Numero di lettere del vincitore da sette dei (uno dice il vero)
Un’altra canzone di ghiaccio e fuoco (punti 20) I sette dei degli Andali si incontrano per prevedere chi uscirà vincitore dalla guerra tra i cinque re che si sta per sviluppare. Ad ogni incontro dei sette dei, esattamente uno tra loro dice il vero, gli altri sei dicono il falso. Il primo, il Padre, dice: “Vincerà re Ceelvyer Lannister.” Il secondo, la Madre, dice: “Vincerà re Lewyj Stark.” Il terzo, il Fabbro, dice: “Vincerà re Beapys Baratheon.” Il quarto, la Vecchia, dice: “Vincerà re Ceelvyer Lannister.” Il quinto, la Vergine, dice: “Vincerà re Munry Baratheon.” Il sesto, il Guerriero, dice: “Vincerà re Beapys Baratheon.” Il settimo, lo Straniero, dice: “Vincerà re Munry Baratheon.” Nessuno dei sette dei menziona il quinto re Unton Greyjoy. Qual è il numero totale delle lettere del nome e del cognome del vincitore?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*Number of letters of the winner from seven (one says the truth) *
Another song of ice and fire (points 20) The seven gods of the Andals meet to predict who will emerge victorious from the war between the five kings that is about to develop. At every meeting of the seven gods, exactly one of them says the truth, the other six say the lie. The first, the Father, says: He will defeat King Ceelvyer Lannister. The second, the Mother, says: He will defeat King Lewyj Stark. The third, the Fabbro, says: He will defeat King Beapys Baratheon. The fourth, the Old Woman, says: He will defeat King Ceelvyer Lannister. The fifth, the Virgin, says: He will defeat King Munry Baratheon. The sixth, the Warrior, says: He will defeat King Beapys Baratheon. The seventh, the Stranger, says: He will defeat King Munry Baratheon. None of the seven mentions the fifth King Unton Greyjoy. What is the total number of letters of the winner’s name and surname?
Perimetro massimo dopo due piegature a meta di un foglio
Origami a Capo Tempesta (punti 20) Nel suo castello a Capo Tempesta, progettando la guerra contro gli altri quattro re, Munry Baratheon si diletta a piegare fogli a metà, cioè piega un foglio a quattro bordi in modo da dividere a metà due bordi opposti e facendo combaciare gli altri due. Prende un foglio che non è un quadrato; dopo averlo piegato due volte a metà, si accorge di aver ottenuto un quadrato di area 36 cm2. Munry si accorge che quella è l’area massima che poteva ottenere piegando a metà il foglio iniziale due volte. Pensa allora a come piegare a metà due volte il foglio iniziale in modo da ottenere il perimetro massimo possibile. Quanti cm è lungo quel perimetro?
Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Maximum perimeter after two foldings at the end of a sheet
In his castle at Cape Storm, planning war against the other four kings, Munry Baratheon delights in folding leaves in half, that is, folding a four-sided sheet so as to split in half two opposite edges and making the other two match. He takes a sheet that is not a square; after folding it twice in half, he realizes that he has a square of 36 cm2. Munry realizes that that is the maximum area he could get by folding the initial sheet in half twice. So think about how to fold the starting sheet in half twice so you get the maximum perimeter possible. How long is that perimeter?
