe sono rossi non succede nulla, se i semi di entrambe sono neri Jake paga 2 dollari a Sline. Per una fortuita coincidenza nel mescolamento, le carte di Jake sono una sequenza di una carta di seme rosso e una di seme nero (cioè rosso, nero, rosso, nero, rosso… ) mentre quelle di Sline sono una sequenza di una carta di seme nero seguita da due di seme rosso (cioè nero, rosso, rosso, nero, rosso, rosso, nero,… ). Sapendo che iniziano il gioco avendo 2010 dollari a testa, quanti dollari ha il vincitore alla fine?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Winner’s dollars in playing cards with periodic sequences
A game of chance, I (points 30) Jake and Sline play a game of chance: they divide a deck of 4020 poker cards, each carrying a red seed or a black seed. They each support their deck of 2010 cards covered on the table and start playing. They discover a card together: if the seeds of the two cards are of different color, Sline pays Jake a dollar, if the seeds of both cards are red nothing happens, if the seeds of both cards are black Jake pays Sline two dollars. For a coincidence in the mixing, Jake’s cards are a sequence of a red seed card and a black seed card (i.e. red, black, red, black, red)… ) while Sline’s are a sequence of one black seed paper followed by two red seed (i.e. black, red, red, black, red, red, black,… ). Knowing that they start the game with 2010 bucks in their head, how much bucks does the winner have at the end?
Minimo ceci per massimi avanzi con divisioni successive
La minestra di ceci (punti 30) Slim è molto scaramantico nel preparare la minestra di ceci. Compra i ceci e poi li divide in due piatti, in modo che ce ne siano esattamente lo stesso numero. Dà quelli che avanzano (e solo quelli) al suo pappagallo Fuzz. Poi divide tutti i ceci che ha tenuto equamente in sei piatti, e come prima quelli che avanzano li mangia Fuzz. A questo punto ripete la stessa operazione con trenta piatti, poi con 210 piatti e quindi con 2310 piatti. Considerando che oggi vuole comprarne in modo che il pappagallo possa mangiarne il maggior numero possibile, ma non spendendo più del necessario, quanti ceci deve comprare?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
Minimum ceilings for maximum surpluses with subsequent divisions
Chicken soup (points 30) Slim is very efficient in preparing chicken soup. He buys the chickens and then divides them into two plates, so that there’s exactly the same number. He gives those who advance (and only those) to his parrot Fuzz. Then he divides all the chickens he’s kept equally into six plates, and as before those who advance Fuzz eats them. At this point, repeat the same operation with 30 plates, then 210 plates, and then 2310 plates. Considering that today he wants to buy them so that the parrot can eat as many as possible, but not spending more than necessary, how many chicks does he have to buy?
Turni perche un giocatore resti con meta soldi
Un gioco d’azzardo, II (punti 40) Jake e Sline si erano accorti che i due mazzi avevano una strana sequenza dei colori dei semi quando avevano giocato la prima volta. Decidono di fare una rivincita usando esattamente la stessa sequenza, ma smetteranno soltanto quando uno dei due resta con metà soldi (ovviamente, se non ci sono abbastanza carte, riprendono quelle usate mettendole nella esatta sequenza). Come prima, ciascuno inizia con 2010 dollari. Dopo quanti turni finisce la partita? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 2 di 6
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Turns so a player stays with half a penny
A game of chance, II (points 40) Jake and Sline had realized that the two decks had a strange sequence of seed colors when they first played. They decide to make a revenge using exactly the same sequence, but they will stop only when one of the two is left with half the money (obviously, if there are not enough cards, they take back those used by placing them in the exact sequence). As before, each one starts with $10. After how many turns does the game end? Team competition Problem texts Pag. 2 di 6
Minimo fagioli oltre 2010 per vincere il gioco di Nim
I fagioli (punti 40) Sam e Dave hanno un sacchetto contenente migliaia di fagioli. I due fanno un gioco che consiste nel prendere, a turno, un numero di fagioli compreso tra 1 e 8. Vince chi estrae l’ultimo fagiolo. Sam decide quanti fagioli mettere nel sacchetto e Dave inizia a pescare, da qui in poi pescano alternatamente. Quale sarà la minima quantità di fagioli superiore a 2010 che Sam dovrà scegliere per assicurarsi la vittoria?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4
Minimum beans beyond 2010 to win the game of Nim
The beans (point 40) Sam and Dave have a bag containing thousands of beans. The two play a game of picking, in turn, a number of beans between 1 and 8. Whoever extracts the last beans wins. Sam decides how many beans to put in the bag, and Dave starts fishing, and from now on, they fish alternately. What’s the minimum amount of beans over 2010 that Sam will have to choose to secure victory?
