Coppa Fermat 2011 - Gara a squadre

Affermazione del guardiano falsa

James Bond è in azione sull’isola di Bunscerol nella Guyana Francese, abitata soltanto da 2011 membri della SPECTRE. Per sua fortuna, ogni bunscerolo (= abitante su Bunscerol) ha la caratteristica di dire sempre il vero o di dire sempre il falso. Sente un guardiano mormorare: «I busceroli che dicono il vero sono tanti quanti i bunsceroli che dicono il falso». Quanti sono al massimo coloro che dicono sempre il vero?

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2010 Fonte: apri PDF p.1

False claim by the guardian

James Bond is in action on the island of Bunscerol in French Guiana, inhabited only by SPECTRE members since 2011. Fortunately, every bunserolo (= inhabitant of Bunscerol) has the characteristic of always telling the truth or always telling the lie. He hears a watchman murmur: “The thieves who tell the truth are as many as the bunserals who tell the lies”. How many at most are always telling the truth?

Answer: 2010 src_gs_2011_squadre__Q01

Percorso piu breve su faccia laterale vs tetto

Un grattacielo è a forma cilindrica con base di perimetro $150\text{m}$, le pareti alte $160\text{m}$, il tetto a forma conica con la stessa base del cilindro e alto $20\text{m}$. Grazie a ventose che gli permettono di muoversi in qualunque direzione sulla superficie liscia del palazzo, 007 sta scalando il grattacielo per posizionare tre bombe esattamente $30\text{m}$ sotto la grondaia alla base del tetto e alla stessa distanza una dall’altra. Ha appena fissato la seconda e deve andare nel punto dove fissare la terza. Qual è la lunghezza in metri della distanza minima che deve percorrere?

Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0050 Fonte: apri PDF p.1

*Shorter route on side face vs roof *

A skyscraper is cylindrical with a perimeter base $150\text{m}$, the high walls $160\text{m}$, the conical roof with the same cylinder base and high $20\text{m}$. Thanks to windshields that allow it to move in any direction on the smooth surface of the building, 007 is climbing the skyscraper to place three bombs exactly $30\text{m}$ under the chimney at the base of the roof and at the same distance from each other. You just fixed the second one and you need to go to the point where you fixed the third one. What is the length in meters of the minimum distance to travel?

Answer: 0050 src_gs_2011_squadre__Q02

Rapporto fra aree di triangoli con similitudini

Il raggio della circonferenza circoscritta al quadrato è 1 2 p 4 √ 2 = p 4 √ 2, il raggio di quella circoscritta al triangolo è 2 3 p 3 √ 3 2

p 3 √ 3. Il rapporto richiesto è 27 32 = 0, 84375.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2025 Fonte: apri PDF p.1

Ratio between areas of triangles with similarities

The radius of the circumference circumscribed to the square is 1 2 p 4 √ 2 = p 4 √ 2, the radius of the circumference circumscribed to the triangle is 2 3 p 3 √ 3 2 = p 3 √ 3. The required ratio is 27 32 = 0.84375.

Answer: 2025 src_gs_2011_squadre__Q03

Rapporto raggi circonferenze circoscritte quadrato/triangolo

= 63 1024 = 0, 0615234375.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 8437 Fonte: apri PDF p.1

Rate of radii circumscribed circles square/triangle

= 63 1024 = 0, 0615234375.

Answer: 8437 src_gs_2011_squadre__Q04

Numeri k con k^2+1 divisore di a

James Bond è stato imprigionato dai bunsceroli. Per passare il tempo fa la somma dei quadrati perfetti (cioè numeri che sono quadrati di numeri interi positivi) della forma $\frac{n}{4000-n}$ per $n$ intero. Che risultato trova?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0063 Fonte: apri PDF p.1

Numbers k with k^2+1 divider of a

James Bond was imprisoned by the bunserols. To pass the time it sums the perfect squares (i.e. numbers that are squares of positive integers) of the form $\frac{n}{4000-n}$ for $n$ whole. What is the result?

