Coppa Galileo 2012 - Gara a squadre

Rapporto fra aree per dimezzamenti successivi

Pertanto Bn = 2Cn−1 3 +An−1. Infine si osservi che, al lancio n, il segnaposto può essere su uno dei due vertici A o C (se n è pari), oppure su uno dei 2 vertici B o D (se n è dispari). Pertanto, se n è pari, An + Cn = 1. Mettendo assieme queste osservazioni, si trova che, se n = 2m è pari, A2m = 1 3 2 3C2m−2 + A2m−2  e C2m−2 = 1 −A2m−2 da cui A2m = A2m−2 + 2 9 . Dato che A0 = 1 perché, allo 0-esimo lancio, il segnaposto è in A, si trova che A10 = 4921 39 . La risposta è 4921.

Topic: Geometria piana Metodo: Ricorsione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.1

Rate between areas for subsequent halving

So Bn is 2Cn−1 3 +An−1. Finally, it should be noted that at launch n, the point mark can be on one of the two vertices A or C (if n is equal), or on one of the two vertices B or D (if n is odd). So if n is equal, An + Cn = 1. Putting together these observations, it is found that, if n = 2m is equal, A2m = 1 3 2 3C2m−2 + A2m−2 and C2m−2 = 1 −A2m−2 where A2m = A2m−2 + 2 9 . Given that A0 = 1 because, at the 0th throw, the landmark is in A, it is found that A10 = 4921 39. The answer is 4921.

Answer: 0016 src_gs_2012_squadre__Q01

Ultime due cifre di 2^99 via periodicita

Dotto si sta esercitando con i numeri. Ha preso la funzione $f(n)=\frac{200-2n}{n}$ e ha calcolato le ultime due cifre (cioè le due più a destra) del prodotto $f(1)\cdot f(2)\cdot \dots \cdot f(99).$ Che cosa ha trovato?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0088 Fonte: apri PDF p.1

Last two digits of 2^99 by periodicity

Dotto’s practicing with the numbers. He took the $f(n)=\frac{200-2n}{n}$ function and calculated the last two digits (i.e. the two to the right) of the $f(1)\cdot f(2)\cdot \dots \cdot f(99).$ product. What did he find?

Answer: 0088 src_gs_2012_squadre__Q02

Rapporto volumi da masse e densita

3 . Per calcolareBn, si osservi che, con un lancio, si arriva inB daC con probabilità 2 3 e daA, con probabilità 9 1. PertantoBn = 2Cn−1 3 +An−1. Infine si osservi che, al lancion, il segnaposto può essere su uno dei due verticiA oC (sen è pari), oppure su uno dei 2 vertici B o D (se n è dispari). Pertanto, sen è pari,An +Cn = 1. Mettendo assieme queste osservazioni, si trova che, sen = 2m è pari, A2m = 1 3 (2 3C2m−2 +A2m−2

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1250 Fonte: apri PDF p.1

Volume ratio by mass and density

3 . To calculate Bn, you notice that, with one throw, you get to B from C with probability 2 3 and from A, with probability 9 1. Therefore Bn = 2Cn−1 3 +An−1. Finally, it is noted that, at launch, the landmark may be on one of the two vertices A oC (without being equal) or on one of the two vertices B or D (if n is odd). Therefore, sen is equal to,An +Cn = 1. Putting together these observations, we find that, sen = 2m is equal, A2m = 1 3 (2 3C2m−2 + A2m−2

Answer: 1250 src_gs_2012_squadre__Q03

Coppie con prodotto mod 9 uguale a cifra (tabella)

Dotto continua ad esercitarsi con i numeri: ha inventato una nuova operazione tra numeri interi. Moltiplica la cifra delle unità del primo numero per la cifra delle unità del secondo numero, poi, se il risultato è maggiore di 9, ne somma le cifre, e in caso questo nuovo numero sia maggiore di 9, ne somma ancora le cifre, finché ottiene un numero con una sola cifra. Questa è la cifra delle unità del numero risultato della nuova operazione. Allo stesso modo si opera con la cifra delle decine, quella delle centinaia, e così via. Quante sono le coppie (non ordinate) di numeri che hanno come risultato $1357$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1296 Fonte: apri PDF p.1