Dollari pagati con abbandoni frazionari progressivi
La festa jazz (punti 40) Matt e Lou organizzano insieme una festa tra jazzisti, noleggiando un locale che costa 8 dollari per ogni persona presente per ogni ora. Arrivano tutti gli invitati, e, dopo aver ballato, bevuto e suonato per 5 ore di seguito, un decimo dei presenti lascia la festa. Allo scoccare dell’ora successiva se ne va un nono delle persone rimaste. Dopo altri 60 minuti un ottavo dei rimanenti abbandona la festa, e così via con questo criterio, finch´e non se ne va la metà di quelli ancora presenti. A questo punto sono rimasti solo Matt e Lou che restano ancora un’ora a mangiare quel che resta e saldano il conto col locale. Quanti dollari devono pagare?
Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.4
*Dollars paid with progressive fractional abandonments *
The jazz party (points 40) Matt and Lou host a jazz party together, renting a clubhouse that costs $8 per person present for every hour. All the guests arrive, and after dancing, drinking, and playing for five hours in a row, a tenth of those present leave the party. At the stroke of the next hour one in nine of the remaining people leaves. After another 60 minutes, one-eighth of the rest leaves the party, and so on and so forth, until half of those still present leave. At this point, only Matt and Lou are left with an hour left to eat what’s left and settle the bill with the club. How much do they have to pay?
Materie portate da Duncan con vincoli combinatori
I libri (punti 40) Alan, Bob, Claire e Duncan sono compagni di scuola. Studiano tre materie scientifiche: Scienze, Fisica, Geometria, e cinque materie umanistiche: Latino, Greco, Lettere, Storia, Filosofia. Siccome le cartelle sono troppo pesanti, si accordano per portare ciascuno quattro libri di quattro materie con iniziali diverse, delle quali almeno una scientifica, e in modo tale che in totale abbiano due libri per ogni materia. Si sa inoltre che: • Alan e Duncan hanno almeno due materie in comune; • Bob porta Filosofia e Lettere; • Claire ha tutte le materie scientifiche; • Alan e Bob hanno in comune solo Greco; Scrivere, in ordine alfabetico, le materie che porta Duncan, indicando le materie, in ordine alfabetico, con le cifre da 1 a 8.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4
Materials brought by Duncan with combinatoric constraints
The books (40 points) Alan, Bob, Claire and Duncan are schoolmates. They study three scientific subjects: Science, Physics, Geometry, and five humanities: Latin, Greek, Literature, History, and Philosophy. Since the folders are too heavy, they agree to bring each four books of four subjects with different initials, of which at least one is scientific, and so that in total they have two books for each subject. It is also known that: • Alan and Duncan have at least two subjects in common; • Bob brings Philosophy and Letters; • Claire has all scientific subjects; • Alan and Bob have only Greek in common; Write, in alphabetical order, the subjects Duncan brings, indicating the subjects, in alphabetical order, with the digits 1 to 8.