Answer: 0063 src_gs_2011_squadre__Q05

Probabilita di ottenere 9 con tre dadi diversi

Dr. No sfida Bond a un gioco con tre dadi: uno con 4 facce numerate da $1$ a $4$, uno con 6 facce numerate da $1$ a $6$ e l’ultimo dado con 8 facce numerate da $1$ a $8$. Bond deve tirare tutti i dadi due volte e sommarne le facce. Potrà lasciare l’isola se il risultato che ottiene è uguale a $14$, altrimenti verrà gettato in prigione. James tira una volta tutti e tre i dadi insieme, ottenendo $5$ come somma dei numeri sulle facce. Qual è la probabilità di Bond di non venir gettato in prigione? Rispondere scrivendo le prime quattro cifre dopo la virgola del risultato.

Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1093 Fonte: apri PDF p.1

Probability of obtaining 9 with three different dice

Dr. No challenges Bond to a game with three dice: one with 4 faces numbered from $1$ to $4$, one with 6 faces numbered from $1$ to $6$ and the last dice with 8 faces numbered from $1$ to $8$. Bond has to roll all the dice twice and add up the faces. You can leave the island if the result you get is $14$, or you’ll be thrown in jail. James pulls all three dice together once, getting $5$ as the sum of the numbers on the faces. What are the odds of Bond not getting thrown in jail? Answer by writing the first four digits after the resulting comma.

Answer: 1093 src_gs_2011_squadre__Q06

Polinomi a coefficienti binari con vincoli

Coricati al sole sulla spiaggia dell’isola di Bunscerol, 007 intrattiene Honey parlandole dei polinomi celebri. I polinomi celebri sono quei polinomi $P(x)$ di grado al massimo $11$, che si ottengono sommando alcune potenze distinte della variabile $x$ e tali che $P(1)=5$ e $P(-1)=1$. Ad esempio, $x^8+x^4+x^3+x+1$ è celebre mentre $x^2+x+1$ e $2x^2+2x+1$ non sono celebri. James si gira verso Honey e le chiede con voce suadente quanti sono i polinomi celebri che, calcolati in $2$, danno valori maggiori di $2011$. Che cosa risponde Honey da brava matematica?

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0100 Fonte: apri PDF p.1

Binary coefficient polynomials with constraints

Sun-drenched on the beach on Bunscerol Island, 007 entertains Honey by talking about her famous polynomials. The famous polynomials are those $P(x)$ polynomials of degree at most $11$, which are obtained by adding up some powers distinct from the variable $x$ and such as $P(1)=5$ and $P(-1)=1$. For example, $x^8+x^4+x^3+x+1$ is famous while $x^2+x+1$ and $2x^2+2x+1$ are not famous. James turns to Honey and asks her in a sobering voice how many famous polynomials, calculated in $2$, give values greater than $2011$. What’s Honey’s answer to good math?

Answer: 0100 src_gs_2011_squadre__Q07

Somma divisori da condizione a+k divide a+k^2

L’edificio centrale ha moltissime porte d’accesso, ma quasi tutte sono protette da esplosivo. 007 ha scoperto che le uniche porte che non sono protette da esplosivo sono quelle marcate con un numero $k$ (intero positivo) tale che $2011+k$ divide $2011+k^2$. James determina velocemente tutti tali $k$. Rispondere con la somma di tutte le loro cifre.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0067 Fonte: apri PDF p.2

sum of condition dividers a+k divided by a+k^2

The central building has many entrances, but most of them are protected from explosives. 007 found that the only doors not protected from explosive are those marked with a $k$ (all positive) number such that $2011+k$ divides $2011+k^2$. James quickly determines all such $k$. Answer with the sum of all their digits.

Answer: 0067 src_gs_2011_squadre__Q08

Probabilita attivazione esattamente alla quinta pressione

Per attivare il lanciarazzi dell’auto di 007, si deve premere il pulsante di rilascio due volte (la prima volta per togliere la sicura). James sta cercando di attivare il lanciarazzi, ma il pulsante è danneggiato: non solo il pulsante funziona con probabilità $\frac{3}{4}$, ma è anche necessario che il pulsante funzioni due volte di seguito per riuscire ad attivare l’arma perché la sicura è danneggiata e, se si preme il pulsante e quello non funziona, la sicura si riattiva. Qual è la probabilità che l’arma si attivi esattamente alla quinta pressione del pulsante? Rispondere scrivendo le prime quattro cifre dopo la virgola del risultato.

Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0615 Fonte: apri PDF p.2

Probability of activation at exactly fifth pressure

To activate the car launcher of the 007, the release button must be pressed twice (the first time to remove the safety). James is trying to activate the launcher, but the button is damaged: not only does the button work with probability $\frac{3}{4}$, but it is also necessary that the button works twice in a row to be able to activate the weapon because the safe is damaged and, if you press the button and that doesn’t work, the safe reacts. What’s the probability that the weapon will activate exactly at the fifth press of the button? Answer by writing the first four digits after the resulting comma.

Answer: 0615 src_gs_2011_squadre__Q09

Area del trapezio ombra del faro

È notte. Emilio Largo e i suoi scagnozzi stanno inseguendo 007 con una jeep che monta un proiettore a $3$ metri dal terreno per illuminare i dintorni. James si nasconde dietro a una strana lastra verticale alta $2\text{m}$. Il proiettore della jeep illumina la lastra formando a terra un’ombra quadrata. James, con molta freddezza, valuta l’area dell’ombra in $64{\text{m}}^2$ e determina la distanza della jeep dalla lastra. Si rende conto che è anche in grado di calcolare l’area della lastra. Quanto misura l’area della lastra in ${\text{dm}}^2$?

Topic: Geometria piana, Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1066 Fonte: apri PDF p.2

Shadow trapezoid area of the headlamp

It’s the night. Emilio Largo and his scouts are chasing 007 with a jeep that mounts a projector at $3$ meters from the ground to illuminate the surroundings. James is hiding behind a strange high vertical sheet. The jeep’s projector lights the plate forming a square shadow on the ground. James, very coldly, evaluates the area of the shadow in $64{\text{m}}^2$ and determines the distance of the jeep from the plate. He realizes that he can also calculate the area of the plate. What is the plate area in ${\text{dm}}^2$?

Answer: 1066 src_gs_2011_squadre__Q10

Probabilita di aprire almeno 13 scatole

Emilio Largo ha catturato James Bond e, con gusto sadico, lo sfida ad una strana roulette. Ci sono trentasei scatole numerate da $1$ a $36$ e trentasei palline numerate da $1$ a $36$; Largo introduce a caso in ciascuna scatola una pallina. Bond dovrà aprire una scatola, guardare il numero della pallina, aprire la scatola con quel numero, e continuare. Smette quando trova una pallina con il numero di una scatola già aperta. Se apre meno di tredici scatole, verrà gettato nella vasca degli squali. James calcola rapidamente la probabilità che ha di scampare, fa un ghigno beffardo e apre la scatola numero $5$. Qual è la probabilità che ha calcolato? Rispondere scrivendo le prime quattro cifre dopo la virgola del risultato.

Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6666 Fonte: apri PDF p.3

Probability of opening at least 13 boxes

Emilio Largo has captured James Bond and, with sadistic taste, challenges him to a strange roulette. There are thirty-six boxes numbered from $1$ to $36$ and thirty-six balls numbered from $1$ to $36$; Largo randomly inserts a ball into each box. Bond will have to open a box, look at the number of the ball, open the box with that number, and continue. He stops when he finds a ball with the number of a box already open. If he opens less than thirteen boxes, he’ll be thrown into the shark tank. James quickly calculates the probability of escape, makes a mocking gesture, and opens the box number $5$. What’s the probability he calculated? Answer by writing the first four digits after the resulting comma.