Differenza q-p per frazione di codici a cinque cifre
Codici ad Approdo del Re (punti 20) L’accesso alla porta principale di Approdo del Re è controllato da un codice a cinque cifre che cambia ogni giorno. Il re Ceelvyer Lannister ha deciso che, per non sforzare troppo il cervello su inezie simili, il codice sia sempre composto usando esattamente due sequenze di due diverse cifre, ad esempio 44333 e 07777, ma non 43334 e neppure 77707. La Mano del Re protesta dicendo che la frazione p/q ottenuta dividendo il numero totale dei codici proposti da Ceelvyer Lannister per il numero di tutti i possibili codici di cinque cifre è minuscola e questo genererà inutili rischi per la sicurezza della città. Ma Ceelvyer Lannister dice alla Mano di non preoccuparsi e, presa la frazione p/q con p e q primi fra loro, calcola la differenza q −p e mostra alla Mano che non è piccola. Che numero ha calcolato Ceelvyer Lannister?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Q-p difference per fraction of five-digit codes
Codes at the King’s Courtyard (points 20) Access to the King’s Courtyard’s main gate is controlled by a five-digit code which changes daily. King Ceelvyer Lannister decided that, in order not to strain the brain too much on similar inecies, the code should always be composed using exactly two sequences of two different digits, e.g. 44333 and 07777, but not 43334 and not even 77707. The Hand of the King protests by saying that the p/q fraction obtained by dividing the total number of codes proposed by Ceelvyer Lannister by the number of all possible five-digit codes is minuscule and this will generate unnecessary risks to the security of the city. But Ceelvyer Lannister tells the Hand not to worry and, taking the fraction p/q with p and q prime between them, calculates the difference q −p and shows the Hand that it is not small. What number did Ceelvyer Lannister calculate?
Area del triangolo esteso prolungando i lati di un trapezio
La pista dei draghi (punti 20) I giovani draghi spiccano il volo da un campo a forma di trapezio di area 165 m2. La base maggiore misura 16 m, l’altezza 15 m. Crescendo i draghi hanno bisogno di un campo di volo più ampio: vengono perciò prolungati i lati obliqui del trapezio fino a che si incontrano a formare un triangolo (con base la base maggiore del precedente campo trapezioidale). Quanto è l’area del nuovo campo di volo esteso? Gara a squadre 2013 – Testi dei problemi – Pag. 1 di 6
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Area of the extended triangle extending the sides of a trapezoid
The dragon track (points 20) The young dragons take off from a 165 m2 trapezoidal field. The main base measures 16 m, the height 15 m. Growing dragons need a wider flight field: the oblique sides of the trapezium are therefore extended until they meet to form a triangle (based on the larger base of the previous trapeziodal field). What is the area of the new extended flight range? Team competition 2013 Problem texts Pag. 1 di 6
Liste di quattro lettere con valore topologico uguale a PDOR
Ceelvyer onomale (punti 20) Ceelvyer, che fa parte della ricchissima Casa Lannister, valuta i nomi propri di persona in un modo leggermente inusuale. Classifica infatti le 21 lettere maiuscole dell’alfabeto italiano in base ad un loro carattere topologico: il numero di buchi della loro scrittura stampata. La lettera B vale 2, le lettere ADOPQR valgono 1 ciascuna, tutte le altre valgono 0. Quindi valuta il valore di un nome come somma dei valori delle lettere componenti. Dopo un’attenta analisi, decide di chiamare il suo quarto figlio con il nome di PDOR dopo aver preso in considerazione tutte le liste di quattro lettere (anche di sole consonanti) e con quello stesso valore. Quanti sono le liste di quattro lettere con lo stesso valore di PDOR che Ceelvyer Lannister ha escluso?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Lists of four letters with a topological value equal to PDOR
Ceelvyer onomale (points 20) Ceelvyer, who is part of the very wealthy House of Lannister, evaluates personal names in a slightly unusual way. It classifies the 21 capital letters of the Italian alphabet according to their topological character: the number of holes in their printed writing. The letter B is 2, the letters ADOPQR are 1 each, all the others are 0. Then evaluate the value of a name as the sum of the values of the component letters. After careful analysis, she decided to name her fourth child PDOR after considering all the four-letter lists (even only consonants) and with the same value. How many four letter lists with the same PDOR value that Ceelvyer Lannister excluded?