Tipi di stelle disegnabili con 2011 vertici
Le stelle di carta, I (punti 50) Il reverendo Cleophus James prepara stelle di carta colorate per decorare la Chiesa di Triple Rock. Per disegnare una stella a 5 punte, segna 5 punti distinti su una circonferenza e li unisce con 5 segmenti senza mai staccare la penna dal foglio. In questo modo può disegnare solo un tipo di stella. Con 7 vertici ne può disegnare invece due tipi differenti, collegando i vertici saltandone di volta in volta uno oppure due, rispettivamente. Quanti tipi differenti di stelle può disegnare se segna 2011 vertici sulla circonferenza? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 3 di 6
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4
Type of stars to be drawn with 2011 vertices
The paper stars, I (points 50) Reverend Cleophus James prepares colored paper stars to decorate the Triple Rock Church. To draw a five-pointed star, mark five distinct points on a circumference and join them together with five segments without ever separating the pen from the sheet. That way, he can only draw one type of star. With 7 vertices, he can instead draw two different types, connecting the vertices by skipping one or two at a time, respectively. How many different types of stars can you draw if you mark 2011 vertices on the circumference? Team competition Problem texts Pag. 3 di 6
Somma dei dispari sotto 100 differenza di quadrati in due modi
Avvitati e schiatta (punti 50) Chiusa nel salone di bellezza Curl up and Dye, Carrie si concentra calcolando a mente lunghe somme. L’ultima che ha calcolato è la somma di quei numeri interi positivi dispari minori di 100 che si possono scrivere in almeno due modi distinti come differenza di quadrati perfetti. Che numero ha trovato?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.5
sum of oddities less than 100 difference squares in two ways
Curled up and Dye, Carrie concentrates on calculating long sums in mind. The last thing he calculated is the sum of those odd positive integers less than 100 that can be written in at least two distinct ways as the difference of perfect squares. What number did you find?
Passi minimi perche il lato del poligono sia sotto 1/2^2010
I poligoni iscritti (punti 50) In una circonferenza di raggio 1 m si traccia, come primo passo, il diametro. Come secondo passo, si segnano i punti di mezzo di ciascuno dei due archi così formati e si uniscono i vertici del diametro e i due punti di mezzo in modo da ottenere un quadrato. Si continua bisecando ogni arco formato al passo precedente e si uniscono i punti segnati sulla circonferenza in modo da ottenere un poligono regolare. Quanti passi bisogna fare almeno perch´e il lato del poligono che si ottiene sia più corto di 1 22010 m?
Topic: Geometria piana Area: Geometria Fonte: apri PDF p.5
Minimum steps for the polygon side to be below 1/2^2010
The polygons inscribed (points 50) In a circumference of 1 m radius, the first step is to trace the diameter. As a second step, mark the midpoints of each of the two arcs so formed and join the vertices of the diameter and the two midpoints to get a square. It continues by bisecting each arc formed at the previous step and joining the points marked on the circumference to obtain a regular polygon. How many steps do you have to take at least because the side of the polygon you get is shorter than 122010 m?
Dollari per probabilita oltre 50% di estrarre due biglie rosse
Un gioco di biglie (punti 50) Un gioco d’azzardo si gioca con un sacchetto contenente 2010 biglie, 2 rosse, tutte le altre nere. Si vince se, estraendo biglie una dopo l’altra quante se ne vuole, si estraggono tutte le biglie rosse (non importa quante nere). Un giocatore, prima di iniziare la sequenza di estrazioni, deve pagare 1 dollaro per ciascuna estrazione che intende fare. Quanti dollari deve pagare Jake per avere una probabilità superiore al 50% di vincere?
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
Dollars for a 50% chance of extracting two red beads
A card game (50 points) A gambling game is played with a bag containing 2010 cards, 2 reds, all other black ones. You win if you extract all the red seeds (no matter how many black seeds). A player, before starting the draw sequence, must pay $1 for each draw he intends to make. How much does Jake have to pay to have a 50% chance of winning?
