Coppa Galileo 2013 - Gara a squadre

Coppie di affermazioni uguali false (logica)

I sette dei degli Andali si incontrano per prevedere chi uscirà vincitore dalla guerra tra i cinque re che si sta per sviluppare. Ad ogni incontro dei sette dei, esattamente uno tra loro dice il vero, gli altri sei dicono il falso.

Il primo, il Padre, dice: «Vincerà re Ceelvyer Lannister.» Il secondo, la Madre, dice: «Vincerà re Lewyj Stark.» Il terzo, il Fabbro, dice: «Vincerà re Beapys Baratheon.» Il quarto, la Vecchia, dice: «Vincerà re Ceelvyer Lannister.» Il quinto, la Vergine, dice: «Vincerà re Munry Baratheon.» Il sesto, il Guerriero, dice: «Vincerà re Beapys Baratheon.» Il settimo, lo Straniero, dice: «Vincerà re Munry Baratheon.»

Nessuno dei sette dei menziona il quinto re Unton Greyjoy. Qual è il numero totale delle lettere del nome e del cognome del vincitore?

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0010 Fonte: apri PDF p.1

*Types of false equal statements (logic) *

The seven deities of the Andals meet to predict who will emerge victorious from the war between the five kings that is about to develop. At every meeting of the seven gods, exactly one of them says the truth, the other six say the lie.

The first, the Father, says: He will defeat King Ceelvyer Lannister. The second, the Mother, says: He will defeat King Lewyj Stark. The third, the Fabbro, says: He will defeat King Beapys Baratheon. The fourth, the Old Woman, says: He will defeat King Ceelvyer Lannister. The fifth, the Virgin, says: He will defeat King Munry Baratheon. The sixth, the Warrior, says: He will defeat King Beapys Baratheon. The seventh, the Stranger, says: He will defeat King Munry Baratheon.

None of the seven mentions the fifth King Unton Greyjoy. What is the total number of letters of the winner’s name and surname?

Answer: 0010 src_gs_2013_squadre__Q01

Massimo perimetro foglio piegato non quadrato

Nel suo castello a Capo Tempesta, progettando la guerra contro gli altri quattro re, Munry Baratheon si diletta a piegare fogli a metà, cioè piega un foglio a quattro bordi in modo da dividere a metà due bordi opposti e facendo combaciare gli altri due. Prende un foglio che non è un quadrato; dopo averlo piegato due volte a metà, si accorge di aver ottenuto un quadrato di area $36{\text{ cm}}^2$. Munry si accorge che quella è l’area massima che poteva ottenere piegando a metà il foglio iniziale due volte.

Pensa allora a come piegare a metà due volte il foglio iniziale in modo da ottenere il perimetro massimo possibile. Quanti cm è lungo quel perimetro?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0051 Fonte: apri PDF p.1

*Maximum area of non-square folded sheet *

In his castle at Cape Storm, planning war against the other four kings, Munry Baratheon delights in folding leaves in half, that is, folding a four-sided sheet so as to split in half two opposing edges and making the other two match. It takes a sheet that is not a square, and after folding it twice in half, it finds that it has a square of area $36{\text{ cm}}^2$. Munry realizes that that is the maximum area he could get by folding the initial sheet in half twice.

So think about how to fold the starting sheet in half twice so you get the maximum perimeter possible. How long is that perimeter?

Answer: 0051 src_gs_2013_squadre__Q02

Rapporto codici di tipo dato su totale

L’accesso alla porta principale di Approdo del Re è controllato da un codice a cinque cifre che cambia ogni giorno. Il re Ceelvyer Lannister ha deciso che, per non sforzare troppo il cervello su inezie simili, il codice sia sempre composto usando esattamente due sequenze di due diverse cifre, ad esempio $44333$ e $07777$, ma non $43334$ e neppure $77707$. La Mano del Re protesta dicendo che la frazione $p/q$ ottenuta dividendo il numero totale dei codici proposti da Ceelvyer Lannister per il numero di tutti i possibili codici di cinque cifre è minuscola e questo genererà inutili rischi per la sicurezza della città. Ma Ceelvyer Lannister dice alla Mano di non preoccuparsi e, presa la frazione $p/q$ con $p$ e $q$ primi fra loro, calcola la differenza $q-p$ e mostra alla Mano che non è piccola. Che numero ha calcolato Ceelvyer Lannister?

