Rapporto aree tra triangolo e triangolo dei punti medi
Il Giardino Fiorito (punti 20) Il Giardino Fiorito del castello è di forma triangolare, delimitato da tre sentieri rettilinei che collegano le tre porte di accesso, una su ciascun vertice, denominate Porta Alba, Porta Bianca e Porta Chiara in onore della carnagione della principessa. Biancaneve sta passeggiando all’interno del Giardino Fiorito; si trova a metà strada sul sentiero rettilineo che collega Porta Bianca e Porta Chiara, da lì vede due guardie della Regina, una a Porta Bianca, l’altra a Porta Chiara. Per evitarle, si dirige allora verso Porta Alba, ma, quando giunge a metà strada, una guardia compare su quella porta. Spaventata, Biancaneve si ferma e non si accorge che le cade il fazzoletto. Vede che non c’è più la guardia a Porta Bianca. Si dirige perciò verso quella, ma, quando giunge a metà strada, la guardia ricompare sulla porta. Spaventata, Biancaneve si ferma e non si accorge che le cade lo scialle. Vede che non c’è più la guardia a Porta Alba. Si dirige dunque verso quella. Giunta a metà strada, si rende conto di aver perso il fazzoletto e lo scialle e li vede nei punti in cui si era fermata in precedenza. Per valutare quanto tempo impiegherà per raccoglierli, Biancaneve calcola il rapporto tra l’area del Giardino Fiorito e l’area del triangolo formato da lei, dal fazzoletto e dallo scialle. Che numero trova?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Ratio of areas between triangle and triangle of midpoints
The Flowery Garden (points 20) The Flowery Garden of the castle is triangular in shape, bounded by three straight paths that connect the three entrance doors, one on each top, called the Alba Gate, the White Gate and the Clear Gate in honor of the princess’s carnage. Snow White is walking inside the Flower Garden; it is halfway along the straight path that connects Porta Bianca and Porta Chiara, from there it sees two guards of the Queen, one at Porta Bianca, the other at Porta Chiara. To avoid them, he then heads toward the Dawn Gate, but when he reaches the middle of the road, a guard appears on that door. Scared, Snow White stops and doesn’t realize her handkerchief is falling. You see there’s no longer a guard at the White Door. So he heads for that one, but when he gets halfway, the guard comes back to the door. Scared, Snow White stops and doesn’t realize her scarf is falling. See, there’s no more guard at the Dawn Gate. So he’s headed for that one. Halfway through, she realizes that she has lost her handkerchief and shawl and sees them in the places where she had stopped earlier. To assess how long it will take to collect them, Snow White calculates the ratio between the area of the Flower Garden and the area of the triangle formed by her, the handkerchief and the scarf. What number do you get?
Ultime due cifre del prodotto di f(n)=(200-2n)/n
Il primo esercizio di Dotto (punti 20) Dotto si sta esercitando con i numeri. Ha preso la funzione f(n) = 200 −2n n e ha calcolato le ultime due cifre (cioè le due più a destra) del prodotto f(1) · f(2) · … · f(99). Che cosa ha trovato?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Somme telescopiche Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Last two digits of the product of f(n)=(200-2n)/n
The first Dotto exercise (points 20) Dotto is exercising with the numbers. He took the function f(n) = 200 −2n n and calculated the last two digits (i.e. the two to the right) of the product f(1) · f(2) · … · f(99). What did you find?
