Gara a Squadre GSM (locale Genova) 2022

Frazione 2022!/(2022!-2021!-2020!) ridotta

la parte intera di un numero reale x è il più grande intero minore o uguale ad x; si scrive ⌞x⌟—ad esempio ⌞π⌟= 3, ⌞10⌟= 10, ⌞ √ 17⌟= 4;

Topic: Algebra, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 4041 Fonte: apri PDF p.2

This appropriation is intended to cover expenditure relating to the implementation of the programme.

the whole of a real number x is the largest integer less than or equal to x; it is written x for example π=3, 10=10, √ 17=4;

Answer: 4041 src_gsm_2022_squadre__Q01

Massima somma di sequenza dispari con regola maxcifra

il fattoriale del numero intero n è il prodotto di tutti i numeri interi da 1 fino a n; si scrive n!—ad esempio 1! = 1, 5! = 120, 6! = 720;

Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4365 Fonte: apri PDF p.2

Maximum odd sequence sum with maximal rule

the factor of the integer n is the product of all integers from 1 to n; we write n!for example 1! = 1, 5! = 120, 6! = 720;

Answer: 4365 src_gsm_2022_squadre__Q02

Rapporto aree di due semicirconferenze in un quadrato

un quadrato perfetto è un numero intero che è quadrato di un numero intero—ad esempio 16 è un quadrato perfetto, 22 non è un quadrato perfetto;

Topic: Geometria piana, Geometria piana Metodo: congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0225 Fonte: apri PDF p.2

Report areas of two semicirculars in a square

A perfect square is an integer that is squared of an integer. 16 is a perfect square, 22 is not a perfect square.

Answer: 0225 src_gsm_2022_squadre__Q03

Anni di nascita con eta uguale a somma cifre anno

una lista è palindroma se, letta da destra a sinistra, produce la stessa lista—ad esempio radar è palindroma; drone non è palindroma; 2020 non è palindromo; 2002 è palindromo. • Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000. • Se la quantità richiesta è un numero maggiore di 9999, oppure se non è univocamente determinata, si indichi 9999. • Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati: √ 2 = 1,4142 √ 3 = 1,7321 √ 5 = 2,2361 √ 7 = 2,6458 √ 11 = 3,3166 √ 13 = 3,6055 √ 17 = 4,1231 π = 3,1416. Scadenze importanti • 15 minuti dall’inizio: termine ultimo per la scelta del problema Jolly (dopo verrà assegnato d’ufficio il primo problema della lista). • 30 minuti dall’inizio: termine ultimo per fare domande sul testo. • 100 minuti dall’inizio: termine dell’incremento dei punteggi dei problemi. • 120 minuti dall’inizio: termine della gara. Fake News Today Un giornale VERO Gli scienziati sono tutti imbroglioni! Il loro strumento principale è la matematica che si dichiara da sola contraddittoria e nessuno ce lo dice! Nella realtà non c’è niente certo al 100%. Come fanno i teoremi a essere verità inconfutabili? Nelle loro stesse ammissioni un fatto con probabilità del 30% è possibile. E un fatto con probabilità del 99% è praticamente certo. Applicando la loro definizione aristotelica di essere razionale potrebbero dimostrare che un fatto che è praticamente certo di essere praticamente certo è praticamente certo. Ma non lo fanno! Gli stessi matematici spiegherebbero con i loro calcoli che un tale fatto ha probabilità 98%! Basta continuare a ripetere e ripetere stolidamente—proprio come i matematici non fanno—la frase precedente per scoprire che un fatto possibile è praticamernte certo. Questo giornale si basa su questa constatazione—che quelli come noi che non si lasciano bullizzare dalla scienza conoscevano prima che i matematici ce lo nascondessero! BUONA LETTURA!