Topic: Combinatoria, Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2491 Fonte: apri PDF p.1

Report of type codes given on total

The entrance to the King’s Gate is controlled by a five-digit code that changes every day. King Ceelvyer Lannister decided that in order not to strain the brain too much on similar inecies, the code should always be composed using exactly two sequences of two different digits, e.g. $44333$ and $07777$, but not $43334$ or even $77707$. The Hand of the King protests by saying that the $p/q$ fraction obtained by dividing the total number of codes proposed by Ceelvyer Lannister by the number of all possible five-digit codes is minuscule and this will generate unnecessary risks to the security of the city. But Ceelvyer Lannister tells the Hand not to worry and, taking the fraction $p/q$ with $p$ and $q$ first among them, calculates the difference $q-p$ and shows the Hand that it is not small. What number did Ceelvyer Lannister calculate?

Answer: 2491 src_gs_2013_squadre__Q03

Area triangolo da trapezio con similitudini

= 51.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0192 Fonte: apri PDF p.1

Trapezium triangle area with similarities

= 51.

Answer: 0192 src_gs_2013_squadre__Q04

Conteggio nomi PDOR con partizioni di 4

Ceelvyer, che fa parte della ricchissima Casa Lannister, valuta i nomi propri di persona in un modo leggermente inusuale. Classifica infatti le 21 lettere maiuscole dell’alfabeto italiano in base ad un loro carattere topologico: il numero di buchi della loro scrittura stampata. La lettera B vale 2, le lettere A, D, O, P, Q, R valgono 1 ciascuna, tutte le altre valgono 0. Quindi valuta il valore di un nome come somma dei valori delle lettere componenti. Dopo un’attenta analisi, decide di chiamare il suo quarto figlio con il nome di PDOR dopo aver preso in considerazione tutte le liste di quattro lettere (anche di sole consonanti) e con quello stesso valore. Quante sono le liste di quattro lettere con lo stesso valore di PDOR che Ceelvyer Lannister ha escluso?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8519 Fonte: apri PDF p.1

Counting PDOR names with partitions of 4

Ceelvyer, who is part of the very wealthy House of Lannister, evaluates personal names in a slightly unusual way. It classifies the 21 capital letters of the Italian alphabet according to their topological character: the number of holes in their printed writing. The letter B is 2, the letters A, D, O, P, Q, R are 1 each, all the others are 0. Then evaluate the value of a name as the sum of the values of the component letters. After careful analysis, she decides to name her fourth child PDOR after considering all four-letter lists (even with only consonants) and with the same value. How many four-letter lists with the same PDOR value that Ceelvyer Lannister excluded?

Answer: 8519 src_gs_2013_squadre__Q05

Area bianca con parallelogrammi sovrapposti

Lo stemma araldico scelto da Brienne Tarth è appeso ad una parete: è una croce verde su sfondo bianco. Lo stemma è di forma quadrata. I due bracci della croce sono parallelogrammi tutti contenuti nel quadrato. Di ciascun parallelogrammo, due lati giacciono sui due lati orizzontali del quadrato e due dei quattro vertici coincidono con due vertici diagonalmente opposti del quadrato. Ogni lato dello stemma quadrato è lungo $60\text{ cm}$. Ogni lato orizzontale dei due parallelogrammi è lungo $15\text{ cm}$. Quanto misura la superficie bianca dello stemma in ${\text{cm}}^2$?

Topic: Geometria piana Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1950 Fonte: apri PDF p.2

White area with overlapping parallelograms

The heraldic coat of arms chosen by Brienne Tarth is hung on a wall: it is a green cross on a white background. The coat of arms is square. The two arms of the cross are parallelograms all contained in the square. Of each parallelogram, two sides lie on the two horizontal sides of the square and two of the four vertices coincide with two vertices diagonally opposite the square. Each side of the square coat of arms shall be $60\text{ cm}$ long. Each horizontal side of the two parallelograms is $15\text{ cm}$ long. What is the white area of the coat of arms in ${\text{cm}}^2$?

Answer: 1950 src_gs_2013_squadre__Q06

Somma elementi della tabella triangolare

Per passare il tempo presso la Barriera, i Guardiani della Notte fanno calcoli lunghissimi per mantenere il cervello riscaldato. Ad esempio, Sam scrive numeri in sequenza e somma la sequenza ottenuta. Oggi scrive righe di ventuno numeri: nella prima riga scrive due 1, poi 2, 3, ecc. fino a 20; nella seconda riga scrive 1, poi due 2, quindi 3, 4, ecc. fino a 20; nella terza riga, scrive 1, 2, due 3, poi 4, 5, ecc. fino a 20; e continua così fino a scrivere una riga con 1, 2, ecc. fino a 19, finendo con due 20. Infine somma tutti i numeri scritti. Che risultato ottiene?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Somme telescopiche Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4410 Fonte: apri PDF p.2