Answer: 6666 src_gs_2011_squadre__Q11

Estrazioni per certezza di 6 calzini stesso colore

Miss Moneypenny ha conservato in un cassetto i calzini che James Bond le lasciava per ricordo prima di partire: gli spiega che ci sono $2$ calzini di un colore, $4$ calzini di un altro colore, $6$ calzini di un terzo, e così via; insomma, per un’appropriata numerazione dei colori dei calzini da $1$ a $n$, ci sono $2i$ calzini dell’$i$-esimo colore. James ha calcolato che, prendendo a caso $79$ calzini, è certo di avere $4$ calzini di colori diversi, ma, prendendone $78$ a caso, potrebbe non riuscirci. Qual è il minimo numero di estrazioni casuali necessarie per essere certo di avere $6$ calzini dello stesso colore?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0067 Fonte: apri PDF p.3

Extractions for certainty of 6 socks of the same colour

Miss Moneypenny kept in a drawer the socks that James Bond left her for her to remember before leaving: she explained that there are $2$ socks of one color, $4$ socks of another color, $6$ socks of a third, and so on; in other words, for a proper numbering of the colors of the socks from $1$ to $n$, there are $2i$ socks of the $i$-eighth color. James calculated that, by taking$79$socks at random, it is certain that you have$4$socks of different colors, but, by taking$78$socks at random, you may not succeed. What is the minimum number of random extractions needed to be sure you have $6$ socks of the same colour?

Answer: 0067 src_gs_2011_squadre__Q12

Valore espressione con cubo della somma

Mentre sorseggiava un vodka martini, shakerato, non mescolato, James Bond aveva notato la scrittura della formula del rapporto conico del laser $r=\sqrt[3]{8-\sqrt{37}}+\sqrt[3]{8+\sqrt{37}}$ lasciata imprudentemente vicino alle olive. In seguito, aveva scoperto che il rapporto di potenza del laser deve essere $r^3-9r+2011$. Ora, per poter sabotare efficacemente il laser, deve calcolare esattamente il valore del rapporto di potenza. Che numero calcola James?

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2027 Fonte: apri PDF p.3

Expressed value with sum cube

While sitting on a shakered, unmixed vodka martini, James Bond had noticed the writing of the conical ratio formula of the laser $r=\sqrt[3]{8-\sqrt{37}}+\sqrt[3]{8+\sqrt{37}}$ imprudently left near the olives. Later, he discovered that the laser power ratio must be $r^3-9r+2011$. Now, in order to effectively sabotage the laser, you have to calculate the value of the power ratio exactly. What number does James count?

Answer: 2027 src_gs_2011_squadre__Q13

Rapporto aree recinto diviso in triangoli

La SPECTRE ha costruito un recinto triangolare per delimitare un campo. All’interno del campo c’è una piscina triangolare con lati di $70\text{m}$, $90\text{m}$ e $110\text{m}$. Tre vialetti rettilinei collegano i vertici del recinto con quelli della piscina: ogni vialetto prolunga un lato diverso della piscina. James Bond sta facendo un sopralluogo e decide che quel campo non può essere usato come base missilistica. Sapendo che ogni vialetto è lungo quanto il lato della piscina che prolunga, determinare il rapporto tra l’area del terreno occupato dalla piscina e il restante. Rispondere scrivendo le prime quattro cifre dopo la virgola del risultato.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1666 Fonte: apri PDF p.3

Report of enclosed areas divided into triangles

SPECTRE has built a triangular fence to delimit a field. Within the field there is a triangular pool with sides of $70\text{m}$, $90\text{m}$ and $110\text{m}$. Three straight alleys connect the summits of the enclosure to those of the pool: each alley extends a different side of the pool. James Bond’s doing a surrender and he decides that that field can’t be used as a missile base. Knowing that each alley is as long as the side of the pool that extends, determine the ratio between the area of land occupied by the pool and the rest. Answer by writing the first four digits after the resulting comma.

Answer: 1666 src_gs_2011_squadre__Q14

Numero con ugual resto per 37 e condizione mod 7

James ha scoperto che il codice di ingresso alla base è un numero di quattro cifre, divisibile per $7$ e tale che il numero ottenuto scrivendo le cifre alla rovescia è maggiore del numero originale, ma pure divisibile per $7$. In più entrambi i numeri hanno lo stesso resto nella divisione con $37$; infine il codice è il più grande con queste proprietà. Qual è il codice di ingresso?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2779 Fonte: apri PDF p.3

Number with equal remainder for 37 and condition mod 7

James discovered that the base entry code is a four digit number, divisible by $7$ and such that the number obtained by writing the digits backwards is greater than the original number, but also divisible by $7$. Additionally both numbers have the same remainder in the division with $37$; finally the code is the largest with these properties. What’s the entrance code?