*Pairs with mod 9 product equal to figure (table) *

Dotto continues to practice with numbers: he has invented a new operation between integers. Multiply the number of units of the first number by the number of units of the second number, then, if the result is greater than 9, it adds the numbers, and if this new number is greater than 9, it adds the numbers again, until it gets a number with only one digit. This is the unit number of the resulting number of the new operation. The same goes for the number of tens, the number of hundreds, and so on. How many pairs of numbers have the result $1357$?

Answer: 1296 src_gs_2012_squadre__Q04

Perimetro poligono di archi di circonferenza

In un poligono regolare di 30 lati, Pisolo numera tutti i vertici da 1 a 30. Appoggia poi 15 dischi circolari di raggio uguale al lato del poligono con i centri sui vertici numerati con un numero dispari. Ogni disco ha la circonferenza lunga 20 cm. Qual è il perimetro esterno della figura?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0160 Fonte: apri PDF p.2

Polyphony perimeter of arc circumference

In a regular polygon of 30 sides, Pisolo counts all vertices from 1 to 30. It then supports 15 circular discs of equal radius to the side of the polygon with the centers on the vertices numbered with an odd number. Each disc has a circumference of 20 cm. What is the outer perimeter of the figure?

Answer: 0160 src_gs_2012_squadre__Q05

Minimo naturale con 11 divisori (sgarzulino)

Cucciolo chiama sgarzulini i numeri naturali formati solo da cifre 1. Quante cifre ha il più piccolo numero sgarzulino maggiore di 1 tale che il numero dei suoi divisori sgarzulini sia un numero sgarzulino?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1024 Fonte: apri PDF p.2

*Natural minime with 11 dividers (scarp) *

Cucciolo calls sgarzulini the natural numbers formed only by digits 1. How many digits has the smallest prime number greater than 1 such that the number of its prime divisors is a prime number?

Answer: 1024 src_gs_2012_squadre__Q06

Crittaritmetica con dieci lettere distinte

Dotto scrive la seguente operazione $\text{Pera}+\text{Pesca}=\text{Frutti}$ e spiega agli altri nani che ha sostituito a ogni cifra una lettera, a lettere diverse corrispondono cifre diverse. Una lettera all’inizio di una parola perciò non corrisponde alla cifra 0. Che cifre scrive Dotto quando scrive case?

Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7635 Fonte: apri PDF p.2

Arithmetic characters with ten distinct letters

Dotto writes the following operation $\text{Pera}+\text{Pesca}=\text{Frutti}$ and explains to the other dwarfs that he replaced each digit with a letter, different letters correspond to different digits. So a letter at the beginning of a word doesn’t correspond to the number 0. What digits does Dotto write when he writes case?

Answer: 7635 src_gs_2012_squadre__Q07

Tabella numeri con somme di riga e colonna

L’algoritmo con cui lo Specchio Magico calcola chi sia “la più bella del reame” prescrive di inserire i 16 numeri $1,2,3,4,10,20,30,40,100,200,300,400,600,700,800,900$ in una griglia $4\times 4$. Oggi le somme delle 4 righe della griglia valgono (a partire dall’alto) $920,1003,1313,874$ mentre le somme delle 4 colonne (a partire da sinistra) sono $2230,461,109,1310.$ La somma dei 4 numeri che occupano la diagonale della griglia che va dalla posizione in alto a sinistra alla posizione in basso a destra determina l’identità della più bella di oggi: qual è la somma oggi?

Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1404 Fonte: apri PDF p.2

Table of numbers with row and column sums

The magic mirror’s algorithm for calculating who is “the most beautiful in the realm” requires the 16 numbers $1,2,3,4,10,20,30,40,100,200,300,400,600,700,800,900$ to be inserted into a grid $4\times 4$. Today the sums of the 4 lines of the grid are $920,1003,1313,874$ while the sums of the 4 columns (from the left) are $2230,461,109,1310.$ The sum of the 4 numbers occupying the diagonal of the grid that goes from the position up to the left to the position down to the right determines the identity of the most beautiful of today: what is the sum today?