Rapporto volumi oro/argento data massa e volume
La truffa sventata (punti 20) L’orefice di corte ha preparato per la Regina un globo d’oro e argento che ha una massa di 300g ed un volume di 20cm3. La Regina si lamenta dicendo che c’è più argento che oro. L’orefice si difende dicendo che la densità dell’oro è 19g/cm3, quella dell’argento è 10g/cm3. La Regina nota che, proprio per questo, ha ragione lei. Qual è il rapporto, moltiplicato per 1000, tra il volume di oro e quello di argento nella palla? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 1 di 6
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Rate of gold/silver volumes given mass and volume
The unsuccessful scam (points 20) The court official prepared for the Queen a golden and silver globe with a mass of 300g and a volume of 20cm3. The Queen complains that there is more silver than gold. orefice is defended by saying that the density of gold is 19 g/cm3, that of silver is 10 g/cm3. The Queen finds that, for this very reason, she is right. What’s the ratio, multiplied by 1,000, between the volume of gold and silver in the ball? Team competition Problem texts Pag. 1 di 6
Coppie di numeri con risultato 1357 in operazione su cifre
Il secondo esercizio di Dotto (punti 30) Dotto continua ad esercitarsi con i numeri: ha inventato una nuova operazione tra numeri interi. Moltiplica la cifra delle unità del primo numero per la cifra delle unità del secondo numero, poi, se il risultato è maggiore di 9, ne somma le cifre, e in caso questo nuovo numero sia maggiore di 9, ne somma ancora le cifre, finché ottiene un numero con una sola cifra. Questa è la cifra delle unità del numero risultato della nuova operazione. Allo stesso modo si opera con la cifra delle decine, quella delle centinaia, e così via. Quante sono le coppie (non ordinate) di numeri che hanno come risultato 1357?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Couples of numbers with the result 1357 operating on digits
The second Dotto exercise (point 30) Dotto continues to practice with numbers: he has invented a new operation between integers. Multiply the number of units of the first number by the number of units of the second number, then, if the result is greater than 9, it adds the numbers, and if this new number is greater than 9, it adds the numbers again, until it gets a number with only one digit. This is the unit number of the resulting number of the new operation. The same goes for the number of tens, the number of hundreds, and so on. How many (unsorted) number pairs have 1357?
Perimetro esterno di 15 dischi su un 30-agono regolare
Il poligono di Pisolo (punti 30) In un poligono regolare di 30 lati, Pisolo numera tutti i vertici da 1 a 30. Appoggia poi 15 dischi circolari di raggio uguale al lato del poligono con i centri sui vertici numerati con un numero dispari. Ogni disco ha la circonferenza lunga 20cm. Qual è il perimetro esterno della figura?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
*External perimeter of 15 discs on a regular 30-acre *
Pisolo’s polygon (points 30) In a regular polygon of 30 sides, Pisolo counts all vertices from 1 to 30. It then supports 15 circular discs of equal radius to the side of the polygon with the centers on the vertices numbered with an odd number. Each disc has a circumference of 20 centimetres. What is the outer perimeter of the figure?
Cifre del minimo ripunit con numero ripunit di divisori ripunit
Il cucciolo sgarzulino (punti 30) Cucciolo chiama sgarzulini i numeri naturali formati solo da cifre 1. Quante cifre ha il più piccolo numero sgarzulino maggiore di 1 tale che il numero dei suoi divisori sgarzulini sia un numero sgarzulino?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
*Number of minimum punished with number of punished divisors *
The puppy (points 30) Calls the puppy the natural numbers consisting only of digits 1. How many digits has the smallest prime number greater than 1 such that the number of its prime divisors is a prime number?
Crittaritmetica Pera+Pesca=Frutti, valore di case
Il terzo esercizio di Dotto (punti 30) Dotto scrive la seguente operazione Pera + Pesca = Frutti e spiega agli altri nani che ha sostituito a ogni cifra una lettera, a lettere diverse corrispondono cifre diverse. Una lettera all’inizio di una parola perciò non corrisponde alla cifra 0. Che cifre scrive Dotto quando scrive case?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
Arithmetic criteria Freshwater+Fish=Fruits, value of houses
The third exercise of Dotto (points 30) Dotto writes the following operation Pera + Pesca = Frutti and explains to the other dwarfs that he replaced each digit with a letter, different letters with different digits. A letter at the beginning of a word therefore does not correspond to the digit 0. What numbers does Dotto write when he writes houses?
