Distanza percorsa dal cane in tre ore
La passeggiata (punti 20)
Frank porta a passeggio il cane lungo il muro est del penitenziario, perfettamente rettilineo e lungo 9 km. Partono dal portone del penitenziario, proprio all’inizio del muro est, fianco a fianco, e iniziano un gioco: Frank tira la palla, il cane gliela riporta, Frank la ritira immediatamente, e altrettanto istantaneamente il cane riparte dietro alla palla. Per tutta la durata del gioco Frank cammina a 6 km all’ora e il cane a 12 km all’ora. Arrivati alla fine del muro, ritornano continuando a fare il gioco fino al portone. Quanta strada al massimo può far fare Frank al cane tirando opportunamente la palla? Dare la risposta in hm.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 36 Fonte: apri PDF p.1
Distance traveled by the dog in three hours
The following information shall be provided:
Frank takes the dog for a walk along the east wall of the penitentiary, perfectly straight and 9 km long. They leave the prison gate, right at the beginning of the east wall, side by side, and they start a game: Frank throws the ball, the dog returns it to him, Frank picks it up immediately, and just as instantly the dog leaves behind the ball. For the duration of the game, Frank walks 6 km/h and the dog walks 12 km/h. When they reach the end of the wall, they return and continue to play until the gate. How far can Frank get the dog to go by throwing the ball properly? Give the answer in hm.
Answer: 36 src_gs_2010_squadre__Q01
Successione ricorsiva di chiamata dei numeri
Risolvendo l’equazione x(x −1) = n(n−1) 2 si trova che k > 1 2 + p n2 + (n −1)2, cioè k > 1 2(1 + √ 20102 + 20092) ≈1421.4. Problema 17. (Martina Rovelli)
Topic: successioni Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1
Recursive succession of calls of numbers
Solving the equation x(x −1) = n(n−1) 2 finds that k > 1 2 + p n2 + (n −1)2, i.e. k > 1 2(1 + √ 20102 + 20092) ≈1421.4. This is problem 17. (Martin Rovelli) What are you talking about?
Ordine di arrivo da affermazioni con un bugiardo
- metri quadrati, quella del lago k2 metri quadrati, quella dei 4 triangoli 4 k2 √ 3 4 = k2√ 3 metri quadrati, si ha che l’area dei terreni incolti ` ek2m2. Problema 7. (Alessandro Rosolini) Soluzione La partita si svolge nel modo seguente: turno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … Jake r n r n r n r n r n r n r n r … Sline n r r n r r n r r n r r n r r … Sia k = 2010. Ogni 6 round, dopo i primi 4, Jake guadagna un dollaro (e quindi Sline ne perde uno): quindi vince Jake, e dopo 4 <n turni i dollari che ha si calcolano come
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3123 Fonte: apri PDF p.1
Coming orders from claims with a liar
- square meters, that of the lake k2 square meters, that of the 4 triangles 4 k2 √ 3 4 = k2 √ 3 square meters, we have that the area of the uncultivated land ` ek2m2. Problem number seven. (Alessandro Rosolini) Solution The match is played as follows: round 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … Jake r r r r r r r r r r r r r r . . Line of credit . . So k is 2010. Every six rounds, after the first four, Jake wins a dollar (and then Sline loses one): then Jake wins, and after four rounds the dollars he has are calculated as
Answer: 3123 src_gs_2010_squadre__Q03
Spartizione cifra fra tre musicisti per eta
La paga dei musicisti (punti 20)
Murph spiega ai tre Magic Tones come sarà diviso il denaro che spetta loro per la loro performance, come prevede il regolamento del Sindacato Musicisti. Murph spiega: «Metà del denaro sarà diviso tra voi in parti uguali, l’altra metà vi sarà assegnata proporzionalmente alla vostra età in anni.» Sapendo che il musicista più vecchio riceverà, a conti fatti, 40 dollari, e che la sua età è la somma delle età degli altri due, a quanto ammonta in centesimi di dollaro la somma da spartire?