Answer: 1404 src_gs_2012_squadre__Q08

Soluzioni intere del sistema simmetrico

Per poter eseguire un rito magico, la Regina deve trovare il numero delle quadruple $(x,y,z,t)$ di numeri reali tali che $\{\begin{array}{l}{x}^2{y}^2+z^2{t}^2=1\\ x^2{z}^2+t^2{y}^2=1\\ x^2{t}^2+y^2{z}^2=1\\ xyzt=0\end{array}$ Quante sono?

Topic: Algebra Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0032 Fonte: apri PDF p.3

Whole solutions of the symmetrical system

In order to perform a magical rite, the Queen must find the number of quadruples $(x,y,z,t)$ of real numbers such as $\{\begin{array}{l}{x}^2{y}^2+z^2{t}^2=1\\ x^2{z}^2+t^2{y}^2=1\\ x^2{t}^2+y^2{z}^2=1\\ xyzt=0\end{array}$ What are they?

Answer: 0032 src_gs_2012_squadre__Q09

Probabilita di arrivare al termine delle strade

Il Principe Azzurro deve raggiungere l’altro capo della Foresta con il suo cavallo ed è appena giunto ad un incrocio. Una strada passa sopra un fiume con un ponte pericolante che ha la probabilità del 30% di crollare al passaggio di un cavallo, mentre ognuna delle altre due strade passa sopra due fiumi con due ponti consecutivi, ciascuno dei quali ha la probabilità del 20% di cadere al passaggio di un cavallo. Il Principe non sa quale strada abbia un solo ponte o quale ne abbia due. Se il Principe sceglie a caso la strada, che probabilità c’è che attraversi il bosco?

Si risponda con il numeratore della frazione ridotta ai minimi termini che esprime tale probabilità.

Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0033 Fonte: apri PDF p.3

Probability of reaching the end of roads

The Blue Prince must reach the other end of the Forest with his horse and has just arrived at a crossroads. One road crosses a river with a dangerous bridge that has a 30% chance of collapsing when a horse crosses, while each of the other two roads crosses two rivers with two consecutive bridges, each of which has a 20% chance of collapsing when a horse crosses. The Prince doesn’t know which road has one bridge or which has two. If the Prince chooses the road at random, what are the odds of him crossing the forest?

It shall be answered by the fraction reduced to the minimum terms expressing that probability.

Answer: 0033 src_gs_2012_squadre__Q10

Punti di intersezione diagonali poligono 21 vertici

Brontolo disegna un poligono regolare di 21 lati. Poi traccia tutte le diagonali e conta tutti i punti, interni al poligono, che sono intersezione di tali diagonali. Quanti punti conta?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 5985 Fonte: apri PDF p.4

Diagonal intersection points are polygons of 21 vertices

Brontë draws a regular polygon of 21 sides. Then trace all the diagonals and count all the points inside the polygon that are intersections of those diagonals. How many points does that count?

Answer: 5985 src_gs_2012_squadre__Q11

Equazione diofantea iterata su i e j

Stavolta Dotto considera l’equazione $3i^2+2j^2=77\cdot 6^{2012}$ e determina quante soluzioni intere $(i,j)$ essa abbia. Quante sono?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0008 Fonte: apri PDF p.4

Diophantine equation iterated on i and j

This time Dotto considers the equation $3i^2+2j^2=77\cdot 6^{2012}$ and determines how many integer solutions $(i,j)$ it has. How many are there?

Answer: 0008 src_gs_2012_squadre__Q12

Conteggio diretto somma

Gongolo ha davanti una copia di ciascuno dei cinque solidi regolari. Guardandoli uno per uno si immagina come tracciare, in ciascuno di essi, tutti i segmenti più lunghi possibile. Quanti sono, in totale, tali segmenti?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0029 Fonte: apri PDF p.4

Direct sum count

Gongolo has a copy of each of the five regular solids in front of him. Looking at them one by one, you imagine how to trace, in each of them, all the longest segments possible. How many of these segments are there in total?