Summary of elements of the triangular table

To spend time at the Barrier, the Night’s Watch do very long calculations to keep their brains warm. For example, Sam writes numbers in sequence and sums the sequence. Today he writes lines of 21 numbers: in the first line he writes two 1, then 2, 3, etc. In the second line, he writes 1, then two 2, then 3, 4, etc. up to 20; in the third line, it says 1, 2, two 3, then 4, 5, etc. until 20; and then continue until you write a line with 1, 2, etc. until 19, ending with two 20. Finally, add up all the numbers written. What is the result?

Answer: 4410 src_gs_2013_squadre__Q07

Lunghezza trave che divide trapezio in aree uguali

La sezione verticale del tunnel nella Barriera a Castello Nero ha forma di trapezio con basi di $6,26\text{ m}$ e $76,82\text{ m}$. In alcuni punti del tunnel, per assicurare stabilità, è montata una trave di sostegno, parallela alle basi, che divide la sezione verticale del tunnel in due trapezi equivalenti. Quanto è lunga una di queste travi di sostegno in cm?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 5450 Fonte: apri PDF p.2

Bear length dividing trapezoid into equal areas

The vertical section of the tunnel in the Black Castle Barrier has a trapezoidal shape with bases of $6,26\text{ m}$ and $76,82\text{ m}$. In some points of the tunnel, to ensure stability, a support beam is mounted, parallel to the bases, which divides the vertical section of the tunnel into two equivalent trapezoids. How long is one of these support beams in cm?

Answer: 5450 src_gs_2013_squadre__Q08

Numero di zeri nella successione periodica a_i

Il $997^{\circ }$ comandante dei Guardiani della Notte utilizza funzioni per impostare calcoli che gli riscaldino il cervello. Per $x$ e $y$ numeri interi positivi, scrive $\mathrm{qu}(x,y)$ per il quoziente della divisione di $x$ con $y$, cioè quel numero $q$ tale che $x-(q\times y)$ sia un numero compreso tra $0$ e $y-1$, estremi inclusi (ad esempio, $\mathrm{qu}(13,4)=3$). Oggi calcola numeri secondo la seguente formula: $a_i=(-1{)}^i+(-1{)}^{\mathrm{qu}(i,2)}+(-1{)}^{\mathrm{qu}(i,3)}+(-1{)}^{\mathrm{qu}(i,4)}.$ Facendo variare $i$ da $1$ a $2013$, estremi inclusi, quante volte il comandante trova che il valore di $a_i$ è $0$?

Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0672 Fonte: apri PDF p.2

*Number of zeros in the periodic succession to *

The commander of the Night’s Watch uses functions to set calculations that warm his brain. For $x$ and $y$ positive integers, write $\mathrm{qu}(x,y)$ for the quotient of division of $x$ with $y$, i.e. that number $q$ such that $x-(q\times y)$ is a number between $0$ and $y-1$, extremes included (e.g., $\mathrm{qu}(13,4)=3$). Today he calculates numbers according to the following formula: $a_i=(-1{)}^i+(-1{)}^{\mathrm{qu}(i,2)}+(-1{)}^{\mathrm{qu}(i,3)}+(-1{)}^{\mathrm{qu}(i,4)}.$ By varying $i$ from $1$ to $2013$, extremes included, how many times does the commander find that the value of $a_i$ is $0$?

Answer: 0672 src_gs_2013_squadre__Q09

Equazione funzionale lineare, valore f(49/2)

Un’altra delle funzioni che il comandante dei Guardiani della Notte utilizza è una funzione $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ razionale di variabile razionale tale che $f(x+y)=f(x)+f(y)$ per ogni $x$ e $y$ numeri razionali. Il comandante sa che $f\left(\frac{7}{8}\right)=\frac{8}{7}$ e calcola $f\left(\frac{49}{2}\right)$. Che risultato trova?

Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: 0032 Fonte: apri PDF p.3

*Linear functional equation, value f(49/2) *

Another of the functions that the Night’s Watch commander uses is a rational $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ rational variable function such that $f(x+y)=f(x)+f(y)$ for each $x$ and $y$ rational numbers. The commander knows that $f\left(\frac{7}{8}\right)=\frac{8}{7}$ and calculates $f\left(\frac{49}{2}\right)$. What is the result?