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 9600 Fonte: apri PDF p.1
Figure division between three musicians per age
Musicers’ pay (point 20)
Murph explains to the three Magic Tones how the money they owe for their performance will be distributed, as stipulated by the rules of the Musicians’ Union. Murph explains: Half of the money will be divided equally between you, the other half will be allocated to you in proportion to your age in years. Knowing that the older musician will receive, in fact, $40, and that his age is the sum of the ages of the other two, how much in cents of a dollar is the sum to be divided?
Answer: 9600 src_gs_2010_squadre__Q04
Addendi che danno 360360 come prodotto
I voti (punti 30)
Molto soddisfatta dei risultati dei suoi 11 alunni, la Madre Superiora, direttrice dell’Istituto di St. Helen of the Blessed Shroud, assegna ad ognuno un numero diverso tra 7 e 17 e li mette alla prova con un problema: scrive alla lavagna il numero . Poi spiega: «Questo è il prodotto dei numeri relativi agli alunni che hanno preso 10, tutti gli altri hanno preso 8.» Qual è la somma dei numeri assegnati agli alunni che non hanno preso 10?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 67 Fonte: apri PDF p.1
Additions that give 360360 as product
The following points shall be added:
Very pleased with the results of her 11 pupils, Mother Superior, Director of the St. Helen of the Blessed Shroud assigns each of them a different number between 7 and 17 and tests them with a problem: she writes the number on the board. Then he explains: This is the product of the numbers for the students who took 10, everyone else took 8. What is the sum of the numbers assigned to the students who did not take 10?
Answer: 67 src_gs_2010_squadre__Q05
Area terreni incolti fra lago e recinti
Il lago nel parco (punti 30)
Un parco comprende un lago di forma quadrata, di cui ogni sponda costituisce la base di un’aiuola a forma di triangolo equilatero. I quattro vertici delle aiuole che non sono sul lago, sono uniti a due a due da recinti rettilinei. Il terreno fra aiuole e recinti è lasciato incolto. L’area del lago è di metri quadrati, quanti sono i metri quadrati dell’area del terreno incolto?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
Area of uncultivated land between lake and fences
Lake in the park (point 30)
A park comprises a square lake, each shore of which forms the base of an equilateral triangle-shaped oval. The four tops of the gulls that are not on the lake are joined by two to two straight fences. The land between the fences and the fences is left untouched. The area of the lake is square meters, how many square meters is the area of the uncultivated land?
Sequenza periodica vincite di Jake e Sline
Un gioco d’azzardo, I (punti 30)
Jake e Sline fanno un gioco d’azzardo: si dividono tra loro un mazzo di 4020 carte da poker, ciascuna delle quali reca un seme rosso oppure un seme nero. Ciascuno appoggia il suo mazzo di 2010 carte coperto sul tavolo e iniziano a giocare. Scoprono insieme una carta: se i semi delle due carte sono di colore diverso, Sline paga un dollaro ad Jake, se i semi di entrambe sono rossi non succede nulla, se i semi di entrambe sono neri Jake paga 2 dollari a Sline. Per una fortuita coincidenza nel mescolamento, le carte di Jake sono una sequenza di una carta di seme rosso e una di seme nero (cioè rosso, nero, rosso, nero, rosso…) mentre quelle di Sline sono una sequenza di una carta di seme nero seguita da due di seme rosso (cioè nero, rosso, rosso, nero, rosso, rosso, nero…). Sapendo che iniziano il gioco avendo 2010 dollari a testa, quanti dollari ha il vincitore alla fine?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
Time series won by Jake and Sline
The amount of the loan shall be calculated on the basis of the following:
Jake and Sline gamble: They split a deck of 4,020 poker cards, each carrying a red seed or a black seed. They each support their deck of 2010 cards covered on the table and start playing. They discover a card together: if the seeds of the two cards are of different color, Sline pays Jake a dollar, if the seeds of both cards are red nothing happens, if the seeds of both cards are black Jake pays Sline two dollars. For a coincidence in the mixing, Jake’s cards are a sequence of a red seed card and a black seed card (i.e. red, black, red, black, red…) while Sline’s are a sequence of a black seed card followed by two red seed cards (i.e. black, red, red, black, red, black…). Knowing that they start the game with 2010 bucks in their head, how much bucks does the winner have at the end?