Somma diagonale di una griglia 4x4 da 16 numeri dati
La più bella del reame (punti 30) L’algoritmo con cui lo Specchio Magico calcola chi sia “la più bella del reame” prescrive di inserire i 16 numeri 1, 2, 3, 4, 10, 20, 30, 40, 100, 200, 300, 400, 600, 700, 800, 900 in una griglia 4×4. Oggi le somme delle 4 righe della griglia valgono (a partire dall’alto) 920, 1003, 1313, 874 mentre le somme delle 4 colonne (a partire da sinistra) sono 2230, 461, 109, 1310. La somma dei 4 numeri che occupano la diagonale della griglia che va dalla posizione in alto a sinistra alla posizione in basso a destra determina l’identità della più bella di oggi: qual è la somma oggi? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 2 di 6
Topic: Algebra Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.3
Diagonal sum of a grid 4x4 of 16 data numbers
The most beautiful in the realm (points 30) The algorithm by which the Magic Mirror calculates who is the most beautiful in the realm prescribes that the 16 numbers 1, 2, 3, 4, 10, 20, 30, 40, 100, 200, 300, 400, 600, 700, 800, 900 be entered into a grid of 4×4. Today the sums of the 4 lines of the grid are 920, 1003, 1313, 874 while the sums of the 4 columns (from left) are 2230, 461, 109, 1310. The sum of the 4 numbers that occupy the diagonal of the grid from the top left to the bottom right position determines the identity of the most beautiful today: what is the sum today? Team competition Problem texts Pag. 2 di 6
Numero di quadruple reali soluzioni di un sistema
La magia della Regina (punti 30) Per poter eseguire un rito magico, la Regina deve trovare il numero delle quadruple (x, y, z, t) di numeri reali tali che x2y2 + z2t2
1 x2z2 + t2y2
1 x2t2 + y2z2
1 xyzt
0 Quante sono?
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.3
Number of four real solutions of a system
The Queen’s Magic (points 30) To perform a magic ritual, the Queen must find the number of quadruples (x, y, z, t) of real numbers such that x2y2 + z2t2 = 1 x2z2 + t2y2 = 1 x2t2 + y2z2 = 1 xyzt = 0 How many are they?
Probabilita di attraversare scegliendo a caso una strada
La cavalcata del Principe Azzurro (punti 30) Il Principe Azzurro deve raggiungere l’altro capo della Foresta con il suo cavallo ed è appena giunto ad un incrocio. Una strada passa sopra un fiume con un ponte pericolante che ha la probabilità del 30% di crollare al passaggio di un cavallo, mentre ognuna delle altre due strade passa sopra due fiumi con due ponti consecutivi, ciascuno dei quali ha la probabilità del 20% di cadere al passaggio di un cavallo. Il Principe non sa quale strada abbia un solo ponte o quale ne abbia due. Se il Principe sceglie a caso la strada, che probabilità c’è che attraversi il bosco? Si risponda con il numeratore della frazione ridotta ai minimi termini che esprime tale probabilità.
Topic: Probabilita e statistica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Probability of crossing by choosing a road at random
The Blue Prince’s ride (point 30) The Blue Prince must reach the other end of the Forest with his horse and has just arrived at a crossroads. One road passes over a river with a dangerous bridge that has a 30% chance of collapsing when a horse passes, while each of the other two roads passes over two rivers with two consecutive bridges, each of which has a 20% chance of falling when a horse passes. The Prince doesn’t know which road has one bridge or which has two. If the Prince chooses the road at random, what are the odds of him crossing the forest? It shall be answered by the fraction reduced to the minimum terms expressing that probability.
Punti di intersezione interni delle diagonali di un 21-agono
Il poligono di Brontolo (punti 40) Brontolo disegna un poligono regolare di 21 lati. Poi traccia tutte le diagonali e conta tutti i punti, interni al poligono, che sono intersezione di tali diagonali. Quanti punti conta?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.4
Internal intersection points of the diagonals of a 21 axis
The Brontolo polygon (points 40) Brontolo draws a regular polygon of 21 sides. Then trace all the diagonals and count all the points inside the polygon that are intersections of those diagonals. How many points does that count?
Soluzioni intere di 3i^2+2j^2=776
Il quarto esercizio di Dotto (punti 40) Stavolta Dotto considera l’equazione 3i2 + 2j2 = 77 · 62012 e determina quante soluzioni intere (i, j) essa abbia. Quante sono?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
Integressive solutions of 3i^2+2j^2=776
The fourth exercise of Dotto (points 40) This time Dotto considers the equation 3i2 + 2j2 = 77 · 62012 and determines how many integer solutions (i, j) it has. How many are there?