Answer: 0032 src_gs_2013_squadre__Q10

Scatole vere/false con vincoli aritmetici

In una cava su un’isola del Mare Stretto, ci sono 5 scatole parlanti di materiali diversi. Ogni scatola contiene un numero naturale e dice solo il vero o solo il falso.

La scatola 1 è in ferro e dà due informazioni:

• «il numero dentro di me è il quoziente del numero nella scatola 5 e del numero nella scatola 2»
• «un terzo del numero dentro la scatola 3 è il prodotto di tutti i numeri primi minori di 15 eccetto uno (di questi numeri primi)»

La scatola 2 è in legno di pino e dà due informazioni:

• «almeno una scatola di metallo dice il falso»
• «il numero nella scatola 1 è minore di 200»

La scatola 3 è in rame e dà due informazioni:

• «il numero dentro di me è la differenza tra il numero nella scatola 5 e il numero nella scatola 2»
• «il numero dentro la scatola 1 è primo»

La scatola 4 è in legno di noce e dà due informazioni:

• «la scatola 5 dice il falso»
• «il numero nella scatola 3 è divisibile per 11»

La scatola 5 è in piombo e dice:

• «il numero nella scatola 1 è minore di 220»
• «tutte le scatole di legno dicono il falso»

Che numero c’è nella scatola 5?

Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8229 Fonte: apri PDF p.3

True/false boxes with arithmetic constraints

In a quarry on a narrow sea island, there are 5 boxes talking about different materials. Each box contains a natural number and says only the true or only the false.

Box 1 is made of iron and gives two information: - the number inside me is the quotient of the number in box 5 and the number in box 2 - a third of the number inside box 3 is the product of all prime numbers less 15 except one (of these prime numbers)

Box 2 is made of pine wood and gives two information: - at least one metal box says it’s fake - the number in box 1 is less than 200

Box 3 is copper and gives two information: - the number inside me is the difference between the number in box 5 and the number in box 2 - the number inside box 1 is prime

Box 4 is made of walnut wood and gives two information: - box 5 says false - number in box 3 is divisible by 11

Box 5 is in lead and says: - The number in box 1 is less than 220 - All wooden boxes say the fake

What’s the number in box five?

Answer: 8229 src_gs_2013_squadre__Q11

Triangoli pitagorici, giorno con area data

A Roccia del Drago, dove i giorni dei mesi sono numerati da 3 a 33, il re Beapys Baratheon ha un triangolo magico che cambia forma e dimensione a seconda del giorno del mese, ma è sempre rettangolo e le lunghezze dei suoi lati sono numeri interi. Se il numero del giorno non è primo, il triangolo resta invariato, mentre se il numero del giorno è primo il cateto minore ha la lunghezza pari al numero del giorno.

In quale data, ogni mese, la sua area diventa maggiore di 1500 per la prima volta?

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0019 Fonte: apri PDF p.3

Pythagorean triangles, day with given area

At Dragon’s Rock, where the days of the months are numbered from 3 to 33, King Beapys Baratheon has a magical triangle that changes shape and size depending on the day of the month, but it is always rectangular and the lengths of its sides are whole numbers. If the number of days is not prime, the triangle remains unchanged, whereas if the number of days is prime, the minor triangle has a length equal to the number of days.

On what date, every month, does its area become greater than 1,500 for the first time?

Answer: 0019 src_gs_2013_squadre__Q12

Numero pari n da equazione su numeri triangolari

Nelle sue ricerche, Lewyj Stark non trova il libro delle discendenze delle Case di Westeros. In modo molto ambiguo, Lord Varys gli dice quel che lui sa del libro: tutte le pagine tra le due copertine sono numerate in successione a partire dal numero 1, nel libro è stato strappato esattamente un foglio, la somma dei numeri sulle pagine rimanenti è 65000. Lewyj Stark dice che queste informazioni non servono. Lord Varys gli risponde che si sbaglia, ad esempio si può calcolare quante pagine aveva in origine il libro. Quale numero determina Lord Varys?

[Ogni foglio ha due pagine, ciascuna numerata.]

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0362 Fonte: apri PDF p.3

Number equal to n by equation on triangular numbers

In his search, Lewyj Stark can’t find the book of the ancestry of the Houses of Westeros. Very ambiguously, Lord Varys tells him what he knows about the book: all the pages between the two covers are numbered in succession starting with number 1, the book has been torn out exactly one sheet, the sum of the numbers on the remaining pages is 65,000. Lewyj Stark says this information is useless. Lord Varys replies that he is wrong, for example, you can calculate how many pages the book originally had. What number does Lord Varys determine?

[Each sheet has two pages, each numbered.]