Somma resti uguale al resto su 2310 piatti
La minestra di ceci (punti 30)
Slim è molto scaramantico nel preparare la minestra di ceci. Compra i ceci e poi li divide in due piatti, in modo che ce ne siano esattamente lo stesso numero. Dà quelli che avanzano (e solo quelli) al suo pappagallo Fuzz. Poi divide tutti i ceci che ha tenuto equamente in sei piatti, e come prima quelli che avanzano li mangia Fuzz. A questo punto ripete la stessa operazione con trenta piatti, poi con 210 piatti e quindi con 2310 piatti. Considerando che oggi vuole comprarne in modo che il pappagallo possa mangiarne il maggior numero possibile, ma non spendendo più del necessario, quanti ceci deve comprare?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2309 Fonte: apri PDF p.2
Total remainder equal to the remainder on 2310 plates
The chicken soup (point 30)
Slim is very good at making chicken soup. He buys the chickens and then divides them into two plates, so that there’s exactly the same number. He gives those who advance (and only those) to his parrot Fuzz. Then he divides all the chickens he’s kept equally into six plates, and as before those who advance Fuzz eats them. At this point, repeat the same operation with 30 plates, then 210 plates, and then 2310 plates. Considering that today he wants to buy them so that the parrot can eat as many as possible, but not spending more than necessary, how many chicks does he have to buy?
Answer: 2309 src_gs_2010_squadre__Q08
Numero turni perche Jake vinca 1005 dollari
- = n 9 10 8 9 =n 8
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6017 Fonte: apri PDF p.2
The number of shifts for Jake to win $1005.
- = n 9 10 8 9 =n 8
Answer: 6017 src_gs_2010_squadre__Q09
Strategia gioco dei fagioli, multiplo di 9
- = n 9 10; un’ora dopo n 9 10(1− 1 9) = n 9 10 8 9 =n 8 10. Ad ogni ora il numero dei rimasti diminuisce di n 10, finch´ e il numero diventa 2. Dan 10 = 2 si trova n = 20, gli ultimi se ne vanno dopo 14 ore. Il prezzo ` e 8× 2× (5× 10 + 9 + 8 +… + 1) = 8× 2× (50 + 45) = 1520. Problema 12. (Martina Rovelli )
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Bean game strategy, multiple of 9
- = n 9 10; one hour after n 9 10(1− 1 9) = n 9 10 8 9 = n 8 10. Every hour the number of remaining ones decreases by 10, until the number becomes 2. Dan 10 = 2 is n = 20, the last ones leave after 14 hours. The price ` and 8× 2× (5× 10 + 9 + 8 +… + 1) = 8× 2× (50 + 45) = 1520. This is problem 12. I ‘m going to tell you something .
Prezzo totale festa con abbandoni progressivi
La festa jazz (punti 40)
Matt e Lou organizzano insieme una festa tra jazzisti, noleggiando un locale che costa 8 dollari per ogni persona presente per ogni ora. Arrivano tutti gli invitati, e, dopo aver ballato, bevuto e suonato per 5 ore di seguito, un decimo dei presenti lascia la festa. Allo scoccare dell’ora successiva se ne va un nono delle persone rimaste. Dopo altri 60 minuti un ottavo dei rimanenti abbandona la festa, e così via con questo criterio, finché non se ne va la metà di quelli ancora presenti. A questo punto sono rimasti solo Matt e Lou che restano ancora un’ora a mangiare quel che resta e saldano il conto col locale. Quanti dollari devono pagare?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1520 Fonte: apri PDF p.2
Total price of party with progressive abandonment
This is the first of a series of reports on the progress of the European Union’s efforts in the field of education and training.