Superficie bianca di uno stemma con croce a parallelogrammi
Araldica di Westeros (punti 20) Lo stemma araldico scelto da Brienne Tarth è appeso ad una parete: è una croce verde su sfondo bianco. Lo stemma è di forma quadrata. I due bracci della croce sono parallelogrammi tutti contenuti nel quadrato. Di ciascun parallelogrammo, due lati giacciono sui due lati orizzontali del quadrato e due dei quattro vertici coincidono con due vertici diagonalmente opposti del quadrato. Ogni lato dello stemma quadrato è lungo 60 cm. Ogni lato orizzontale dei due parallelogrammi è lungo 15 cm. Quanto misura la superficie bianca dello stemma in cm2?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
White surface of a coat of arms with parallel cross
Westeros heraldry (points 20) The heraldic coat of arms chosen by Brienne Tarth is hung on a wall: it is a green cross on a white background. The coat of arms is square. The two arms of the cross are parallelograms all contained in the square. Of each parallelogram, two sides lie on the two horizontal sides of the square and two of the four vertices coincide with two vertices diagonally opposite the square. Each side of the square coat of arms is 60 cm long. Each horizontal side of the two parallelograms is 15 cm long. What is the white area of the coat of arms in cm2?
Somma di righe di numeri con un valore raddoppiato
Calcoli alla Barriera (punti 30) Per passare il tempo presso la Barriera, i Guardiani della Notte fanno calcoli lunghissimi per mantenere il cervello riscaldato. Ad esempio, Sam scrive numeri in sequenza e somma la sequenza ottenuta. Oggi scrive righe di ventuno numeri: nella prima riga scrive due 1, poi 2, 3, ecc. fino a 20; nella seconda riga scrive 1, poi due 2, quindi 3, 4, ecc. fino a 20; nella terza riga, scrive 1, 2, due 3, poi 4, 5, ecc. fino a 20; e continua così fino a scrivere una riga con 1, 2, ecc. fino a 19, finendo con due 20. Infine somma tutti i numeri scritti. Che risultato ottiene?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
sum of rows of numbers with a double value
Calculations at the Barrier (points 30) To spend time at the Barrier, the Night’s Watchers do very long calculations to keep their brains warm. For example, Sam writes numbers in sequence and sums the sequence. Today he writes lines of 21 numbers: in the first line he writes two 1, then 2, 3, etc. In the second line, he writes 1, then two 2, then 3, 4, etc. up to 20; in the third line, it says 1, 2, two 3, then 4, 5, etc. until 20; and then continue until you write a line with 1, 2, etc. until 19, ending with two 20. Finally, add up all the numbers written. What is the result?
Lunghezza di una trave che divide un trapezio in due equivalenti
Attraverso il tunnel (punti 30) La sezione verticale del tunnel nella Barriera a Castello Nero ha forma di trapezio con basi di 6.26 m e 76.82 m. In alcuni punti del tunnel, per assicurare stabilità, è montata una trave di sostegno, parallela alle basi, che divide la sezione verticale del tunnel in due trapezi equivalenti. Quanto è lunga una di queste travi di sostegno in cm?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
Length of a beam dividing a trapezoid into two equivalents
Through the tunnel (points 30) The vertical section of the tunnel in the Black Castle Barrier has a trapezoidal shape with bases of 6.26 m and 76.82 m. In some points of the tunnel, to ensure stability, a support beam is mounted, parallel to the bases, which divides the vertical section of the tunnel into two equivalent trapezoids. How long is one of these support beams in cm?