Answer: 0362 src_gs_2013_squadre__Q13

Probabilita segnaposto in 2 al sesto lancio

Alla Barriera si gioca un «gioco dell’oca semplificato» su un tabellone con 6 caselle, numerate rispettivamente $0,1,2,\dots ,5$. È un solitario che si gioca inserendo il segnaposto sulla casella di partenza, lanciando un comune dado a 6 facce e spostando il segnaposto di tanti passi quanti indicati dal dado. La casella 0 è quella di partenza, la casella 5 è quella d’arrivo. Nella casella 1 è scritto: «va nella casella 5» e nella casella 4 è scritto: «va nella casella 3»; il gioco termina quando si arriva alla casella 5. Se si supera la casella 5 si prosegue ripassando per la casella 0.

Oggi, contemplando un suo Guardiano che giocava, il comandante Jeor Mormont ha calcolato la probabilità che il gioco non sia ancora finito dopo il sesto turno e, a quel punto, il segnaposto del giocatore si trovi sulla casella 2. Se $p/q$ è la probabilità calcolata dal comandante, con $p$ e $q$ primi tra loro, si determini il numero $q-p$.

Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0713 Fonte: apri PDF p.3

Probability marked in 2 at the sixth launch

At the Barrier a simple goose game is played on a board with 6 boxes, numbered $0,1,2,\dots ,5$ respectively. He is a solitary player who plays by inserting the placeholder on the starting box, throwing a common 6-sided dice and moving the placeholder by as many steps as the dice indicate. Box 0 is the starting box, box 5 is the arrival box. In box 1 it says: va in box 5 and in box 4 it says: va in box 3; the game ends when you reach box 5. If box 5 is exceeded, continue to box 0.

Today, watching one of his Guardians play, Commander Jeor Mormont calculated the probability that the game is not over after the sixth round and, at that point, the player’s score is on box 2. If $p/q$ is the probability calculated by the commander, with $p$ and $q$ first among them, the number $q-p$ shall be determined.

Answer: 0713 src_gs_2013_squadre__Q14

Ultime tre cifre di r_2013 (ricorrenza mod 1000)

Come detto, per passare il tempo presso la Barriera, i Guardiani della Notte fanno calcoli lunghissimi. Jon, partendo dal numero 2013, sottrae 1 e moltiplica il risultato per 1, poi sottrae 2 al risultato del prodotto e moltiplica per 2 quel che ottiene, e continua fino a quando sottrae 2013 e moltiplica per 2013. Quali sono le ultime tre cifre del numero che ottiene?

Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0043 Fonte: apri PDF p.4

*Last three digits of r_2013 (recurrence mod 1000) *

As I said, to spend time at the Wall, the Night’s Watch do very long calculations. Jon, starting with number 2013, subtracts 1 and multiplies the result by 1, then subtracts 2 to the product result and multiplies by 2 what he gets, and continues until he subtracts 2013 and multiplies by 2013. What are the last three digits of the number you get?

Answer: 0043 src_gs_2013_squadre__Q15

Coppia di primi con somma 126 e prodotto

Vicino alla Barriera, fa freddo e non capita nulla. Per scaldarsi, i Guardiani della Notte complicano i calcoli. Ad esempio, Edd l’Addolorato scrive tutte le possibili coppie $(p,q)$ di numeri primi (dunque maggiori di 1) tali che:

1. $p+2q$ sia primo
2. $6p+q$ sia primo
3. $p+q-124$ sia primo.

Poi scrivono il prodotto $p\cdot q$ per ciascuna di queste coppie. Qual è il minimo prodotto che scrivono?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1469 Fonte: apri PDF p.4

Pair of firsts with sum of 126 and product

It’s cold near the fence and nothing’s happening. To warm up, the Night’s Watchers complicate the calculations. For example, Edd the Sorrowful writes all possible pairs $(p,q)$ of prime numbers (then greater than 1) such that: 1. $p+2q$ is prime 2. $6p+q$ is prime 3. $p+q-124$ shall be first.

Then they write the product $p\cdot q$ for each of these pairs. What’s the minimum product they write?

Answer: 1469 src_gs_2013_squadre__Q16

Differenza percorsi elicoidali su cilindri

Invece di affrontarsi in battaglia, i re Munry Baratheon e Unton Greyjoy decidono di stabilire chi sia il più coraggioso sfidandosi a girare sulla spiralevolante che simula il volo dei draghi. Salgono ciascuno su una navicella che è fissata ad un braccio meccanico rigido che collega la navicella al palo verticale centrale della spiralevolante e che, mantenendosi parallelo al terreno, si solleva mentre ruota intorno al palo centrale per bloccarsi istantaneamente quando raggiunge l’altezza di $45\text{ m}$. I bracci salgono verticalmente alla velocità costante di $0,5\text{ m/s}$ e ruotano intorno al palo alla velocità angolare costante di $20^{\circ }/\text{s}$.