Matt and Lou are throwing a jazz party together, renting a clubhouse that costs $8 per person per hour. All the guests arrive, and after dancing, drinking, and playing for five hours in a row, a tenth of those present leave the party. At the stroke of the next hour, a ninth of the remaining people leave. After another 60 minutes an eighth of the remaining left the party, and so on with this criterion, until half of those still present left. At this point, only Matt and Lou are left with an hour left to eat what’s left and settle the bill with the club. How much do they have to pay?
Answer: 1520 src_gs_2010_squadre__Q11
Assegnazione materie ai professori (logica)
I libri (punti 40)
Alan, Bob, Claire e Duncan sono compagni di scuola. Studiano tre materie scientifiche: Scienze, Fisica, Geometria, e cinque materie umanistiche: Latino, Greco, Lettere, Storia, Filosofia. Siccome le cartelle sono troppo pesanti, si accordano per portare ciascuno quattro libri di quattro materie con iniziali diverse, delle quali almeno una scientifica, e in modo tale che in totale abbiano due libri per ogni materia. Si sa inoltre che:
- Alan e Duncan hanno almeno due materie in comune;
- Bob porta Filosofia e Lettere;
- Claire ha tutte le materie scientifiche;
- Alan e Bob hanno in comune solo Greco.
Scrivere, in ordine alfabetico, le materie che porta Duncan, indicando le materie, in ordine alfabetico, con le cifre da a .
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*Assignment of subjects to teachers (logic) *
The Commission shall adopt delegated acts in accordance with the opinion of the Standing Committee on Planning and Development.
Alan, Bob, Claire and Duncan are classmates. They study three scientific subjects: Science, Physics, Geometry, and five humanities: Latin, Greek, Literature, History, and Philosophy. Since the folders are too heavy, they agree to bring each four books of four subjects with different initials, of which at least one is scientific, and so that in total they have two books for each subject. It is also known that:
- Alan and Duncan have at least two subjects in common; - Bob brings Philosophy and Letters; - Claire has all the science subjects; - Alan and Bob have only Greek in common.
Write in alphabetical order the subjects Duncan brings, indicating the subjects in alphabetical order, with digits from to .
Numero di stelle diverse con p vertici primi
Le stelle di carta, I (punti 50)
Il reverendo Cleophus James prepara stelle di carta colorate per decorare la Chiesa di Triple Rock. Per disegnare una stella a 5 punte, segna 5 punti distinti su una circonferenza e li unisce con 5 segmenti senza mai staccare la penna dal foglio. In questo modo può disegnare solo un tipo di stella. Con 7 vertici ne può disegnare invece due tipi differenti, collegando i vertici saltandone di volta in volta uno oppure due, rispettivamente. Quanti tipi differenti di stelle può disegnare se segna 2011 vertici sulla circonferenza?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Number of different stars with prime p vertices
Paper stars, I (point 50)
Reverend Cleophus James prepares colored paper stars to decorate the Triple Rock Church. To draw a five-pointed star, mark five distinct points on a circumference and join them together with five segments without ever separating the pen from the sheet. That way, he can only draw one type of star. With 7 vertices, he can instead draw two different types, connecting the vertices by skipping one or two at a time, respectively. How many different types of stars can you draw if you mark 2011 vertices on the circumference?