11 marzo 2022 Gara a Squadre – Testi dei problemi(1) {1} SOLO CALCOLI di Carlo Càssola Qual è il valore di 2022! 2022! −2021! −2020!? Non c’è che fare i calcoli. (Si veda il punto 2 delle Istruzioni generali per la definizione di fattoriale di un numero intero positivo.) [Dare come risposta la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.] {2} CIFRE di Lorenzo Mazza Si considerino le sequenze finite (an)n=0,…,k di numeri naturali di tre cifre tali che an+1 = an + max C(an) dove C(an) è l’insieme delle cifre che compaiono in an—un esempio di tale sequenza è (143, 147, 154, 159). Tra tutte queste sequenze si considerino quelle composte soltanto da numeri dispari e, di ciascuna di queste, si consideri la somma dei termini che la compongono Pk n=0 an. Qual è la somma massima che si trova? Il problema è facile, ma ci si può chiedere a che cosa serve farlo. {3} DISCHI di Carlo Càssola In un quadrato ABCD sono state tracciate internamente la semicirconferenza di diametro AD e la semicirconferenza che ha diametro sul lato CD, ha uno degli estremi del diametro in C ed è tangente all’altra semicirconferenza. Qual è il rapporto, moltiplicato per 100, tra l’area della semicirconferenza più grande e l’altra? Per confrontarle basta ritagliare i due dischi. {4} L’ETÀ DI RUGGERO di Carlo Càssola L’anno prossimo, nel giorno del suo compleanno, l’età di Ruggero diventerà la somma delle cifre dell’anno in cui è nato. Quali sono gli anni in cui può essere nato Ruggero? È facile rendersi conto che il plurale è fuorviante. [Dare come risposta la somma degli anni ammissibili.] {5} CENTRO! di Cecilia Oliveri Siano date due circonferenze concentriche: una di raggio 20 cm; l’altra di raggio 40 cm. Siano r e s due rette tangenti alla circonferenza interna rispettivamente nei punti A e B e incidenti tra loro nel punto C appartenente alla circonferenza esterna. Siano detti E e F i punti di intersezione della circonferenza esterna rispettivamente con r e con s. Quanto vale l’area del quadrilatero ABFE? Si può misurare l’area con un righello senza fare calcoli. (1) In ogni problema, a fianco del titolo, compare il nome dell’autore.

{6} DI SEGUITO di Lorenzo Mazza Consideriamo un intero positivo a > 1. Scriviamo due volte di seguito il numero a ottenendo un numero b—cioè, supponendo che a sia un numero con ℓ cifre, in altre parole è 10ℓ−1 ≤a < 10ℓ, il numero b è a + a10ℓ. Qual è il più piccolo valore di a tale che b = ka2 per un opportuno k intero positivo? {7} VACCINI di Giuseppe Rosolini Si consideri che 1 italiano su 9 non è vaccinato per Covid-19 e le probabilità di contrarre il Covid-19 sono 0,1 per un vaccinato e 0,9 per un non-vaccinato. Qual è la probabilità che un italiano malato abbia contratto la malattia da non-vaccinato? È inspiegabile come solo cifre 1 e 9 siano coinvolte in questa osservazione; sarà per forza perché è Covid-19. [Dare come risposta le prime quattro cifre decimali della probabilità.] {8} GEMELLI di Silvia Sconza In un campeggio tutti gli iscritti sono gemelli tranne 40, tutti gli iscritti sono trigemini tranne 41, e tutti gli iscritti sono quadrigemini tranne 42. Quanti sono, come minimo, gli iscritti al campeggio? Basta contarli tutti insieme. {9} DIVISORI di Lorenzo Mazza Si considerino i numeri interi da 94 a 188, estremi inclusi. Per ciascuno di essi, si prenda il più grande divisore dispari. Qual è la somma di tutti questi divisori? {10} QUINTE POTENZE di Carlo Càssola Presi due numeri reali r e s tali che r + s = 1 e r4 + s4 = 7, che numero è r5 + 5rs + s5? Il problema è scritto su due righe e due colonne. {11} PIEDE di Silvia Sconza Un gioco tra due giocatori prevede l’uso di un dado regolare a sei facce e di una moneta non truccata. A turno ciascuno dei due giocatori deve lanciare il dado: se esce un numero pari, deve lanciare il dado di nuovo; se esce 1 oppure 5 passa il turno all’avversario; se esce 3 deve lanciare la moneta. Se l’esito del lancio della moneta è testa, vince, altrimenti passa il turno all’avversario. Ogni volta che un giocatore comincia il proprio turno deve iniziare sempre dal lancio del dado. Qual è la probabilità che il giocatore che gioca per secondo vinca? Questo gioco con i dadi non prenderà mai piede. [Dare come risposta la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.] {12} DIVISIONE di Silvia Sconza Qual è il minimo numero di interi positivi consecutivi il cui prodotto è sempre divisibile per 2022? La soluzione è immediata grazie ai criteri di divisibilità. Gara a squadre 2022 – Testi dei problemi – Pag. 2 di 4