Numero totale di diagonali massime nei cinque solidi regolari
Gongolo platonico (punti 40) Gongolo ha davanti una copia di ciascuno dei cinque solidi regolari. Guardandoli uno per uno si immagina come tracciare, in ciascuno di essi, tutti i segmenti più lunghi possibile. Quanti sono, in totale, tali segmenti? Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 3 di 6
Topic: Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4
Total number of maximum diagonals in the five regular solids
Platonic gongolo (points 40) Gongolo has a copy of each of the five regular solids in front of it. Looking at them one by one, you imagine how to trace, in each of them, all the longest segments possible. How many of these segments are there in total? Team competition Problem texts Pag. 3 di 6
Turno con somma cumulata di mattoncini multipla di 2012
I mattoncini ordinati (punti 40) Eolo e Mammolo decidono di fare un gioco insieme, mettendo in ordine mattoncini quadrati, tutti delle stesse dimensioni. Eolo li impila, Mammolo fa muretti quadrati. Eolo inizia con una pila di un mattoncino, Mammolo con un quadrato di un mattoncino (la stessa cosa). Al secondo turno, Eolo fa una pila di due mattoncini, Mammolo un quadrato di quattro mattoncini. Al terzo turno, Eolo fa una pila di tre mattoncini, Mammolo un quadrato di nove mattoncini. Si rendono conto di aver ordinato 20 mattoncini. Decidono di continuare fino al turno quando avranno messo in ordine un numero di mattoncini multiplo di 2012. A quale turno si fermano?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
Turn with cumulative sum of multiple bricks for 2012
The ordered bricks (points 40) Eolo and Mammolo decide to play a game together, arranging square bricks, all of the same size. Eolo stacks them up, Mammolo makes square walls. Eolo starts with a pile of a brick, Mammolo with a square of a brick (the same thing). In the second round, Eolo makes a stack of two bricks, Mammolo a square of four bricks. In the third round, Eolo makes a stack of three bricks, Mammolo a square of nine bricks. They realize they ordered 20 bricks. They decide to continue until the turn when they have set up a number of 2012 bricks. What shift do they stop at?
Somma di tutti i prodotti di 10 scatole con numeri -1,0,1,2
Il quinto esercizio di Dotto (punti 40) Dotto si esercita ancora con i numeri. Ha davanti 10 scatole, numerate da 1 a 10. Inserisce nella scatola n. 1 un numero scelto tra −1, 0, 1 e 2; analogamente, anche nella scatola n. 2 inserisce uno dei numeri −1, 0, 1, 2 ecc. fino a riempire tutte le scatole. Poi fa il prodotto dei 10 numeri così inseriti e scrive il numero ottenuto sulla lavagna. Ripete l’operazione inserendo nelle scatole di nuovo i numeri −1, 0, 1, 2 in un modo diverso dal precedente, e scrive il prodotto ottenuto sulla lavagna, a fianco del primo. Continua inserendo i numeri −1, 0, 1, 2 in tutti i modi possibili nelle dieci scatole e scrivendo via via il prodotto ottenuto a fianco degli altri. Infine calcola la somma di tutti i numeri scritti sulla lavagna. Che numero trova?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4
Summary of all products in 10 boxes numbered -1,0,1,2
The fifth exercise of Dotto (points 40) Dotto is still exercised with numbers. There are 10 boxes in front, numbered 1 to 10. Insert in box n. 1 a number chosen between −1, 0, 1 and 2; similarly, also in box n. 2 inserts one of the numbers −1, 0, 1, 2, etc. until all the boxes are filled. Then he makes the product of the 10 numbers that are inserted and writes the number on the board. Repeat the operation by inserting the −1, 0, 1, 2 numbers in the boxes again in a different way from the previous one, and write the resulting product on the board next to the first one. Continue by inserting the numbers −1, 0, 1, 2 in all possible ways into the ten boxes and writing off the product obtained alongside the others. Finally, calculate the sum of all the numbers written on the board. What number do you get?