Il braccio che sostiene la navicella di Munry Baratheon ruota su una circonferenza lunga $12\text{ m}$, il braccio che sostiene la navicella di Unton Greyjoy ruota su una circonferenza lunga $40\text{ m}$. Quando la giostra inizia a funzionare facendo contemporaneamente ruotare e salire le navicelle, ciascuna di queste descrive un’elica cilindrica. Quando le navicelle si bloccano, Unton Greyjoy vomita. Munry Baratheon ride dichiarandosi vincitore. Sceso a terra, Unton Greyjoy si giustifica con i suoi soldati spiegando che è colpa del percorso più lungo che faceva la sua navicella. Quanto vale la differenza tra i due percorsi in m?

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0130 Fonte: apri PDF p.4

Differential helical paths on cylinders

Instead of facing each other in battle, Kings Munry Baratheon and Unton Greyjoy decide to determine who is the bravest by challenging themselves to spin on the spiral simulating dragon flight. They are each mounted on a vessel which is fixed to a rigid mechanical arm which connects the vessel to the central vertical pole of the propeller and which, while remaining parallel to the ground, lifts as it rotates around the central pole in order to lock itself instantly when it reaches the height of $45\text{ m}$. The arms shall rise vertically at a constant speed of $0,5\text{ m/s}$ and rotate around the pole at a constant angular speed of $20^{\circ }/\text{s}$.

The arm supporting Munry Baratheon’s ship rotates on a long circumference $12\text{ m}$, the arm supporting Unton Greyjoy’s ship rotates on a long circumference $40\text{ m}$. When the geyser begins to operate by simultaneously turning and climbing the vessels, each describes a cylindrical propeller. When the ships get stuck, Unton Greyjoy vomits. Munry Baratheon laughed and declared himself the winner. Landed, Unton Greyjoy justifies himself with his soldiers by explaining that it was his ship’s longer journey. What’s the difference between the two paths in m?

Answer: 0130 src_gs_2013_squadre__Q17

Massimo rettangolo di dadi con vincoli facce

Bran Stark gioca con usuali dadi a sei facce, moltissimi. Li accosta uno all’altro sul tavolo (senza impilarli o lasciare spazi), in modo da formare rettangoli di varie dimensioni. Si attiene ad una regola precisa: i numeri sulle facce con cui due dadi sono accostati devono fare per somma 6. In ogni dado la somma delle facce opposte è 7. Quanti dadi, al massimo, si possono usare per formare uno dei suddetti rettangoli?

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.4

Maximum rectangle of dice with facial constraints

Bran Stark plays the usual six-sided dice, a lot. It adjoins them to each other on the table (without stacking them or leaving any space), so that they form rectangles of various sizes. It follows a precise rule: the numbers on the faces with which two dice are joined must be summed to 6. In each dice, the sum of the opposite faces is 7. How many dice, at most, can one use to form one of the above-mentioned rectangles?

Answer: 0016 src_gs_2013_squadre__Q18

Spostamento totale del drago in otto direzioni

Il drago Drogon si allena a voli precisi. Partendo dal suo trespolo, fa un volo di $200\text{ m}$ verso Est, da dove è arrivato fa un secondo volo verso Nord ancora di $200\text{ m}$. Dal punto dove è arrivato, si esercita in balzi precisi: un balzo verso Est di $1\text{ m}$, si volge di $45^{\circ }$ in senso antiorario—cioè punta a Nord-Est—e fa un balzo di $2\text{ m}$, si gira di $45^{\circ }$ in senso antiorario—cioè punta a Nord—e fa un balzo di $3\text{ m}$, si gira di $45^{\circ }$ in senso antiorario—cioè punta a Nord-Ovest—e fa un balzo di $4\text{ m}$, si gira di $45^{\circ }$ in senso antiorario—cioè punta ad Ovest—e fa un balzo di $5\text{ m}$ e così via, finché l’ultimo balzo che fa è di $400\text{ m}$. A che distanza dal punto di partenza si trova alla fine dei suoi balzi?