Answer: 0029 src_gs_2012_squadre__Q13

Turno con due fattori 2 nel totale mattoncini

Eolo e Mammolo decidono di fare un gioco insieme, mettendo in ordine mattoncini quadrati, tutti delle stesse dimensioni. Eolo li impila, Mammolo fa muretti quadrati. Eolo inizia con una pila di un mattoncino, Mammolo con un quadrato di un mattoncino (la stessa cosa). Al secondo turno, Eolo fa una pila di due mattoncini, Mammolo un quadrato di quattro mattoncini. Al terzo turno, Eolo fa una pila di tre mattoncini, Mammolo un quadrato di nove mattoncini. Si rendono conto di aver ordinato 20 mattoncini. Decidono di continuare fino al turno quando avranno messo in ordine un numero di mattoncini multiplo di 2012. A quale turno si fermano?

Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0502 Fonte: apri PDF p.4

Turn with two factors 2 in total bricks

Eolo and Mammolo decide to play a game together, arranging square bricks, all of the same size. Eolo stacks them up, Mammolo makes square walls. Eolo starts with a pile of a brick, Mammolo with a square of a brick (the same thing). In the second round, Eolo makes a stack of two bricks, Mammolo a square of four bricks. In the third round, Eolo makes a stack of three bricks, Mammolo a square of nine bricks. They realize they ordered 20 bricks. They decide to continue until the turn when they have set up a number of 2012 bricks. What shift do they stop at?

Answer: 0502 src_gs_2012_squadre__Q14

Somma prodotti a dieci fattori (potenza)

Dotto si esercita ancora con i numeri. Ha davanti 10 scatole, numerate da 1 a 10. Inserisce nella scatola n. 1 un numero scelto tra $-1,0,1$ e $2$; analogamente, anche nella scatola n. 2 inserisce uno dei numeri $-1,0,1,2$ ecc. fino a riempire tutte le scatole. Poi fa il prodotto dei 10 numeri così inseriti e scrive il numero ottenuto sulla lavagna. Ripete l’operazione inserendo nelle scatole di nuovo i numeri $-1,0,1,2$ in un modo diverso dal precedente, e scrive il prodotto ottenuto sulla lavagna, a fianco del primo. Continua inserendo i numeri $-1,0,1,2$ in tutti i modi possibili nelle dieci scatole e scrivendo via via il prodotto ottenuto a fianco degli altri. Infine calcola la somma di tutti i numeri scritti sulla lavagna. Che numero trova?

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1024 Fonte: apri PDF p.4

*Total produced by ten factors (power) *

Dotto is still practicing with numbers. There are 10 boxes in front, numbered 1 to 10. Insert in box n. 1 a number chosen between $-1,0,1$ and $2$; likewise, also in box n. 2 enters one of the numbers $-1,0,1,2$ etc. until all the boxes are filled. Then he makes the product of the 10 numbers that are inserted and writes the number on the board. Repeat the operation by inserting the $-1,0,1,2$ numbers in the boxes again in a different way from the previous one, and write the resulting product on the board next to the first one. Continue by entering the $-1,0,1,2$ numbers in all possible ways into the ten boxes and writing off the product obtained alongside the others. Finally, calculate the sum of all the numbers written on the board. What number do you get?

Answer: 1024 src_gs_2012_squadre__Q15

Massimo numero di pali con allineamenti

In un campo quadrato di lato 200 m sono stati piantati dei pali verticali, di forma cilindrica, tutti uguali tra loro. Due qualunque di essi distano non meno di 2 m. Le tre guardie della Regina entrano nel campo e si posizionano in 3 punti distinti. Dal proprio punto di osservazione, guardando in tutte le direzioni, ciascuna delle guardie dice di vedere esattamente 3 pali, tutti gli altri restano nascosti. Quanti pali ci sono al massimo nel campo?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0144 Fonte: apri PDF p.5

Maximum number of poles with alignments

In a square field of 200 m on the side, vertical poles were planted, cylindrical in shape, all of them equal to each other. Two of each shall be at least two metres apart. The Queen’s three guards enter the camp and position themselves at three distinct points. From their point of view, looking in all directions, each of the guards says they see exactly three poles, all the others remain hidden. How many poles are there on the field?