Cifre di una combinazione con vincoli di divisibilita locale
La cassaforte della Contea (punti 50) La combinazione della cassaforte della Contea di Cook è formata da cinque cifre. Steven ricorda che • La prima cifra è 1; • Tutti i numeri formati considerando ogni coppia di cifre adiacenti, prese nello stesso ordine con cui compaiono nella combinazione, sono divisibili per 2; • Tutti i numeri formati considerando ogni terna di cifre adiacenti, prese nello stesso ordine con cui compaiono nella combinazione, sono divisibili per 3; • Tutti i numeri formati considerando ogni quaterna di cifre adiacenti, prese nello stesso ordine con cui compaiono nella combinazione, sono divisibili per 42; • la combinazione, letta come numero di cinque cifre, è divisibile per 5. Scrivere nell’ordine le ultime quattro cifre della combinazione. Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 4 di 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.5
Combined numbers with local divisibility constraints
The county vault (points 50) The combination of the Cook County vault is made up of five digits. Steven recalls that • The first digit is 1; • All the numbers formed by considering each pair of adjacent digits, taken in the same order as they appear in the combination, are divisible by 2; • All the numbers formed by considering each set of adjacent digits, taken in the same order as they appear in the combination, are divisible by 3; • All the numbers formed by considering each quartet of adjacent digits, taken in the same order as they appear in the combination, are divisible by 42; • the combination, read as a five-digit number, is divisible by 5. Write the last four digits of the combination in the order. Team competition Problem texts Pag. 4 di 6
Deduzioni logiche sull’ordine di una gara di corsa
La gara di corsa, II (punti 50) Forse Elwood si sbagliava riguardo al bugiardo nella gara di corsa tra Alan, Bob, Claire, e Duncan. Sapendo soltanto che esattamente uno dei quattro è bugiardo, ma che il vincitore non mente, dire:
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Logical deductions on the order of a race race
Maybe Elwood was wrong about the liar in the race between Alan, Bob, Claire, and Duncan. Knowing only that exactly one of the four is a liar, but the winner isn’t lying, say:
Altezza di un mausoleo a gradoni con superfici laterali uguali
- Il mausoleo (punti 50) Il comandante del gruppo degli Illinois Nazis si è fatto costruire un mausoleo, costruito con blocchi di pietra cubici, di lato 1 m. Formato da 10 gradoni, sembra una ziqqurat: ogni gradone è un parallelepipedo a base quadrata, e tutti i gradoni sono poggiati uno sull’altro. La cima del mausoleo è un gradone di lato 2 m e altezza 2520 m. Ma la principale peculiarità del mausoleo consiste nel fatto che ogni gradone ha il lato del quadrato di base inferiore di 2 metri esatti di quello sottostante e le superfici laterali di ogni gradone sono sempre uguali. Quanti metri è alto il mausoleo?
Topic: Geometria solida Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6
Height of a step mausoleum with equal side surfaces
- The mausoleum (points 50) The commander of the Illinois Nazi group had himself built a mausoleum, built with cubic stone blocks, side 1 m. Formed by 10 steps, it looks like a ziqqurat: each step is a square-based parallel piped, and all the steps are resting on each other. The top of the mausoleum is a side step of 2 m and a height of 2520 m. But the main peculiarity of the mausoleum is that each step has the side of the lower base square exactly 2 meters from the one below and the lateral surfaces of each step are always the same. How high is the mausoleum?
Tipi di stelle disegnabili con 2010 vertici
- Le stelle di carta, II (punti 60) Aiutando il reverendo James, invece di segnare 2011 punti distinti sulla circon- ferenza, Jake ne ha segnati 2010. Quanti tipi differenti di stelle può disegnare?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Type of stars to be drawn with 2010 vertices
- The paper stars, II (points 60) Helping Reverend James, instead of scoring 2011 distinct points on the circumference, Jake scored 2010. How many different types of stars can you draw?