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Sfruttamento della simmetria Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0282 Fonte: apri PDF p.5

Total eight-way movement of the dragon

The Drogon dragon trains for precise flights. Starting from its trespol, it makes a flight of $200\text{ m}$ to the east, from where it arrived it makes a second flight to the north again of $200\text{ m}$. From the point where it has arrived, it exercises in precise jumps: one jump east of $1\text{ m}$, one turn east of $45^{\circ }$ in anti-clockwise direction, one turn north-east of $2\text{ m}$, one turn east of $45^{\circ }$ in anti-clockwise direction, one turn north of $3\text{ m}$, one turn east of $45^{\circ }$ in anti-clockwise direction, one turn west of $4\text{ m}$, one turn west of $45^{\circ }$ in anti-clockwise direction, one jump west of $5\text{ m}$, and so on, until the last jump it makes is $400\text{ m}$. How far from the starting point is he at the end of his jumps?

Answer: 0282 src_gs_2013_squadre__Q19

Minimo numero di uffici nel grattacielo

Il palazzo di Lord Petyr Baelish ha 70 piani. Ogni piano ha 7 finestre rivolte verso sud. Ad ognuna di queste corrisponde un ufficio, un appartamento o una sala d’attesa. La distribuzione segue le seguenti regole:

1. A ogni piano non possono esserci più sale d’attesa che uffici
2. Una stanza sopra un appartamento è una sala d’attesa
3. Se una stanza direttamente sopra ad un ufficio è adiacente a due altre stanze, allora queste ultime due stanze devono essere dello stesso tipo.

Qual è il numero minimo di uffici presenti nel palazzo?

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0174 Fonte: apri PDF p.5

Minimum number of offices in the skyscraper

Lord Petyr Baelish’s palace has 70 floors. Each floor has seven windows facing south. Each of these corresponds to an office, an apartment or a waiting room. The distribution follows the following rules: 1. There can’t be more waiting rooms on every floor than offices 2. A room above an apartment is a waiting room 3. If a room directly above an office is adjacent to two other rooms, then these last two rooms must be of the same type.

What is the minimum number of offices in the building?

Answer: 0174 src_gs_2013_squadre__Q20

Conteggio rettangoli con perimetro 20 sulla griglia

La grata alla finestra della cella in cui è rinchiuso Lewyj Stark è formata da ventidue sbarre, undici verticali, undici orizzontali, che formano 100 quadrati tutti uguali di lato $5\text{ cm}$. Lewyj Stark passa il suo tempo formando con un filo sottile rettangoli di perimetro $1\text{ m}$ con i vertici su incroci tra sbarre (e con tutti e quattro i lati di lunghezza positiva). Quanti rettangoli può formare?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0296 Fonte: apri PDF p.6

Rectangular count with perimeter 20 on the grid

The grate at the window of the cell in which Lewyj Stark is locked is made up of twenty-two bars, eleven vertical, eleven horizontal, which form 100 squares all equal on the side $5\text{ cm}$. Lewyj Stark spends his time forming with a thin wire perimeter rectangles $1\text{ m}$ with vertices at intersections between bars (and with all four sides of positive length). How many rectangles can it form?

Answer: 0296 src_gs_2013_squadre__Q21

Distanza nave dalla riva con similitudini

Sul campo di battaglia Tyrion Lannister si aspetta che i soldati di Beapys Baratheon attaccheranno risalendo il fiume Acquanera. Ha piazzato tre fari, due sulle rive opposte a est e a ovest. Tyrion è sulla torre a $8\text{ km}$ dal faro sulla riva est e a $5\text{ km}$ dall’altro. Sa anche che la distanza tra i due fari è $8,9\text{ km}$. Il terzo faro è piazzato su una boa nel fiume esattamente a metà della linea che congiunge i due fari sulle rive. La nave vedetta di Beapys Baratheon compare sulla linea dei tre fari e Tyrion si accorge che il suo angolo di visuale tra il faro sulla riva est e la nave vedetta coincide con il suo angolo di visuale tra la boa e il faro sulla riva ovest. Calcola perciò immediatamente il rapporto tra la distanza della nave vedetta dal faro sulla riva est e quella della nave vedetta dal faro sulla riva ovest e, per preparare la difesa, comunica a Bronn quanto è lontana la nave vedetta dal faro sulla riva ovest. Quanti metri è lontana la nave vedetta dal faro sulla riva ovest?