Quante volte a_i vale 0 con quozienti e potenze di -1
Calcoli alla Barriera, II (punti 30) Il 997o comandante dei Guardiani della Notte utilizza funzioni per impostare calcoli che gli riscaldino il cervello. Per x e y numeri interi positivi, scrive qu(x, y) per il quoziente della divisione di x con y, cioè quel numero q tale che x −(q × y) sia un numero compreso tra 0 e y −1, estremi inclusi (ad esempio, qu(13, 4) = 3). Oggi calcola numeri secondo la seguente formula: ai = (−1)i + (−1)qu(i,2) + (−1)qu(i,3) + (−1)qu(i,4). Facendo variare i da 1 a 2013, estremi inclusi, quante volte il comandante trova che il valore di ai è 0? Gara a squadre 2013 – Testi dei problemi – Pag. 2 di 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
How many times a_i is 0 with coefficients and powers of -1
Calculations at the Barrier, II (points 30) The 997th Commander of the Night’s Watch uses functions to set calculations that warm his brain. For x and y positive integers, write qu(x, y) for the quotient of division of x by y, that is, that number q such that x −(q × y) is a number between 0 and y −1, extremes included (e.g., qu(13, 4) = 3). Today he calculates numbers according to the following formula: a = (−1) i + (−1) qu,2) + (−1) qu,3) + (−1) qu,4). By varying the from 1 to 2013, extremes included, how many times does the commander find that the value of a is 0? Team competition 2013 Problem texts Pag. 2 di 6
Valore di f(49/2) per una funzione additiva razionale
Calcoli alla Barriera, III (punti 30) Un’altra delle funzioni che il comandante dei Guardiani della Notte utilizza è una funzione f : Q −→Q razionale di variabile razionale tale che f(x + y) = f(x) + f(y) per ogni x e y numeri razionali. Il comandante sa che f 7 8 = 8 7 e calcola f 49 2 . Che risultato trova?
Topic: successioni Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.4
Value of f(49/2) for a rational additive function
Calculations at the Barrier, III (points 30) Another function that the Night’s Watch commander uses is a function f: Q −→Q rational rational variable such that f(x + y) = f(x) + f(y) for every x and y rational numbers. The commander knows that f 7 8 = 8 7 and calculates f 49 2 . What is the result?
Numero nella scatola 5 da scatole parlanti vere/false
La cava del Mare Stretto (punti 40) In una cava su un’isola del Mare Stretto, ci sono 5 scatole parlanti di materiali diversi. Ogni scatola contiene un numero naturale e dice solo il vero o solo il falso. La scatola 1 è in ferro e dà due informazioni: • “il numero dentro di me è il quoziente del numero nella scatola 5 e del numero nella scatola 2” • “un terzo del numero dentro la scatola 3 è il prodotto di tutti i numeri primi minori di 15 eccetto uno (di questi numeri primi)” La scatola 2 è in legno di pino e dà due informazioni: • “almeno una scatola di metallo dice il falso” • “il numero nella scatola 1 è minore di 200” La scatola 3 è in rame e dà due informazioni: • “il numero dentro di me è la differenza tra il numero nella scatola 5 e il numero nella scatola 2” • “il numero dentro la scatola 1 è primo” La scatola 4 è in legno di noce e dà due informazioni: • “la scatola 5 dice il falso” • “il numero nella scatola 3 è divisibile per 11” La scatola 5 è in piombo e dice • “il numero nella scatola 1 è minore di 220” • “tutte le scatole di legno dicono il falso” Che numero c’è nella scatola 5?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4
Number in box 5 from true/false speaking boxes
In a quarry on a narrow sea island, there are 5 talking boxes of different materials. Each box contains a natural number and says only the true or only the false. Box 1 is made of iron and gives two information: • the number inside me is the ratio of the number in box 5 and the number in box 2 • a third of the number inside box 3 is the product of all prime numbers less than 15 except one (of these prime numbers) Box 2 is made of pine wood and gives two information: • at least one metal box is false • the number in box 1 is less than 200 Box 3 is copper and gives two information: • the number inside me is the difference between the number in box 5 and the number in box 2 • the number in box 1 is prime Box 4 is made of walnut wood and gives two information: • The number in box 5 is false The number in box 5 is false The number in the box 5 The number in the box 5 is false
Data in cui l’area di un triangolo rettangolo supera 1500