Answer: 0144 src_gs_2012_squadre__Q16

Vincita attesa gioco dadi a ritroso

Il casinò del regno ha introdotto un nuovo gioco: il giocatore lancia un classico dado a 6 facce, il banco quindi chiede al giocatore se vuole ritirare il dado, o essere pagato con una somma pari al risultato del dado, e fermarsi. Se si sceglie di ritirare il dado, il banco ripete la domanda, fino a un massimo di 6 lanci totali, quando si è costretti ad accettare il risultato del sesto lancio. Mammolo ha trovato la strategia che permette di incassare il più possibile. Qual è la vincita media della strategia trovata da Mammolo?

Si risponda con il numeratore della frazione ridotta ai minimi termini che esprime la vincita media.

Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1709 Fonte: apri PDF p.5

Winning expected game dice backwards

The casino of the kingdom has introduced a new game: the player throws a classic 6-sided dice, the dealer then asks the player if he wants to withdraw the dice, or be paid with a sum equal to the result of the dice, and stops. If you choose to withdraw the dice, the dealer repeats the request, up to a maximum of 6 total rolls, when you are forced to accept the result of the sixth roll. Mammolo has found a strategy that allows him to cash in as much as possible. What’s the average win for the strategy Mammolo found?

It is answered by the numerator of the fraction reduced to the minimum terms which expresses the average gain.

Answer: 1709 src_gs_2012_squadre__Q17

Numero circonferenze inscritte sotto soglia

Esercitandosi per il taglio dei diamanti, Brontolo disegna, su un piccolo foglio quadrato di lato 2 cm, una circonferenza tangente ai lati del foglio. Disegna poi una seconda circonferenza, esterna alla prima e tangente ad essa e a due lati del foglio; ne disegna poi una terza, esterna alle prime due, ma tangente alla seconda e a due lati del foglio, e così via. Brontolo si ferma quando disegna la prima circonferenza con raggio inferiore a un millesimo di millimetro; quante circonferenze sono disegnate sul foglio?

Topic: Geometria piana, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 0007 Fonte: apri PDF p.6

Number of circumferences entered under threshold

Practicing the cutting of diamonds, Brontolo draws, on a small square sheet of two centimeters, a tangent circumference on the sides of the sheet. He then draws a second circumference, external to the first and tangent to it and to two sides of the sheet; then he draws a third, external to the first two, but tangent to the second and to two sides of the sheet, and so on. Brontolo stops when drawing the first circumference with a radius less than one thousandth of a millimeter; how many circles are drawn on the paper?

Answer: 0007 src_gs_2012_squadre__Q18

Sistema congruenze con equazioni errate (Cinese resti)

Biancaneve racconta una nuova fiaba dell’Isola Kenoncé di cavalieri e furfanti (i cavalieri dicono sempre il vero, i furfanti sempre il falso): la fiaba del censimento statistico sull’Isola Kenoncé. Gli operatori dell’Ufficio Censimento entrano in un bar e rivolgono la stessa domanda a cinque avventori: «Quanti sono i furfanti su quest’isola?» Ricevono le seguenti risposte:

• Il loro numero diviso per 56 dà come resto 19
• Il loro numero diviso per 132 dà come resto 23
• Il loro numero diviso per 105 dà come resto 13
• Il loro numero diviso per 162 dà come resto 17
• Il loro numero diviso per 156 dà come resto 37

Il barista, un cavaliere, interviene e dice: «Gli abitanti dell’isola sono diecimila e le informazioni date dei cavalieri presenti permettono di stabilire la risposta in modo unico». Grazie al suo allenamento con i numeri, Dotto calcola quanti sono i furfanti e interrompe Biancaneve per dirlo, rovinando così la fiaba. Che numero dice Dotto?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1475 Fonte: apri PDF p.6