Answer: 2779 src_gs_2011_squadre__Q15

Percorso piu breve fra spioventi del tetto

Nella stessa zona del grattacielo cilindrico c’è un altro grattacielo composto da un prisma e una piramide. Il prisma ha come base un pentagono regolare: il perimetro di base è $600\text{m}$, le pareti laterali sono alte $240\text{m}$. La piramide, che funge da tetto, ha la stessa base del prisma e ogni spiovente è un triangolo equilatero. Sempre grazie a ventose che gli permettono di muoversi in qualunque direzione sulla superficie liscia del palazzo, 007 sta scalando il grattacielo per posizionare una bomba su ognuno degli spigoli, esattamente $30\text{m}$ sotto la grondaia alla base del tetto. James ha posizionato la terza, ma si rende conto di aver sbagliato: ha già fissato una bomba in ciascuno dei due spigoli vicini e ora deve raggiungere uno dopo l’altro i due spigoli più lontani. Qual è la misura in metri della distanza minima che deve percorrere per terminare il lavoro e fissare tutte e cinque le bombe nei punti richiesti?

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0357 Fonte: apri PDF p.4

Shorter route between roof slopes

In the same area of the cylindrical skyscraper is another skyscraper composed of a prism and a pyramid. The prism has a regular pentagon as its base: the base perimeter is $600\text{m}$, the side walls are high $240\text{m}$. The pyramid, which acts as a roof, has the same base as the prism, and each vertex is an equilateral triangle. Also thanks to windshields that allow it to move in any direction on the smooth surface of the building, 007 is climbing the skyscraper to place a bomb on each of the towers, exactly $30\text{m}$ under the chimney at the base of the roof. James has placed the third, but he realizes that he has made a mistake: he has already fixed a bomb in each of the two nearby branches and now he must reach one after the other the two furthest branches. What is the metre length of the minimum distance to complete the work and to fix all five bombs at the required points?

Answer: 0357 src_gs_2011_squadre__Q16

Implicazioni tra risposte positive (logica)

Davanti ai ninja del servizio segreto giapponese, James Bond, agente del SIS (Secret Intelligence Service), non riesce a trattenere una battuta: «Siete più bassi degli agenti nel SIS». Colpito nell’orgoglio, Tiger, il capo dei ninja, gli chiede: «Che cosa intendi dire? Vuoi dire che

(1) Ogni ninja è più basso di ogni agente del SIS? (2) Ogni ninja è più basso di qualche agente del SIS? (3) Si possono allineare i ninja e gli agenti del SIS su due file, una di fronte all’altra, in modo che ogni ninja abbia di fronte un agente del SIS più alto e ogni agente del SIS abbia di fronte un ninja? (4) Il più alto tra gli agenti del SIS è più alto del più alto dei ninja? (5) Il più basso agente del SIS è più alto di un numero di ninja superiore al numero di agenti del SIS più bassi del più alto ninja? (6) L’altezza media dei ninja è minore dell’altezza media degli agenti del SIS?»

James non sa che cosa dire, ma si sforza di determinare tutte le coppie di domande $(a,b)$ con $1\le a\le 6$ e $1\le b\le 6$ tale che la risposta “sì” alla prima comporta la risposta “sì” alla seconda. Quante sono queste coppie?

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0015 Fonte: apri PDF p.4

*Implications between positive responses (logic) *

In front of the Japanese Secret Service ninja, James Bond, an agent of the SIS (Secret Intelligence Service), fails to keep a joke: You are lower than the agents in SIS. Shocked with pride, Tiger, the ninja chief, asks him, “What do you mean? You mean

(1) Is every ninja lower than every SIS agent? (2) Is every ninja lower than some SIS agent? (3) Can the ninja and SIS agents be aligned in two rows, one facing the other, so that each ninja faces a higher SIS agent and each SIS agent faces a ninja? (4) Is the tallest of the SIS officers taller than the tallest of the ninja? (5) Is the lowest SIS agent higher than a higher number of ninjas than the lowest SIS agent higher than a higher number of ninjas? (6) Is the average height of ninja less than the average height of SIS agents?