Magia a Roccia del Drago (punti 40) A Roccia del Drago, dove i giorni dei mesi sono numerati da 3 a 33, il re Beapys Baratheon ha un triangolo magico che cambia forma e dimensione a seconda del giorno del mese, ma è sempre rettangolo e le lunghezze dei suoi lati sono numeri interi. Se il numero del giorno non è primo, il triangolo resta invariato, mentre se il numero del giorno è primo il cateto minore ha la lunghezza pari al numero del giorno. In quale data, ogni mese, la sua area diventa maggiore di 1500 per la prima volta? Gara a squadre 2013 – Testi dei problemi – Pag. 3 di 6
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF p.4
Date where the area of a rectangular triangle exceeds 1500
Magic at Dragon’s Rock (points 40) At Dragon’s Rock, where the days of the months are numbered from 3 to 33, King Beapys Baratheon has a magical triangle that changes shape and size depending on the day of the month, but it is always rectangular and the lengths of its sides are whole numbers. If the number of days is not prime, the triangle remains unchanged, whereas if the number of days is prime, the minor triangle has a length equal to the number of days. On what date, every month, does its area become greater than 1,500 for the first time? Team competition 2013 Problem texts Pag. 3 di 6
Numero di pagine originali con un foglio strappato e somma data
Lo strappo di Lewyj (punti 40) Nelle sue ricerche, Lewyj Stark non trova il libro delle discendenze delle Case di Westeros. In modo molto ambiguo, Lord Varys gli dice quel che lui sa del libro: tutte le pagine tra le due copertine sono numerate in successione a partire dal numero 1, nel libro è stato strappato esattamente un foglio, la somma dei numeri sulle pagine rimanenti è 65000. Lewyj Stark dice che queste informazioni non servono. Lord Varys gli risponde che si sbaglia, ad esempio si può calcolare quante pagine aveva in origine il libro. Quale numero determina Lord Varys? [Ogni foglio ha due pagine, ciascuna numerata.]
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.5
Number of original pages with torn sheet and date sum
Lewyj’s rift (points 40) In his research, Lewyj Stark does not find the book of the descendants of the Houses of Westeros. In a very ambiguous way, Lord Varys tells him what he knows about the book: all the pages between the two covers are numbered in succession starting with number 1, the book has been torn out exactly one sheet, the sum of the numbers on the remaining pages is 65,000. Lewyj Stark says this information is useless. Lord Varys replies that he is wrong, for example, you can calculate how many pages the book originally had. What number does Lord Varys determine? [Each sheet has two pages, each numbered.]
Differenza q-p nel gioco dell’oca semplificato a 6 caselle
Il gioco dell’oca alla Barriera (punti 40) Alla Barriera si gioca un “gioco dell’oca semplificato” su un tabellone con 6 caselle, numerate rispettivamente 0, 1, 2, … , 5. È un solitario che si gioca inserendo il segnaposto sulla casella di partenza, lanciando un comune dado a 6 facce e spostando il segnaposto di tanti passi quanti indicati dal dado. La casella 0 è quella di partenza, la casella 5 è quella d’arrivo. Nella casella 1 è scritto: “va nella casella 5” e nella casella 4 è scritto: “va nella casella 3”; il gioco termina quando si arriva alla casella 5. Se si supera la casella 5 si prosegue ripassando per la casella 0. Oggi, contemplando un suo Guardiano che giocava, il comandante Jeor Mormont ha calcolato la probabilità che il gioco non sia ancora finito dopo il sesto turno e, a quel punto, il segnaposto del giocatore si trovi sulla casella 2. Se p/q è la probabilità calcolata dal comandante, con p e q primi tra loro, si determini il numero q −p.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
Q-p difference in the 6-box game of the simple goose
The Barrier game (points 40) A simplified Barrier game is played on a board with 6 boxes, numbered 0, 1, 2, respectively… , 5. He is a solitary player who plays by inserting the stall on the starting box, throwing a common 6-sided dice and moving the stall by as many steps as the dice indicate. Box 0 is the starting box, box 5 is the arrival box. In box 1 it says: va in box 5 and in box 4 it says: va in box 3; the game ends when you reach box 5. If box 5 is exceeded, continue to box 0. Today, watching one of his Guardians play, Commander Jeor Mormont calculated the probability that the game is not over after the sixth round and, at that point, the player’s score is on box 2. If p/q is the probability calculated by the commander, with p and q primes between them, the number q −p is determined.