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2500 Fonte: apri PDF p.6

Ship distance from shore with similarities

On the battlefield, Tyrion Lannister expects Beapys Baratheon’s soldiers to attack from the River Acquanera. He placed three lighthouses, two on opposite shores east and west. Tyrion’s on the tower a $8\text{ km}$ from the lighthouse on the east bank and a $5\text{ km}$ from the other. It also knows that the distance between the two headlights is $8,9\text{ km}$. The third lighthouse is placed on a buoy in the river exactly halfway along the line connecting the two lighthouses on the banks. The starship of Beapys Baratheon appears on the line of the three lighthouses and Tyrion notices that his angle of view between the lighthouse on the east shore and the starship coincides with his angle of view between the boa and the lighthouse on the west shore. He therefore immediately calculates the ratio between the distance of the ship viewed from the beacon on the east bank and that of the ship viewed from the beacon on the west bank and, to prepare the defence, informs Bronn how far the ship viewed from the beacon on the west bank is. How far is the ship seen from the lighthouse on the west bank?

Answer: 2500 src_gs_2013_squadre__Q22

Volume minimo solido da quadrati incatenati

Il nuovo emblema di Casa Lannister è una coppia di anelli identici, formati facendo ruotare un quadrato attorno ad una retta complanare con il quadrato e parallela alla sua diagonale. I due anelli sono incatenati l’uno all’altro (uno passa nel buco dell’altro). Un’antica leggenda narra che, se la diagonale del quadrato usato per ottenere gli anelli è lunga $30\text{ cm}$ e se il volume occupato dalla coppia di anelli è il minimo possibile, su ogni punto di contatto tra i due anelli si crea un diamante. Il volume in ${\text{cm}}^3$ del più piccolo solido che contiene tutte le piramidi con vertici sui diamanti (cioè il più piccolo poliedro convesso che contiene tutti i diamanti) indicherà il numero di anni del dominio della Casa Lannister su Westeros. Quanti anni durerà tale dominio?

Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 9000 Fonte: apri PDF p.7

Minimum solid volume from chained squares

The new emblem of House Lannister is a pair of identical rings, formed by rotating a square around a straight plane with the square and parallel to its diagonal. The two rings are chained to each other (one goes through the other’s hole). An ancient legend says that if the diagonal of the square used to obtain the rings is $30\text{ cm}$ long and if the volume occupied by the pair of rings is as low as possible, a diamond is created at each point of contact between the two rings. The volume in ${\text{cm}}^3$ of the smallest solid containing all the pyramids with diamond vertices (i.e. the smallest convex polyhedron containing all the diamonds) will indicate the number of years of Lannister House rule over Westeros. How long will that rule last?

Answer: 9000 src_gs_2013_squadre__Q23

Probabilita palla in S al minuto 14 (ricorrenza)

MORTE controlla i destini dei personaggi con CASO. Davanti a MORTE ci sono due solchi circolari, uno lungo il doppio dell’altro. I due solchi sono collegati in un punto dove c’è uno scambio che permette di passare da un solco all’altro. Una palla gira a velocità perfettamente costante nei solchi (impiega un minuto a completare il solco più corto). CASO, ogni volta che la palla sta per passare nel punto di collegamento, dice «sì» o «no»—a caso, appunto. Se dice «sì», MORTE apre il collegamento in modo che la palla passi nell’altro solco. Se dice «no», non apre il collegamento e mantiene la palla nello stesso solco. Ogni volta che la palla giunge a metà del solco più lungo muore un personaggio. All’inizio della gara a squadre, la palla passa sul punto di mezzo del secondo solco (e muore un personaggio). Ci si chiede qual è la probabilità che, allo scoccare del quattordicesimo minuto di gara, muoia un personaggio. Se tale probabilità è $p/q$, con $p$ e $q$ primi tra loro, si fornisca come risposta il numero $q-p$.

Topic: Probabilita e statistica, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5461 Fonte: apri PDF p.8

Probability of S ball in the 14th minute (recurrence)

DEATH controls the fate of the characters with CASE. In front of DEATH there are two circular paths, one twice the length of the other. The two tracks are connected at a point where there is an exchange that allows you to pass from one trail to the other. A ball spins at a perfectly constant speed in the grooves (it takes a minute to complete the shortest groove). CASE, whenever the ball is about to pass to the point of contact, it says “yes” or “no” CASE, exactly. If he says yes, DEATH opens the link so that the ball passes into the other field. If he says no, he doesn’t open the link and keeps the ball in the same fold. Every time the ball reaches halfway through the longest stretch, a character dies. At the start of the team competition, the ball passes to the middle of the second stroke (and a character dies). One wonders what the probability is that a character will die at the close of the 14th minute of competition. If this probability is $p/q$, with $p$ and $q$ first, the answer is $q-p$.

Answer: 5461 src_gs_2013_squadre__Q24