{13} PIRAMIDI di Cecilia Oliveri All’interno di un cilindro di altezza h e raggio di base r, stanno due piramidi rette con base coincidente. I vertici delle due piramidi toccano ciascuna una diversa base del cilindro nel suo centro. La base delle due piramidi è un triangolo equilatero i cui vertici toccano tutti la superficie laterale del cilindro. Sapendo che il prodotto rh = 100 e che r e h assumono solo valori interi, quanto vale la differenza tra il volume massimo e il volume minimo occupato dalle due piramidi? {14} CORTO di Lorenzo Mazza In quanti modi il numero 2022 può essere scritto come somma di due o più interi positivi posti in ordine non decrescente ed in modo tale che la differenza fra l’ultimo e il primo termine sia al più 1?

Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato, Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4012 Fonte: apri PDF p.2

*Years of birth with age equal to sum of years *

a list is a palindrome if, read from right to left, it produces the same listfor example radar is a palindrome; drone is not a palindrome; 2020 is not a palindrome; 2002 is a palindrome. • If the quantity requested is a negative number, or if the problem is unsolved, indicate 0000. • If the quantity required is a number greater than 9999, or if it is not uniquely determined, indicate 9999. • The following approximate values may be useful in calculating: √ 2 = 1,4142 √ 3 = 1,7321 √ 5 = 2,2361 √ 7 = 2,6458 √ 11 = 3,3166 √ 13 = 3,6055 √ 17 = 4,1231 π = 3,1416. Important deadlines • 15 minutes from the start: final deadline for selecting the Jolly problem (after which the first problem in the list will be assigned). • 30 minutes from the beginning: deadline for questions on the text. • 100 minutes from start: end of problem scores increase. • 120 minutes from the start: end of the race. Fake News Today A TRUE newspaper Scientists are all cheaters! Their main tool is mathematics which claims to contradict itself and no one tells us! In reality, nothing is 100% certain. How do theorems become undeniable truths? In their own admissions a 30% probability is possible. And a 99% probability is pretty much certain. By applying their Aristotelian definition of being rational they could prove that a fact that is practically certain to be practically certain is practically certain. But they don’t! The same mathematicians would explain with their calculations that such a fact is 98% likely! Just keep repeating and repeating steadily just as mathematicians don’t do the previous sentence to discover that a possible fact is practically certain. This paper is based on this finding that those of us who don’t get bullied by science knew before mathematicians hid it from us! Good reading!

11 March 2022 Team competition Problem texts(1) {1} ONLY CARLO CASSOLO’S FOOTBALL What is the value of 2022! 2022! −2021! −2020!? It’s just a matter of doing the math. (See point 2 of the General Instructions for the definition of a factor of a positive integer.) [Give the sum of the numerator and denominator of the fraction reduced to the minimum terms as an answer.] {2} CIFRE of Lorenzo Mazza Consider the finite sequences (an) n=0,…,k of three-digit natural numbers such that an+1 = an + max C(an) where C(an) is the sum of the digits appearing in anan. An example of such a sequence is (143, 147, 154, 159). Of all these sequences, those composed only of odd numbers are considered and, of each of these, the sum of the terms that make up Pk n=0 an is considered. What’s the maximum amount you can find? The problem is simple, but you may wonder what the point is. {3} DISCHI by Carlo Càssola In an ABCD square the semicircular of diameter AD and the semicircular which has diameter on the CD side, has one of the ends of the diameter in C and is tangent to the other semicircular have been mapped internally. What is the ratio, multiplied by 100, between the larger semicirconference area and the other? To compare them, you just have to cut the two discs. Next year, on the day of his birthday, Roger’s age will become the sum of the figures for the year he was born. What are the years in which Roger may have been born? It’s easy to realize that the plural is misleading. [Give as an answer the sum of the eligible years.] {5} CENTRE! In the case of Cecilia Oliveri Siano, two concentric circles are given: one of a radius of 20 cm; the other of a radius of 40 cm. There shall be two lines tangent to the inner circle in points A and B respectively and two lines tangent to each other in point C belonging to the outer circle. The points of intersection of the outer circumference with r and with s shall be E and F respectively. How much is the area of the ABFE quadrilateral? The area can be measured with a ruler without any calculation. (1) In each issue, the author’s name appears next to the title.