James doesn’t know what to say, but he tries to determine all the pairs of questions $(a,b)$ with $1\le a\le 6$ and $1\le b\le 6$ so that the “yes” answer to the first results in the “yes” answer to the second. How many of these couples are there?

Answer: 0015 src_gs_2011_squadre__Q17

Probabilita ciclo di lunghezza almeno 6 in permutazione

Per diventare capo della SPECTRE, Blofeld deve superare un test durissimo: la Prova Definitiva. La P.D. è un gioco d’azzardo dove un giocatore da solo si confronta con tutti gli altri. Ci sono dieci scatole numerate da $1$ a $10$ e dieci palline numerate da $1$ a $10$. Il giocatore da solo introduce, senza guardarle, una pallina in ciascuna scatola. Ora, ciascuno degli altri giocatori, uno dopo l’altro, apre una scatola, guarda il numero della pallina, apre la scatola con quel numero, guarda il numero della pallina in quest’ultima e continua finché trova una pallina con il numero di una scatola già aperta. Ogni giocatore vede le scatole che ha aperto chi ha giocato prima di lui. Il giocatore da solo supera la P.D. se uno degli altri apre più di cinque scatole. Sapendo che gli altri contendenti per il posto di capo della SPECTRE erano proprio cinque, qual è la probabilità che ha Blofeld di superare la P.D.? Rispondere scrivendo le prime quattro cifre dopo la virgola del risultato.

Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6456 Fonte: apri PDF p.4

Probability of cycle length of at least 6 permutations

To become head of SPECTRE, Blofeld must pass a very tough test: the Final Test. La P.D. It’s a game of chance where one player stands alone against everyone else. There are ten boxes numbered $1$ to $10$ and ten balls numbered $1$ to $10$. The player alone inserts, without looking at them, a ball into each box. Now, each of the other players, one after the other, opens a box, looks at the number of the ball, opens the box with that number, looks at the number of the ball in the last one and continues until he finds a ball with the number of a box already open. Each player sees the boxes that the player who played before him opened. The player alone outperforms the P.D. if one of the others opens more than five boxes. Knowing that the other contenders for the position of head of SPECTRE were exactly five, what are the odds that Blofeld will beat PD? Answer by writing the first four digits after the resulting comma.

Answer: 6456 src_gs_2011_squadre__Q18

Conteggio colorazioni della tabella a quattro colori

I codici di segnalazione del SIS utilizzano una tabella di $10$ righe per $5$ colonne. Un codice è determinato dalla colorazione di tutti i $50$ riquadri: ogni riquadro è colorato rosso, blu, giallo o nero, facendo in modo che due riquadri dello stesso colore non abbiano lati o vertici in comune. Determinare quanti codici di segnalazione è possibile generare.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6312 Fonte: apri PDF p.5

Counting of colours of the four colour table

SIS report codes shall use a table of $10$ rows for $5$ columns. A code is determined by the color of all $50$ frames: each frame is colored red, blue, yellow or black, so that two frames of the same color do not have sides or vertices in common. Determine how many report codes can be generated.

Answer: 6312 src_gs_2011_squadre__Q19

Differenza diagonali su tastiera quadrata

James Bond ha davanti un enorme pannello di controllo con una tastiera numerata di forma quadrata con un numero dispari di tasti su ciascun lato. Su ciascun tasto è scritto un numero intero positivo. James nota subito una stranezza: i numeri sulla tastiera sono disposti a spirale. Sul tasto al centro c’è il numero $1$, sul tasto a sinistra di questo c’è il numero $2$, sul tasto sotto a quest’ultimo c’è il numero $3$, sul tasto a destra di questo il numero $4$, e così via, finché il numero più grande compare sul tasto in alto a sinistra.