Ultime tre cifre di un prodotto iterato sottrai-moltiplica
Calcoli alla Barriera, IV (punti 50) Come detto, per passare il tempo presso la Barriera, i Guardiani della Notte fanno calcoli lunghissimi. Jon, partendo dal numero 2013, sottrae 1 e moltiplica il risultato per 1, poi sottrae 2 al risultato del prodotto e moltiplica per 2 quel che ottiene, e continua fino a quando sottrae 2013 e moltiplica per 2013. Quali sono le ultime tre cifre del numero che ottiene?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.5
Last three digits of an iterated sub-multiplicate product
Calculations at the Barrier, IV (points 50) As stated, to spend time at the Barrier, the Night’s Watchers do very long calculations. Jon, starting with number 2013, subtracts 1 and multiplies the result by 1, then subtracts 2 to the product result and multiplies by 2 what he gets, and continues until he subtracts 2013 and multiplies by 2013. What are the last three digits of the number you get?
Minimo prodotto pq di primi con tre condizioni di primalita*
Calcoli alla Barriera, V (punti 50) Vicino alla Barriera, fa freddo e non capita nulla. Per scaldarsi, i Guardiani della Notte complicano i calcoli. Ad esempio, Edd l’Addolorato scrive tutte le possibili coppie (p, q) di numeri primi (dunque maggiori di 1) tali che
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.5
*Minimum product p q of prime with three conditions of prime
Calculations at the Barrier, V (points 50) Near the Barrier, it’s cold and nothing happens. To warm up, the Night’s Watchers complicate the calculations. For example, Edd lAddolorato writes all possible pairs (p, q) of prime numbers (then greater than 1) such that
Differenza tra due percorsi a elica cilindrica
- La sfida sulla spiralevolante (punti 50) Invece di affrontarsi in battaglia, i re Munry Baratheon e Unton Greyjoy decidono di stabilire chi sia il più coraggioso sfidandosi a girare sulla spiralevolante che simula il volo dei draghi. Salgono ciascuno su una navicella che è fissata ad un braccio meccanico rigido che collega la navicella al palo verticale centrale della spiralevolante e che, mantenendosi parallelo al terreno, si solleva mentre ruota intorno al palo centrale per bloccarsi istantaneamente quando raggiunge l’altezza di 45 m. I bracci salgono verticalmente alla velocità costante di 0.5 m/ sec e ruotano intorno al palo alla velocità angolare costante di / sec. Il braccio che sostiene la navicella di Munry Baratheon ruota su una circonferenza lunga 12 m, il braccio che
Topic: Geometria solida Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6
Difference between two cylindrical propeller routes
- Instead of facing each other in battle, Kings Munry Baratheon and Unton Greyjoy decide to determine who is the bravest by challenging themselves to spin on the spiral that simulates the flight of dragons. They are each mounted on a vessel which is fixed to a rigid mechanical arm which connects the vessel to the central vertical pole of the propeller and which, while remaining parallel to the ground, is lifted as it rotates around the central pole to lock itself instantly when it reaches a height of 45 m. The arms rise vertically at a constant speed of 0.5 m/ sec and rotate around the pole at a constant angular speed of / sec. The arm supporting the Munry Baratheon ship rotates on a 12 m long circumference, the arm which
Massimo numero di dadi in un rettangolo con regola facce somma 6
- I dadi di Bran (punti 50) Bran Stark gioca con usuali dadi a sei facce, moltissimi. Li accosta uno all’altro sul tavolo (senza impilarli o lasciare spazi), in modo da formare rettangoli di varie dimensioni. Si attiene ad una regola precisa: i numeri sulle facce con cui due dadi sono accostati devono fare per somma 6. In ogni dado la somma delle facce opposte è
Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Maximum number of dice in a rectangle with face sum rule 6
- Bran Stark plays with the usual six-sided dice, lots of them. Place them next to each other on the table (without stacking them or leaving any space), so that they form rectangles of various sizes. It follows a precise rule: the numbers on the faces with which two dice are joined must be summed to 6. In each dice, the sum of the faces is
Distanza finale dopo balzi crescenti a 45 gradi (spirale)
- I voli di Drogon (punti 50) Il drago Drogon si allena a voli precisi. Partendo dal suo trespolo, fa un volo di 200 m verso Est, da dove è arrivato fa un secondo volo verso Nord ancora di 200 m. Dal punto dove è arrivato, si esercita in balzi precisi: un balzo verso Est di 1 m, si volge di in senso antiorario—cioè punta a Nord-Est—e fa un balzo di 2 m, si gira di in senso antiorario—cioè punta a Nord—e fa un balzo di 3 m, si gira di in senso antiorario—cioè punta a Nord-Ovest—e fa un balzo di 4 m, si gira di 45 gradi in senso antiorario—cioè punta ad Ovest—e fa un balzo di 5 m e così via, finché l’ultimo balzo che fa è di 400 m. A che distanza dal punto di partenza si trova alla fine dei suoi balzi?