*System of congruences with incorrect equations (Chinese remains) *

Snow White tells a new Kenoncé Island fairy tale of knights and swindlers (the knights always tell the truth, the swindlers always the lie): the fairy tale of the Kenoncé Island census. Census Bureau staff enter a bar and ask five adventurers the same question: How many thieves are on this island? They receive the following answers:

• Their number divided by 56 is 19 - Their number divided by 132 is 23 - Their number divided by 105 is 13 - Their number divided by 162 is 17 - Their number divided by 156 is 37

The bartender, a knight, intervenes and says: The island’s inhabitants are ten thousand and the information given by the knights present allows us to determine the answer in a unique way. Thanks to his training with numbers, Dotto calculates how many thieves are and interrupts Snow White to say the least, thus ruining the fairy tale. What number does Dotto say?

Answer: 1475 src_gs_2012_squadre__Q19

Triangolazione con formula di Eulero

Il vessillo reale è un triangolo diviso in 3 triangoli di colori diversi e con 4 diamanti, uno in ciascun vertice. La Regina vuole farlo cambiare usando più triangoli; il Re acconsente, ma impone che vengano usati un numero di triangoli superiore a 3 e che siano mantenute le proprietà regali di quello originario: deve essere un triangolo diviso in $a$ triangoli, con un diamante in ogni vertice; ogni lato deve contenere solo due diamanti (i due ai suoi vertici) e, in ciascun vertice della figura, si devono incontrare lo stesso numero di lati (il numero di lati che si incontrano in un medesimo vertice del vessillo originario è tre). Qual è la somma dei numeri $a$ che la Regina può scegliere?

[Attenzione: la proprietà non richiede che il numero di lati che si incontrano in un medesimo vertice coincida con il numero di triangoli usati.]

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0026 Fonte: apri PDF p.6

Triangulation with the formula of Euler

The royal banner is a triangle divided into 3 triangles of different colors and with 4 diamonds, one at each vertex. The Queen wants to make it change using more triangles; the King agrees, but imposes that a number of triangles greater than 3 be used and that the gift properties of the original one be maintained: it must be a triangle divided into $a$ triangles, with a diamond at each vertex; each side must contain only two diamonds (the two at its vertices) and, in each vertex of the figure, one must meet the same number of sides (the number of sides that meet in the same vertex of the original banner is three). What is the sum of the numbers that the Queen can choose?

[Note: the property does not require that the number of sides meeting in the same vertex coincide with the number of triangles used.]

Answer: 0026 src_gs_2012_squadre__Q20

Percorsi di otto archi nel grafo

Biancaneve e i sette nani sono seduti attorno ad un tavolo circolare, ed ognuno impila sul tavolo davanti a sé un certo numero di libri, tra 2 e 9 (estremi inclusi). Si accorgono che, presi comunque due di loro seduti adiacenti, il numero di libri davanti a uno dei due divide il numero di libri davanti all’altro. Dotto ha 9 libri sul tavolo davanti a sé, perciò Biancaneve, che siede al suo fianco sinistro, ha 3 oppure 9 libri davanti. In quanti modi possibili si può ottenere la distribuzione di libri sul tavolo?

Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0324 Fonte: apri PDF p.7

Eight arcs paths in the graph

Snow White and the Seven Dwarfs are sitting around a circular table, and each stacks a number of books on the table in front of him, between 2 and 9 (extremes included). They notice that even if you take two of their seats next to each other, the number of books in front of one of them divides the number of books in front of the other. Dotto has 9 books on the table in front of him, so Snow White, who sits on his left side, has 3 or 9 books in front. How many ways can you get books distributed on the table?

Answer: 0324 src_gs_2012_squadre__Q21

Parti massime di una sfera con n tagli

Per convincere Biancaneve a mangiare la mela (che appare sospetta perché perfettamente sferica dopo il bagno nella pozione magica), la strega la taglia in pezzi, in modo che ogni taglio passi per il centro. Quanti pezzi di mela, al massimo, può ottenere dopo 7 tagli?