Massimo numero di pali ciascuna guardia ne vede esattamente 3
Le guardie accecate (punti 50) In un campo quadrato di lato 200m sono stati piantati dei pali verticali, di forma cilindrica, tutti uguali tra loro. Due qualunque di essi distano non meno di 2m. Le tre guardie della Regina entrano nel campo e si posizionano in 3 punti distinti. Dal proprio punto di osservazione, guardando in tutte le direzioni, ciascuna delle guardie dice di vedere esattamente 3 pali, tutti gli altri restano nascosti. Quanti pali ci sono al massimo nel campo?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.5
Maximum number of poles each guard sees exactly 3
The blinded guards (points 50) In a square field of 200m side were planted vertical poles, cylindrical in shape, all equal to each other. Two of them are no less than two meters apart. The Queen’s three guards enter the camp and position themselves at three distinct points. From their point of view, looking in all directions, each of the guards says they see exactly three poles, all the others remain hidden. How many poles are there on the field?
Vincita media ottimale del gioco del dado a sei lanci
La strategia di Mammolo (punti 50) Il casinò del regno ha introdotto un nuovo gioco: il giocatore lancia un classico dado a 6 facce, il banco quindi chiede al giocatore se vuole ritirare il dado, o essere pagato con una somma pari al risultato del dado, e fermarsi. Se si sceglie di ritirare il dado, il banco ripete la domanda, fino a un massimo di 6 lanci totali, quando si è costretti ad accettare il risultato del sesto lancio. Mammolo ha trovato la strategia che permette di incassare il più possibile. Qual è la vincita media della strategia trovata da Mammolo? Si risponda con il numeratore della frazione ridotta ai minimi termini che esprime la vincita media. Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 4 di 6
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ragionamento all’indietro Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
Optimal average win of the six-ball game of dice
Mammolo’s strategy (points 50) The kingdom’s casino introduced a new game: the player throws a classic 6-sided dice, the dealer then asks the player if he wants to withdraw the dice, or be paid with a sum equal to the result of the dice, and stops. If you choose to withdraw the dice, the dealer repeats the request, up to a maximum of 6 total throws, when you are forced to accept the result of the sixth throw. Mammolo has found a strategy that allows him to cash in as much as possible. What’s the average win for the strategy Mammolo found? It is answered by the numerator of the fraction reduced to the minimum terms which expresses the average gain. Team competition Problem texts Pag. 4 di 6
Numero di circonferenze tangenti successive in un quadrato
Le tangenti di Brontolo (punti 60) Esercitandosi per il taglio dei diamanti, Brontolo disegna, su un piccolo foglio quadrato di lato 2cm, una circonferenza tangente ai lati del foglio. Disegna poi una seconda circonferenza, esterna alla prima e tangente ad essa e a due lati del foglio; ne disegna poi una terza, esterna alle prime due, ma tangente alla seconda e a due lati del foglio, e così via. Brontolo si ferma quando disegna la prima circonferenza con raggio inferiore a un millesimo di millimetro, quante circoferenze sono disegnate sul foglio?
Topic: Geometria piana Metodo: Ricorsione Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6
Number of successive tangent circles in a square
Brontolo’s tangents (points 60) Exercising for cutting diamonds, Brontolo draws, on a small square sheet of side 2 cm, a tangent circumference on the sides of the sheet. He then draws a second circumference, external to the first and tangent to it and to two sides of the sheet; then he draws a third, external to the first two, but tangent to the second and to two sides of the sheet, and so on. Brontolo stops when he draws the first circumference with a radius less than a thousandth of a millimeter, how many circumferences are drawn on the sheet?