Terne di drappelli da 9 volontari con 3 capitani fissati
- I drappelli (punti 60) Per rintracciare i Blues Brothers, il comandante degli Illinois Nazis vuole for- mare 3 drappelli da un gruppo di 9 volontari. Conoscendo la loro incapacità innata, il comandante designa 3 capitani di drappello tra i 9 volontari: Al, Bruno e Cal. Inoltre, vuole che, in ciascun drappello, ci sia almeno un altro componente, oltre al capitano. Quante terne di drappelli diverse può formare il comandante? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 5 di 6
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Drappers of 9 volunteers with 3 fixed captains
- To track down the Blues Brothers, the Illinois Nazi commander wants three drops from a group of nine volunteers. Knowing their innate incapacity, the commander appoints three captains of drapel from among the nine volunteers: Al, Bruno and Cal. In addition, he wants at least one other component in each drapery, in addition to the captain. How many different drapes can the commander form? Team competition Problem texts Pag. 5 di 6
Calcolo di un’operazione ricorsiva n stella m (5 stella 5)
- Le regole del motel, I (punti 60) All’ingresso del motel, Twiggy ha trovato le regole seguenti 0⋆ 0 = 1 0 ⋆ (m + 1) = 0 ( n + 1)⋆ 0 = (n + 1)× (n⋆ 0) ((n + 1)⋆ (m + 1)) = (n + 1)× [((n + 1)⋆m ) + (n⋆ (m + 1))]. Capisce che permettono di calcolare il valore della scrittura n⋆m per ogni coppia di numeri interi positivi o nulli: Aspettando Elwood, Twiggy calcola quanto vale 5⋆ 5 1000. Che numero trova?
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.6
Calculation of a recursive operation n star m (5 star 5)
- At the entrance to the motel, Twiggy found the following rules 0⋆ 0 = 1 0 ⋆ (m + 1) = 0 (n + 1) ⋆ 0 = (n + 1)× (n⋆ 0) ((n + 1)⋆ (m + 1)) = (n + 1)× [((n + 1)⋆m ) + (n⋆ (m + 1))). He understands that they allow you to calculate the value of the writing n⋆m for each pair of positive integers or zeros: Waiting for Elwood, Twiggy calculates what 5⋆ 5 1000 is worth. What number do you get?
Numero medio di estrazioni con 7 biglie rosse
- Un altro gioco di biglie (punti 70) Un altro gioco d’azzardo si gioca sempre con un sacchetto contenente 2010 biglie, 7 rosse e tutte le altre nere. Le regole prevedono di estrarre le biglie una alla volta fino a che non siano uscite tutte le rosse: a quel punto il gioco è finito. Elwood si chiede mediamente quante estrazioni duri il gioco. Jake non capisce esattamente cosa intenda suo fratello, ma Ray, che la sa lunga, gli spiega che tra i tanti modi di definire il numero medio di estrazioni del gioco (tutti che portano allo stesso risultato) quello più interessante è la somma delle probabilità pk dove, per ogni numero naturale 0 ≤k ≤2010, pk è la probabilità che, dopo la k-esima estrazione, non siano uscite tutte le 7 biglie rosse. Qual è il numero medio di estrazioni?
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.7
Mean number of extractions with 7 red balls
- Another card game (points 70) Another gambling game is always played with a bag containing 2010 cards, 7 reds and all the other black ones. The rules state that the seeds should be extracted one at a time until all the red seeds have come out, at which point the game is over. Elwood wonders on average how long the game takes. Jake doesn’t understand exactly what his brother means, but Ray, who knows it well, explains to him that among the many ways to define the average number of extractions in the game (all leading to the same result) the most interesting is the sum of the probabilities pk where, for every natural number 0 ≤k ≤2010, pk is the probability that, after the k-eighth extraction, not all 7 red balls have come out. What is the average number of extractions?
Minimo n con 3 stella n multiplo di 73
- Le regole del motel, II (punti 70) Elwood non arriva. Per passare il tempo, Twiggy cerca il più piccolo numero n tale che 3 ⋆n sia multiplo di 73. Qual è il numero n? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 6 di 6
Topic: successioni Metodo: congruenze, Ricorsione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.7
Minimum n with 3 stars n multiple of 73
- Motel rules, II. Elwood is not coming. To pass the time, Twiggy looks for the smallest number n such that 3 ⋆n is a multiple of 73. What’s the number n? Team competition Problem texts Pag. 6 di 6