Somma numeri scrivibili come differenza di quadrati in piu modi
Avvitati e schiatta (punti 50)
Chiusa nel salone di bellezza «Curl up and Dye», Carrie si concentra calcolando a mente lunghe somme. L’ultima che ha calcolato è la somma di quei numeri interi positivi dispari minori di 100 che si possono scrivere in almeno due modi distinti come differenza di quadrati perfetti. Che numero ha trovato?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1358 Fonte: apri PDF p.3
sum of writeable numbers as difference of squares in multiple ways
Withdrawn and scattered (points 50)
Locked up in the beauty parlor, Carrie concentrates on calculating long sums in her mind. The last thing he calculated is the sum of those odd positive integers less than 100 that can be written in at least two distinct ways as the difference of perfect squares. What number did you find?
Answer: 1358 src_gs_2010_squadre__Q14
Passo minimo n con lato poligono sotto soglia
I poligoni iscritti (punti 50)
In una circonferenza di raggio 1 m si traccia, come primo passo, il diametro. Come secondo passo, si segnano i punti di mezzo di ciascuno dei due archi così formati e si uniscono i vertici del diametro e i due punti di mezzo in modo da ottenere un quadrato. Si continua bisecando ogni arco formato al passo precedente e si uniscono i punti segnati sulla circonferenza in modo da ottenere un poligono regolare. Quanti passi bisogna fare almeno perché il lato del poligono che si ottiene sia più corto di m?
Topic: Geometria piana, successioni Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.3
Minimum step n with polygon side below threshold
**Enrolled polygons ** (points 50)
In a radius of 1 m, the diameter shall be plotted as the first step. As a second step, mark the midpoints of each of the two arcs so formed and join the vertices of the diameter and the two midpoints to get a square. It continues by bisecting each arc formed at the previous step and joining the points marked on the circumference to obtain a regular polygon. How many steps must be taken at least so that the side of the polygon obtained is shorter than m?
Estrazioni perche probabilita superi 1/2
Un gioco di biglie (punti 50)
Un gioco d’azzardo si gioca con un sacchetto contenente 2010 biglie, 2 rosse, tutte le altre nere. Si vince se, estraendo biglie una dopo l’altra quante se ne vuole, si estraggono tutte le biglie rosse (non importa quante nere). Un giocatore, prima di iniziare la sequenza di estrazioni, deve pagare 1 dollaro per ciascuna estrazione che intende fare. Quanti dollari deve pagare Jake per avere una probabilità superiore al di vincere?
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Extractions because the probability exceeds 1/2
A game of cards (50 points)
A gambling game is played with a bag containing 2010 pockets, 2 reds, all the other black. You win if you extract all the red (no matter how many black) seeds, one after the other. A player, before starting the draw sequence, must pay 50%$chance of winning?
Cifre pari con condizioni di divisibilita
La cassaforte della Contea (punti 50)
La combinazione della cassaforte della Contea di Cook è formata da cinque cifre. Steven ricorda che:
- La prima cifra è ;
- Tutti i numeri formati considerando ogni coppia di cifre adiacenti, prese nello stesso ordine con cui compaiono nella combinazione, sono divisibili per ;
- Tutti i numeri formati considerando ogni terna di cifre adiacenti, prese nello stesso ordine con cui compaiono nella combinazione, sono divisibili per ;
- Tutti i numeri formati considerando ogni quaterna di cifre adiacenti, prese nello stesso ordine con cui compaiono nella combinazione, sono divisibili per ;
- La combinazione, letta come numero di cinque cifre, è divisibile per .
Scrivere nell’ordine le ultime quattro cifre della combinazione.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 10240 Fonte: apri PDF p.3
Equal numbers with divisibility conditions
**The County Treasury ** (point 50)
The combination of the Cook County vault is five digits. Steven recalls that:
- All numbers formed by considering each pair of adjacent digits, taken in the same order as they appear in the combination, are divisible by ; - All numbers formed by considering each set of adjacent digits, taken in the same order as they appear in the combination, are divisible by ; - All numbers formed by considering each quartet of adjacent digits, taken in the same order as they appear in the combination, are divisible by ; - The combination, read as a five-digit number, is divisible by .