Numero di furfanti da sistema di congruenze e cavalieri
La fiaba di Biancaneve (punti 60) Biancaneve racconta una nuova fiaba dell’Isola Kenoncé di cavalieri e furfanti (i cavalieri dicono sempre il vero, i furfanti sempre il falso): la fiaba del censimento statistico sull’Isola Kenoncé. Gli operatori dell’Ufficio Censimento entrano in un bar e rivolgono la stessa domanda a cinque avventori: «Quanti sono i furfanti su quest’isola?» Ricevono le seguenti risposte: • Il loro numero diviso per 56 dà come resto 19 • Il loro numero diviso per 132 dà come resto 23 • Il loro numero diviso per 105 dà come resto 13 • Il loro numero diviso per 162 dà come resto 17 • Il loro numero diviso per 156 dà come resto 37 Il barista, un cavaliere, interviene e dice: «Gli abitanti dell’isola sono diecimila e le informazioni date dei cavalieri presenti permettono di stabilire la risposta in modo unico». Grazie al suo allenamento con i numeri, Dotto calcola quanti sono i furfanti e interrompe Biancaneve per dirlo, rovinando così la fiaba. Che numero dice Dotto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.6
Number of congruence system thieves and riders
The fairy tale of Snow White (points 60) Snow White tells a new fairy tale of the Kenoncé Island of knights and swindlers (the knights always tell the truth, the swindlers always the lie): the fairy tale of the census on the Kenoncé Island. The Census Bureau operators enter a bar and ask five adventurers the same question: How many thieves are on this island? They receive the following answers: • Their number divided by 56 gives the remainder 19 • Their number divided by 132 gives the remainder 23 • Their number divided by 105 gives the remainder 13 • Their number divided by 162 gives the remainder 17 • Their number divided by 156 gives the remainder 37 The bartender, a knight, intervenes and says: The inhabitants of the island are ten thousand and the information given to the present knights allows us to establish the answer uniquely. Thanks to his training with numbers, Dotto calculates how many thieves are and interrupts Snow White to say the least, thus ruining the fairy tale. What number does Dotto say?
Somma dei numeri a di triangolazioni regolari del triangolo
Il vessillo della Regina (punti 60) Il vessillo reale è un triangolo diviso in 3 triangoli di colori diversi e con 4 diamanti, uno in ciascun vertice. La Regina vuole farlo cambiare usando più triangoli; il Re acconsente, ma impone che vengano usati un numero di triangoli superiore a 3 e che siano mantenute le proprietà regali di quello originario: deve essere un triangolo diviso in a triangoli, con un diamante in ogni vertice; ogni lato deve contenere solo due diamanti (i due ai suoi vertici) e, in ciascun vertice della figura, si devono incontrare lo stesso numero di lati (il numero di lati che si incontrano in un medesimo vertice del vessillo originario è tre). Qual è la somma dei numeri a che la Regina può scegliere? [Attenzione: la proprietà non richiede che il numero di lati che si incontrano in un medesimo vertice coincida con il numero di triangoli usati.] Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 5 di 6
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
sum of numbers a of regular triangulation of the triangle
The Queen’s flag (points 60) The royal flag is a triangle divided into 3 triangles of different colors and with 4 diamonds, one at each vertex. The Queen wants to make it change using more triangles; the King agrees, but imposes that a number of triangles greater than 3 be used and that the royal properties of the original be maintained: it must be a triangle divided into triangles, with a diamond at each vertex; each side must contain only two diamonds (the two at its vertices) and, at each vertex of the figure, one must meet the same number of sides (the number of sides that meet at the same vertex of the original banner is three). What is the sum of the numbers the Queen can choose? [Note: the property does not require that the number of sides meeting on the same vertex coincide with the number of triangles used.] Team competition Problem texts Pages. 5 di 6
Modi di distribuire libri attorno a un tavolo con divisibilita
Le letture di Biancaneve e i sette nani (punti 70) Biancaneve e i sette nani sono seduti attorno ad un tavolo circolare, ed ognuno impila sul tavolo davanti a sé un certo numero di libri, tra 2 e 9 (estremi inclusi). Si accorgono che, presi comunque due di loro seduti adiacenti, il numero di libri davanti a uno dei due divide il numero di libri davanti all’altro. Dotto ha 9 libri sul tavolo davanti a sé, perciò Biancaneve, che siede al suo fianco sinistro, ha 3 oppure 9 libri davanti. In quanti modi possibili si può ottenere la distribuzione di libri sul tavolo?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.7
Mode of distributing books around a table with divisibility
The readings of Snow White and the Seven Dwarfs (points 70) Snow White and the Seven Dwarfs are sitting around a circular table, and each stacks a number of books on the table in front of him, between 2 and 9 (extremes included). They notice that, if you take two of their seats next to each other, the number of books in front of one of them divides the number of books in front of the other. Dotto has 9 books on the table in front of him, so Snow White, who sits on his left side, has 3 or 9 books in front. How many ways can you get books distributed on the table?
Massimo numero di pezzi di una sfera con 7 tagli per il centro
La mela avvelenata (punti 70) Per convincere Biancaneve a mangiare la mela (che appare sospetta perché perfettamente sferica dopo il bagno nella pozione magica), la strega la taglia in pezzi, in modo che ogni taglio passi per il centro. Quanti pezzi di mela, al massimo, può ottenere dopo 7 tagli?