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0044 Fonte: apri PDF p.8

Maximum parts of a sphere with n cuts

To convince Snow White to eat the apple (which appears suspicious because perfectly spherical after bathing in the magic potion), the witch cuts it to pieces, so that each cut passes through the center. How many apples can you get after seven cuts?

Answer: 0044 src_gs_2012_squadre__Q22

Massima distanza minima ottenibile nella suddivisione

Per conservare il corpo morto di Biancaneve, i sette nani stanno lavorando alacremente per dividere in tre zone una grande area quadrata recintata di lato 1 km, usando soltanto tre tratti di staccionata rettilinea. Appena arrivato, il Principe Azzurro si accorge che c’è una distanza $\ell$ massima con la proprietà che, comunque si esegua una tale divisione (usando cioè tre tratti di staccionata di lunghezza appropriata, ma senza che uno sia sovrapposto ad un altro), in una delle tre zone ci sono due punti distanti almeno $\ell$. Prima di baciare Biancaneve, il Principe Azzurro dice ai sette nani il valore di $\ell$. Quanto misura, in millimetri, la differenza tra tale distanza $\ell$ e il lato del recinto?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 7782 Fonte: apri PDF p.8

Maximum minimum distance to be achieved in the subdivision

To preserve Snow White’s dead body, the seven dwarfs are working tirelessly to divide into three zones a large square area fenced by a side of a mile, using only three stretches of rectangular stationary. As soon as he arrives, the Blue Prince notices that there is a maximum distance $\ell$ with the property that, however such a division is performed (i.e. using three sections of stationary of appropriate length, but without one overlapping with another), in one of the three zones there are at least two distant points $\ell$. Before kissing Snow White, the Blue Prince tells the seven dwarfs the value of$\ell$. What is the difference in millimetres between this $\ell$ distance and the fence side?

Answer: 7782 src_gs_2012_squadre__Q23

Probabilita segnaposto in A dopo 10 lanci (cubo)

Biancaneve, i sette nani e il Principe Azzurro lasciano che sia il caso a determinare la sorte della Regina. Prendono un cubo, marcano i tre lati del cubo che passano per lo stesso vertice $A$ con 0, 1 e 2. Marcano poi tutti i rimanenti lati con il numero già scritto su un lato parallelo. Successivamente, inseriscono nel punto $A$ un “segnaposto”. La Regina deve lanciare un dado a 6 facce non truccato. Se il risultato del lancio del dado è $n$, si divide $n$ per 3. Se il resto è 0, fa scorrere il segnaposto da $A$ lungo il lato 0 fino a raggiungere l’altro vertice; analogamente, se il resto è 1 o 2, fa scorrere il segnaposto lungo il lato 1 o 2. Ad ogni lancio successivo del dado, si muove il segnaposto con lo stesso criterio. Se, dopo un numero totale di 10 lanci, il segnaposto si trova in $A$, la Regina dovrà calzare due scarpe di ferro arroventate. Qual è la probabilità che la Regina calzi le scarpe arroventate?

Si risponda con il numeratore della frazione ridotta ai minimi termini che esprime tale probabilità.

Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4921 Fonte: apri PDF p.9

*Probability of A after 10 launches (cube) *

Snow White, the Seven Dwarfs and the Blue Prince leave it up to the Queen to decide her fate. They take a cube, mark the three sides of the cube that pass through the same vertex $A$ with 0, 1 and 2. They then mark all the remaining sides with the number already written on a parallel side. Then, in $A$, they enter a ‘post’. The Queen has to throw a six-sided dice unmade. If the result of the dice roll is $n$, divide $n$ by 3. If the remainder is 0, move the mark from $A$ along side 0 to reach the other vertex; similarly, if the remainder is 1 or 2, move the mark along side 1 or 2. With each subsequent roll of the dice, the placeholder moves with the same criterion. If, after a total of 10 throws, the mark is in $A$, the Queen shall wear two rounded iron shoes. What are the odds that the Queen will wear red shoes?

It shall be answered by the fraction reduced to the minimum terms expressing that probability.

Answer: 4921 src_gs_2012_squadre__Q24