Write the last four digits of the combination in order.
Answer: 10240 src_gs_2010_squadre__Q17
Ordine arrivo con un bugiardo (codifica)
La gara di corsa, II (punti 50)
Forse Elwood si sbagliava riguardo al bugiardo nella gara di corsa tra Alan, Bob, Claire, e Duncan. Sapendo soltanto che esattamente uno dei quattro è bugiardo, ma che il vincitore non mente, le affermazioni sono:
- Alan: «Bob non è vicino a Duncan (in posizione d’arrivo).»
- Bob: «Alan non è ultimo.»
- Claire: «Non sono subito dopo Bob (in posizione d’arrivo).»
- Duncan: «Né io né Bob abbiamo vinto.»
Dire:
- chi sicuramente non ha vinto;
- chi sicuramente non è arrivato ultimo;
- chi è subito dopo Bob (in posizione d’arrivo);
- chi sicuramente non è bugiardo.
Scrivere la risposta a ciascun punto nella casella omonima, usando per indicare Alan, per indicare Bob, per indicare Claire, per indicare Duncan, e per indicare che la richiesta non ha risposta unica.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4102 Fonte: apri PDF p.3
*Order arrival with a liar (code) *
The race, II** (50 points)
Maybe Elwood was wrong about the liar in the race between Alan, Bob, Claire, and Duncan. Knowing only that exactly one of the four is a liar, but the winner isn’t lying, the statements are:
- Alan: Bob isn’t close to Duncan (in finish position). - Bob: Alan isn’t last. - Claire: I’m not right after Bob (in finish position). - Duncan: Neither I nor Bob have won.
Say: 1. who has certainly not won; 2. who is certainly not the last one; 3. who is immediately following Bob (in the arrival position); 4. who is certainly not a liar.
Write the answer at each point in the homonymous box, using to indicate Alan, to indicate Bob, to indicate Claire, to indicate Duncan, and to indicate that the request does not have a single answer.
Answer: 4102 src_gs_2010_squadre__Q18
Altezza totale della ziqqurat per ricorsione
Il mausoleo (punti 50)
Il comandante del gruppo degli Illinois Nazis si è fatto costruire un mausoleo, costruito con blocchi di pietra cubici, di lato 1 m. Formato da 10 gradoni, sembra una ziqqurat: ogni gradone è un parallelepipedo a base quadrata, e tutti i gradoni sono poggiati uno sull’altro. La cima del mausoleo è un gradone di lato 2 m e altezza 2520 m. Ma la principale peculiarità del mausoleo consiste nel fatto che ogni gradone ha il lato del quadrato di base inferiore di 2 metri esatti di quello sottostante e le superfici laterali di ogni gradone sono sempre uguali. Quanti metri è alto il mausoleo?
Topic: Geometria solida, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.3
Total height of the ziqqurat per recourse
The mausoleum (point 50)
The commander of the Illinois Nazi group had a mausoleum built of cubic blocks of stone, one meter by one. It’s made up of 10 steps, it looks like a ziqqurat: each step is a square-based parallel piped, and all the steps are leaning on each other. The top of the mausoleum is a side step of 2 m and a height of 2520 m. But the main peculiarity of the mausoleum is that each step has the side of the lower base square exactly 2 meters from the one below and the lateral surfaces of each step are always the same. How high is the mausoleum?
Conteggio coprimi minori di p/2 con Eulero
Le stelle di carta, II (punti 60)
Aiutando il reverendo James, invece di segnare 2011 punti distinti sulla circonferenza, Jake ne ha segnati 2010. Quanti tipi differenti di stelle può disegnare?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 264 Fonte: apri PDF p.4
Counting minor p/2 coatings with Eulero
Paper stars, II (points 60)
Helping Reverend James, instead of scoring 2011 distinct points on the circumference, Jake scored 2010. How many different types of stars can you draw?