Per essere certo di memorizzare la situazione, cerca un’altra proprietà per caratterizzare la situazione e si accorge che la disposizione dei numeri è tale che il valore assoluto della differenza fra le somme dei numeri sulle due diagonali è il massimo possibile inferiore a $2011$.

Quanti sono i tasti?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3969 Fonte: apri PDF p.5

Dialogue of diagonals on the square keyboard

James Bond has a huge control panel in front of him with a numbered, square-shaped keyboard with an odd number of keys on each side. A positive integer is written on each key. James immediately notices a strange thing: the numbers on the keyboard are spiral-shaped. On the key in the center is the number $1$, on the key on the left of this is the number $2$, on the key below the latter is the number $3$, on the key on the right of this is the number $4$, and so on, until the largest number appears on the key in the top left.

To be sure to remember the situation, look for another property to characterize the situation and notice that the arrangement of the numbers is such that the absolute value of the difference between the sums of the numbers on the two diagonals is as low as $2011$ as possible.

How many keys are there?

Answer: 3969 src_gs_2011_squadre__Q20

Lunghezza segmento con teorema della bisettrice

Appena ripescato al largo dell’isola Bunscerol, James Bond informa l’Intelligence di una pianta con le basi della SPECTRE. Traccia un triangolo di vertici $S$, $E$, $R$; sul lato $SE$ indica con $P$ il punto medio. Poi congiunge $R$ con $P$ e traccia le bisettrici dei due angoli in $P$ che non sono piatti, segnando con $T$ e $C$ rispettivamente i punti di incontro di una bisettrice con il segmento $SR$ e dell’altra con il segmento $RE$. L’Intelligence sa che la distanza tra la base $S$ e la base $E$ è $240\text{km}$, la distanza tra la base $R$ e la base $S$ è $100\text{km}$ e la distanza tra la base $P$ e la base $R$ è $90\text{km}$. Sanno anche che il centro operativo della SPECTRE è all’intersezione tra $TC$ e $RP$. Quanti chilometri dista la base $T$ dal centro operativo?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0051 Fonte: apri PDF p.5

Length of segment with the bisette theorem

As soon as James Bond is caught off Bunscerol Island, he informs Intelligence of a plant with SPECTRE bases. Draw a triangle of vertices $S$, $E$, $R$; on the side $SE$ indicate the middle point with $P$. Then combine $R$ with $P$ and trace the intersections of the two angles in $P$ that are not flat, marking with $T$ and $C$ respectively the meeting points of one intersection with the $SR$ segment and the other with the $RE$ segment. Intelligence knows that the distance between base $S$ and base $E$ is $240\text{km}$, the distance between base $R$ and base $S$ is $100\text{km}$ and the distance between base $P$ and base $R$ is $90\text{km}$. They also know that the SPECTRE operational centre is at the intersection of $TC$ and $RP$. How many kilometres from the base $T$ from the operational centre?

Answer: 0051 src_gs_2011_squadre__Q21

Implicazioni tra risposte positive (logica II)

Vedendo soldati dell’esercito americano che circondano Fort Knox, Bond intima a Goldfinger di arrendersi perché i soldati sono più forti dei suoi mercenari all’interno del fortino. Invece di agire subito, Goldfinger, come ogni cattivo che si rispetti, non perde l’occasione per declamare: «Che cosa intendi dire quando affermi che i soldati sono più forti dei mercenari? Vuoi dire che

(1) Ogni soldato è più forte di ogni mercenario? (2) Il soldato più forte è più forte del mercenario più forte? (3) Ogni mercenario è meno forte di qualche soldato? (4) È possibile far in modo che, contemporaneamente, ciascun mercenario combatta in corpo a corpo contro un soldato che è più forte? (5) Ci sono più soldati di forza superiore a qualche mercenario di quanti sono i mercenari di forza superiore a qualche soldato?»