Topic: Geometria solida Metodo: Ricorsione Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Maximum number of pieces of a sphere with 7 cuts per centre
The poisoned apple (points 70) To convince Snow White to eat the apple (which appears suspicious because perfectly spherical after bathing in the magic potion), the witch cuts it into pieces, so that each cut passes through the center. How many apples can you get after seven cuts?
Distanza massima garantita dividendo un quadrato in tre zone
La bara di Biancaneve (punti 70) Per conservare il corpo morto di Biancaneve, i sette nani stanno lavorando alacremente per dividere in tre zone una grande area quadrata recintata di lato 1 km, usando soltanto tre tratti di staccionata rettilinea. Appena arrivato, il Principe Azzurro si accorge che c’è una distanza ℓmassima con la proprietà che, comunque si esegua una tale divisione (usando cioè tre tratti di staccionata di lunghezza appropriata, ma senza che uno sia sovrapposto ad un altro), in una delle tre zone ci sono due punti distanti almeno ℓ. Prima di baciare Biancaneve, il Principe Azzurro dice ai sette nani il valore di ℓ. Quanto misura, in millimetri, la differenza tra tale distanza ℓe il lato del recinto?
Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Maximum guaranteed distance by dividing a square into three zones
Snow White’s coffin (points 70) To preserve Snow White’s dead body, the seven dwarfs are working tirelessly to divide into three zones a large square area fenced by a side 1 km, using only three stretches of rectangular stationary. As soon as he arrives, the Blue Prince notices that there is a maximum distance with the property that, however such a division is carried out (i.e. using three sections of station of appropriate length, but without one overlapping with the other), in one of the three zones there are at least two distant points. Before kissing Snow White, the Blue Prince tells the seven dwarfs the value of the. What is the difference in millimeters between that distance and the side of the fence?
Probabilita di tornare al vertice A dopo 10 lanci sul cubo
La fine della Regina (punti 70) Biancaneve, i sette nani e il Principe Azzurro lasciano che sia il caso a determinare la sorte della Regina. Prendono un cubo, marcano i tre lati del cubo che passano per lo stesso vertice A con 0, 1 e 2. Marcano poi tutti i rimanenti lati con il numero già scritto su un lato parallelo. Successivamente, inseriscono nel punto A un “segnaposto”. La Regina deve lanciare un dado a 6 facce non truccato. Se il risultato del lancio del dado è n, si divide n per 3. Se il resto è 0, fa scorrere il segnaposto da A lungo il lato 0 fino a raggiungere l’altro vertice; analogamente, se il resto è 1 o 2, fa scorrere il segnaposto lungo il lato 1 o 2. Ad ogni lancio successivo del dado, si muove il segnaposto con lo stesso criterio. Se, dopo un numero totale di 10 lanci, il segnaposto si trova in A, la Regina dovrà calzare due scarpe di ferro arroventate. Qual è la probabilità che la Regina calzi le scarpe arroventate? Si risponda con il numeratore della frazione ridotta ai minimi termini che esprime tale probabilità. Gara a squadre – Testi dei problemi – Pag. 6 di 6
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.7
Probability of returning to summit A after 10 throws on the cube
The end of the Queen (points 70) Snow White, the seven dwarfs and the Blue Prince leave it up to the Queen to decide her fate. They take a cube, they mark the three sides of the cube that pass through the same vertex A with 0, 1 and 2. They then mark all the remaining sides with the number already written on a parallel side. Next, they insert a segnpost in point A. The Queen has to throw a six-sided dice unmade. If the result of the dice roll is n, divide n by 3. If the remainder is 0, move the marker from A along side 0 to the other vertex; similarly, if the remainder is 1 or 2, move the marker along side 1 or 2. With each subsequent roll of the dice, the placeholder moves with the same criterion. If, after a total of 10 throws, the score is in A, the Queen must wear two rounded iron shoes. What are the odds that the Queen will wear red shoes? It shall be answered by the fraction reduced to the minimum terms expressing that probability. Team competition Problem texts Pag. 6 di 6