Answer: 264 src_gs_2010_squadre__Q20
Conteggio suriezioni soldati su tre lettere
I drappelli (punti 60)
Per rintracciare i Blues Brothers, il comandante degli Illinois Nazis vuole formare 3 drappelli da un gruppo di 9 volontari. Conoscendo la loro incapacità innata, il comandante designa 3 capitani di drappello tra i 9 volontari: Al, Bruno e Cal. Inoltre, vuole che, in ciascun drappello, ci sia almeno un altro componente, oltre al capitano. Quante terne di drappelli diverse può formare il comandante?
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 540 Fonte: apri PDF p.4
Counting soldier surreations on three letters
**Drops ** (points 60)
To track down the Blues Brothers, the Illinois Nazi commander wants to form three drapes from a group of nine volunteers. Knowing their innate incapacity, the commander appoints three captains of drapel from among the nine volunteers: Al, Bruno and Cal. In addition, he wants at least one other component in each drapery, in addition to the captain. How many different drapes can the commander form?
Answer: 540 src_gs_2010_squadre__Q21
Operazione stella come numero di suriezioni
Le regole del motel, I (punti 60)
All’ingresso del motel, Twiggy ha trovato le regole seguenti:
Capisce che permettono di calcolare il valore della scrittura per ogni coppia di numeri interi positivi o nulli. Aspettando Elwood, Twiggy calcola quanto vale . Che numero trova?
Topic: Combinatoria, successioni Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4
Star operation as the number of surreations
The rules of the motel, I** (points 60)
At the entrance to the motel, Twiggy found the following rules:
He understands that they allow the writing value to be calculated for each pair of positive or zero integers. Waiting for Elwood, Twiggy calculates what’s worth. What number do you get?
Tempo medio di completamento estrazioni
Un altro gioco di biglie (punti 70)
Un altro gioco d’azzardo si gioca sempre con un sacchetto contenente 2010 biglie, 7 rosse e tutte le altre nere. Le regole prevedono di estrarre le biglie una alla volta fino a che non siano uscite tutte le rosse: a quel punto il gioco è finito. Elwood si chiede mediamente quante estrazioni duri il gioco. Jake non capisce esattamente cosa intenda suo fratello, ma Ray, che la sa lunga, gli spiega che tra i tanti modi di definire il numero medio di estrazioni del gioco (tutti che portano allo stesso risultato) quello più interessante è la somma delle probabilità dove, per ogni numero naturale , è la probabilità che, dopo la -esima estrazione, non siano uscite tutte le 7 biglie rosse. Qual è il numero medio di estrazioni?
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1759.62 Fonte: apri PDF p.4
Mean time to complete extractions
Another game of cards (points 70)
Another gambling game is always played with a bag containing 2010 cards, 7 reds and all the other black ones. The rules state that the seeds should be extracted one at a time until all the red seeds have come out, at which point the game is over. Elwood wonders on average how long the game takes. Jake doesn’t understand exactly what his brother means, but Ray, who knows it well, explains to him that among the many ways to define the average number of extractions in the game (all leading to the same result) the most interesting is the sum of the probabilities where, for each natural number , is the probability that, after the -eighth extraction, not all 7 red balls have come out. What is the average number of extractions?
Answer: 1759.62 src_gs_2010_squadre__Q23
Minimo n con 73 divisore di 3 stella n
Le regole del motel, II (punti 70)
Elwood non arriva. Per passare il tempo, Twiggy cerca il più piccolo numero tale che sia multiplo di 73. Qual è il numero ?
(Le regole dell’operazione sono quelle del problema 22.)
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 34 Fonte: apri PDF p.5
Minimum n with 73 3-star divisors n
The hotel rules, II** (point 70)
Elwood’s not coming. To pass the time, Twiggy looks for the smallest number such that is a multiple of 73. What is the number?
(The rules of operation are those of problem 22.)
Answer: 34 src_gs_2010_squadre__Q24