{6} Following Lorenzo Mazza Let’s consider a positive integer at > 1. Let’s write the number a twice in a row and get a number b, assuming that a is a number with the digits, in other words it’s 10l−1 ≤a < 10l, the number b is a + a10l. What is the smallest value of a such that b = ka2 for a suitable positive integer k? {7} VACCINI di Giuseppe Rosolini It is considered that 1 Italian out of 9 is not vaccinated against Covid-19 and the chances of contracting Covid-19 are 0.1 for a vaccinated person and 0.9 for a non-vaccinated person. What is the probability that a sick Italian has contracted the disease from an unvaccinated person? It is inexplicable that only figures 1 and 9 are involved in this observation; it will necessarily be because it is Covid-19. [Give the first four decimal digits of probability as the answer.] {8} GEMELLS by Silvia Sconza In a campsite all the participants are twins except 40, all the participants are trigemins except 41, and all the participants are quadrigemins except 42. How many people are at least enrolled in camp? Just count them all together. Let’s consider the integers from 94 to 188, extremes included. For each of them, take the largest odd divisor. What’s the sum of all these divisors? I took two real numbers r and s such that r + s = 1 and r4 + s4 = 7, which number is r5 + 5rs + s5? The problem is written in two rows and two columns. Silvia Sconza’s Foot A game between two players involves the use of a regular six-sided dice and an unmade coin. In turn, each of the two players must throw the dice: if an even number comes out, he must throw the dice again; if 1 or 5 comes out, he passes the turn to the opponent; if 3 comes out, he must throw the coin. If the result of the coin toss is a head, he wins, otherwise the turn goes to the opponent. Every time a player starts his turn, he must always start with the dice. What is the probability that the player who plays second wins? This game of dice will never take hold. [Give as an answer the sum of the numerator and denominator of the fraction reduced to the minimum terms.] {12} DIVISION by Silvia Sconza What is the minimum number of consecutive positive integers whose product is always divisible by 2022? The solution is immediate thanks to the divisibility criteria. 2022 team competition Problem texts Pag. 2 di 4

Within a cylinder of height h and base radius r, there are two straight pyramids with a coinciding base. The peaks of the two pyramids each touch a different base of the cylinder in its center. The base of the two pyramids is an equilateral triangle whose vertices all touch the lateral surface of the cylinder. Knowing that the product rh = 100 and that r and h take only whole values, what is the difference between the maximum volume and the minimum volume occupied by the two pyramids? {14} CORTO di Lorenzo Mazza In how many ways can the number 2022 be written as the sum of two or more positive integers placed in non-decreasing order and in such a way that the difference between the last and the first term is plus 1?

Answer: 4012 src_gsm_2022_squadre__Q04

Area quadrilatero tra due circonferenze concentriche e tangenti

Siano date due circonferenze concentriche: una di raggio $20$ cm; l’altra di raggio $40$ cm. Siano $r$ e $s$ due rette tangenti alla circonferenza interna rispettivamente nei punti $A$ e $B$ e incidenti tra loro nel punto $C$ appartenente alla circonferenza esterna. Siano detti $E$ e $F$ i punti di intersezione della circonferenza esterna rispettivamente con $r$ e con $s$. Quanto vale l’area del quadrilatero $ABFE$?

Topic: Geometria piana, Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1558 Fonte: apri PDF p.2

Quadrilateral area between two concentric and tangent circumferences

Two concentric circles shall be given: one radius $20$ cm; the other radius $40$ cm. Two lines tangent to the inner circle at $r$ and $s$ respectively in the $A$ and $B$ points and incidents between them at the $C$ point belonging to the outer circle. The points of intersection of the outer circumference with $E$ and $F$ shall be said with $r$ and $s$ respectively. What is the area of the $ABFE$ quadrilateral?

Answer: 1558 src_gsm_2022_squadre__Q05

Minimo a con numero raddoppiato uguale a k volte a^2

Consideriamo un intero positivo $a>1$. Scriviamo due volte di seguito il numero $a$ ottenendo un numero $b$—cioè, supponendo che $a$ sia un numero con $\ell$ cifre, in altre parole è $10^{\ell -1}\le a<10^{\ell }$, il numero $b$ è $a+a\cdot 10^{\ell }$. Qual è il più piccolo valore di $a$ tale che $b=k{a}^2$ per un opportuno $k$ intero positivo?

Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0143 Fonte: apri PDF p.3

Minimum a with a number doubled to k times a^2

Consider a positive integer $a>1$. Let’s write the number $a$ twice in a row and get a number $b$that is, assuming that $a$ is a number with $\ell$ digits, in other words it’s $10^{\ell -1}\le a<10^{\ell }$, the number $b$ is $a+a\cdot 10^{\ell }$. What is the smallest value of $a$ such that $b=k{a}^2$ for a suitable $k$ positive integer?