Topic: Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate, Sfruttamento della simmetria Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6
*Final distance after increasing jumps of 45 degrees (spiral) *
- Drogon flights (50 points) Drogon dragon is trained in precise flights. Starting from its trespol, it makes a flight of 200 m to the east, from where it arrived a second flight to the north another 200 m. From the point where it has arrived, it exercises in precise jumps: a jump eastwards of 1 m, it turns from in anti-hour direction, it points north-eastwards and makes a jump of 2 m, it turns from in anti-hour direction, it points northwards and makes a jump of 3 m, it turns from in anti-hour direction, it points north-westwards and makes a jump of 4 m, it turns 45 degrees in anti-hour direction, it points westwards and makes a jump of 5 m and so on, until the last jump that makes it is 400 m. How far from the starting point is he at the end of his jumps?
Minimo numero di uffici in un palazzo con vincoli logici
- Il palazzo di Littlefinger (punti 60) Il palazzo di Lord Petyr Baelish ha 70 piani. Ogni piano ha 7 finestre rivolte verso sud. Ad ognuna di queste corrisponde un ufficio, un appartamento o una sala d’attesa. La distribuzione segue le seguenti regole:
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Minimum number of offices in a building with logical constraints
- Littlefinger Palace (points 60) The palace of Lord Petyr Baelish has 70 floors. Each floor has seven windows facing south. There is an office, an apartment or a waiting room for each of these. Distribution follows the following rules:
Rettangoli di perimetro 1m con vertici su una grata 10x10
- La grata di Lewyj (punti 60) La grata alla finestra della cella in cui è rinchiuso Lewyj Stark è formata da ventidue sbarre, undici verticali, undici orizzontali, che formano 100 quadrati tutti uguali di lato 5 cm. Lewyj Stark passa il suo tempo formando con un filo sottile rettangoli di perimetro 1 m con i vertici su incroci tra sbarre (e con tutti e quattro i lati di lunghezza positiva). Quanti rettangoli può formare?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.7
Rectangles of 1m perimeter with vertices on a 10x10 grid
- The Lewyj Grid (points 60) The Grid at the window of the cell in which Lewyj Stark is locked is made up of twenty-two bars, eleven vertical, eleven horizontal, which form 100 squares all equal in 5 cm side. Lewyj Stark spends his time forming with a thin wire 1 m perimeter rectangles with vertices at crossroads between bars (and with all four sides of positive length). How many rectangles can it form?