Per far infuriare Goldfinger, Bond gli fa notare che c’è dipendenza tra le sue domande, spiegando che la domanda $x$ dipende dalla domanda $y$ quando una risposta positiva alla domanda $y$ comporta una risposta positiva alla domanda $x$. Per esemplificare quanto sta dicendo e perdere altro tempo, dice a Goldfinger: quante sono le domande che non dipendono da altre; quante sono le domande che dipendono esattamente da un’altra domanda; quante sono le domande che dipendono esattamente da due altre domande; quante sono le domande che dipendono esattamente da tre altre domande. Quali sono i quattro numeri che Bond dice a Goldfinger? Si risponda scrivendoli da sinistra a destra nell’ordine in cui li ha calcolati.

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2102 Fonte: apri PDF p.5

*Implications between positive responses (logic II) *

Seeing American Army soldiers surrounding Fort Knox, Bond urges Goldfinger to surrender because the soldiers are stronger than his mercenaries inside the fort. Rather than act immediately, Goldfinger, like any self-respecting villain, does not miss an opportunity to declare: What do you mean when you say that soldiers are stronger than mercenaries? You mean

(1) Is every soldier stronger than every mercenary? (2) Is the strongest soldier stronger than the strongest mercenary? (3) Is every mercenary less powerful than some soldiers? (4) Is it possible to have each mercenary fight at the same time against a stronger soldier? (5) Are there more soldiers of greater strength than some mercenaries than there are mercenaries of greater strength than some soldiers?

To infuriate Goldfinger, Bond makes him note that there is dependence between his questions, explaining that the question $x$ depends on the question $y$ when a positive answer to the question $y$ results in a positive answer to the question $x$. To illustrate what he’s saying and waste more time, he tells Goldfinger: how many questions do not depend on others; how many questions do not depend on another question exactly; how many questions do not depend on two more questions exactly; how many questions do not depend on three more questions exactly. What are the four numbers Bond tells Goldfinger? He answers by writing them from left to right in the order he calculated them.

Answer: 2102 src_gs_2011_squadre__Q22

Numero triangoli ottusangoli con vertice al centro

Il simbolo rappresentativo della SPECTRE è il triangolo ottusangolo. Sul palazzo principale dell’isola di Bunscerol, una matrice quadrata di luci presenta un’astrazione del simbolo: $81$ luci sono distribuite su $9$ righe e $9$ colonne, la luce al centro resta sempre accesa, altre due delle rimanenti $80$ luci si accendono a caso per pochi secondi, in modo che le tre luci accese formino i vertici di un triangolo ottusangolo senza essere allineate. Quante sono le coppie di luci che si possono accendere?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 1408 Fonte: apri PDF p.6

Number of octagonal triangles with vertex at the centre

The representative symbol of the SPECTRE is the octagonal triangle. On the main building of Bunscerol Island, a square matrix of lights shows an abstraction of the symbol: $81$ lights are distributed on $9$ lines and $9$ columns, the light in the center always stays on, two more of the remaining $80$ lights are lit randomly for a few seconds, so that the three lights lit form the vertices of an octagonal triangle without being aligned. How many pairs of lights can you light?

Answer: 1408 src_gs_2011_squadre__Q23

Area triangolo sferico da ottavo di sfera

James deve entrare in una capsula sferica di superficie $60{\text{m}}^2$. Sa che l’apertura è costituita da un triangolo sferico con angoli di $90^{\circ }$, $60^{\circ }$, $45^{\circ }$. Un triangolo sferico è la parte di superficie sferica racchiusa da tre archi di circonferenze massime. James cerca di capire se l’apertura sarà abbastanza ampia per entrare insieme con Honey. Qual è l’area del triangolo sferico misurata in ${\text{dm}}^2$?

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0125 Fonte: apri PDF p.6

Eighth spherical spherical triangle area

James must enter a spherical capsule with a surface $60{\text{m}}^2$. It is known that the opening consists of a spherical triangle with angles of $90^{\circ }$, $60^{\circ }$, $45^{\circ }$. A spherical triangle is the part of a spherical surface enclosed by three arcs of maximum circumference. James’s trying to figure out if the opening’s gonna be wide enough to go in with Honey. What is the area of the spherical triangle measured in ${\text{dm}}^2$?

Answer: 0125 src_gs_2011_squadre__Q24