Distanza della nave dal faro ovest con angoli uguali
- La difesa di Bronn (punti 70) Sul campo di battaglia Tyrion Lannister si aspetta che i soldati di Beapys Baratheon attaccheranno risalendo il fiume Acquanera. Ha piazzato tre fari, due sulle rive opposte a est e a ovest. Tyrion è sulla torre a 8 km dal faro sulla riva est e a 5 km dall’altro. Sa anche che la distanza tra i due fari è 8.9 km. Il terzo faro è piazzato su una boa nel fiume esattamente a metà della linea che congiunge i due fari sulle rive. La nave vedetta di Beapys Baratheon compare sulla linea dei tre fari e Tyrion si accorge che il suo angolo di visuale tra il faro sulla riva est e la nave vedetta coincide con il suo angolo di visuale tra la boa e il faro sulla riva ovest. Calcola perciò immediatamente il rapporto tra la distanza della nave vedetta dal faro sulla riva e
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Distance of the ship from the west lighthouse at equal angles
- Defence of Bronn (points 70) On the battlefield Tyrion Lannister expects Beapys Baratheon’s soldiers to attack rising up the River Acquanera. He placed three lighthouses, two on opposite shores east and west. Tyrion’s on the tower eight kilometers from the lighthouse on the east coast and five kilometers from the other. You also know that the distance between the two lighthouses is 8.9 kilometers. The third lighthouse is placed on a buoy in the river exactly halfway along the line connecting the two lighthouses on the banks. The starship of Beapys Baratheon appears on the line of the three lighthouses and Tyrion notices that his angle of view between the lighthouse on the east shore and the starship coincides with his angle of view between the boa and the lighthouse on the west shore. Calculate, therefore, immediately the ratio of the distance of the ship seen from the lighthouse on the shore to
Volume del poliedro convesso sui punti di contatto di due anelli
- Gli anelli inanellati (punti 70) Il nuovo emblema di Casa Lannister è una coppia di anelli identici, formati facendo ruotare un quadrato attorno ad una retta complanare con il quadrato e parallela alla sua diagonale. I due anelli sono incatenati l’uno all’altro (uno passa nel buco dell’altro). Un’antica leggenda narra che, se la diagonale del quadrato usato per ottenere gli anelli è lunga 30 cm e se il volume occupato dalla coppia di anelli è il minimo possibile, su ogni punto di contatto tra i due anelli si crea un diamante. Il volume in del più piccolo solido che contiene tutte le piramidi con vertici sui diamanti (cioè il più piccolo poliedro convesso che contiene tutti i diamanti) indicherà il numero di anni del dominio della Casa Lannister su Westeros. Quanti anni durerà
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Volume of convex polyester at the contact points of two rings
- The new emblem of House Lannister is a pair of identical rings, formed by rotating a square around a straight plane with the square and parallel to its diagonal. The two rings are chained to each other (one goes through the hole of the other). An ancient legend tells that if the diagonal of the square used to obtain the rings is 30 cm long and the volume occupied by the pair of rings is as low as possible, a diamond is created at each point of contact between the two rings. The volume of the smallest solid containing all pyramids with diamond vertices (i.e. the smallest convex polyhedron containing all diamonds) will indicate the number of years of Lannister House rule over Westeros. How many years will it last?
Probabilita di morte al quattordicesimo minuto (palla nei solchi)
- MORTE per CASO (punti 70) MORTE controlla i destini dei personaggi con CASO. Davanti a MORTE ci sono due solchi circolari, uno lungo il doppio dell’altro. I due solchi sono collegati in un punto dove c’è uno scambio che permette di passare da un solco all’altro. Una palla gira a velocità perfettamente costante nei solchi (impiega un minuto a completare il solco più corto). CASO, ogni volta che la palla sta per passare nel punto di collegamento, dice “sì” o “no”—a caso, appunto… Se dice “sì”, MORTE apre il collegamento in modo che la palla passi nell’altro solco. Se dice “no”, non apre il collegamento e mantiene la palla nello stesso solco. Ogni volta che la palla giunge a metà del solco più lungo muore un personaggio. All’inizio della gara a squadre, la palla passa sul punto di mez
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.7
*Probability of death in the 14th minute (ball in the groin) *
- DEATH by CASE (points 70) DEATH controls the fate of characters with CASE. In front of DEATH there are two circular paths, one twice the length of the other. The two tracks are connected at a point where there is an exchange that allows passing from one trail to the other. A ball spins at a perfectly constant speed in the grooves (it takes a minute to complete the shortest groove). CASE, whenever the ball is about to pass to the point of contact, it says “yes” or “no” CASE, exactly… If he says yes, DEATH opens the link so that the ball passes into the other field. If he says no, he doesn’t open the link and keeps the ball in the same fold. Every time the ball reaches halfway through the longest stretch, a character dies. At the start of the team competition, the ball passes to the midpoint.