Answer: 0143 src_gsm_2022_squadre__Q06

Probabilita condizionata di malato non-vaccinato

Si consideri che $1$ italiano su $9$ non è vaccinato per Covid-19 e le probabilità di contrarre il Covid-19 sono $0,1$ per un vaccinato e $0,9$ per un non-vaccinato. Qual è la probabilità che un italiano malato abbia contratto la malattia da non-vaccinato?

[Dare come risposta le prime quattro cifre decimali della probabilità.]

Topic: Probabilita e statistica, Probabilita e statistica Abilita: traduzione del testo, traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5294 Fonte: apri PDF p.3

Conditioned likelihood of unvaccinated patient

It is considered that $1$ Italian on $9$ is not vaccinated for Covid-19 and the chances of contracting Covid-19 are $0,1$ for a vaccinated person and $0,9$ for a non-vaccinated person. What is the probability that a sick Italian has contracted the disease from an unvaccinated person?

[Give me the first four decimal places of probability.]

Answer: 5294 src_gsm_2022_squadre__Q07

Minimo iscritti campeggio gemelli/trigemini/quadrigemini

In un campeggio tutti gli iscritti sono gemelli tranne $40$, tutti gli iscritti sono trigemini tranne $41$, e tutti gli iscritti sono quadrigemini tranne $42$. Quanti sono, come minimo, gli iscritti al campeggio?

Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0050 Fonte: apri PDF p.3

Minimum number of registered campers twins/trigemini/quadrigemini

In a campsite all members are twins except $40$, all members are trigemins except $41$, and all members are quadrigemins except $42$. How many people are at least enrolled in camp?

Answer: 0050 src_gsm_2022_squadre__Q08

Somma dei massimi divisori dispari da 94 a 188

9 . La probabilità che un italiano sia non-vaccinato e si ammali è p(u) = 1 9· y. Dunque la probabilità richiesta è p(u|a) = p(u) p(a) = 1 8 x y + 1 = 1 8 9 + 1 = 9 17≈ 0,5294. La risposta è5294. 2 Soluzione del problema 8. Indichiamo con s il numero degli iscritti che sono singoli, con

Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Abilita: generalizzazione, generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8883 Fonte: apri PDF p.3

Summary of the maximal odd divisors from 94 to 188

9 . The probability of an Italian being unvaccinated and getting sick is p(u) = 19· y. So the probability required is that p(u) = p(u) p(a) = 1 8 x y + 1 = 1 8 9 + 1 = 9 17≈ 0.5294. The answer is 5294. 2 Solution to Problem 8. The number of single subscribers is shown with s.

Answer: 8883 src_gsm_2022_squadre__Q09

Valore di r^5+5rs+s^5 dati r+s e r^4+s^4

Presi due numeri reali $r$ e $s$ tali che $r+s=1$ e $r^4+s^4=7$, che numero è $r^5+5rs+s^5$?

Topic: Algebra, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0006 Fonte: apri PDF p.3

Value of r^5+5rs+s^5 data r+s and r^4+s^4

If two real numbers $r$ and $s$ are taken, such as $r+s=1$ and $r^4+s^4=7$, which number is $r^5+5rs+s^5$?

Answer: 0006 src_gsm_2022_squadre__Q10

Probabilita che il secondo giocatore vinca col dado e moneta

Un gioco tra due giocatori prevede l’uso di un dado regolare a sei facce e di una moneta non truccata. A turno ciascuno dei due giocatori deve lanciare il dado: se esce un numero pari, deve lanciare il dado di nuovo; se esce $1$ oppure $5$ passa il turno all’avversario; se esce $3$ deve lanciare la moneta. Se l’esito del lancio della moneta è testa, vince, altrimenti passa il turno all’avversario.

Ogni volta che un giocatore comincia il proprio turno deve iniziare sempre dal lancio del dado.

Qual è la probabilità che il giocatore che gioca per secondo vinca?

[Dare come risposta la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.]

Topic: Probabilita e statistica, Probabilita e statistica Metodo: Ricorsione Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.3

Probability of the second player winning with dice and coin

A two-player game involves the use of a regular six-sided dice and an unmade coin. In turn, each of the two players must roll the dice: if an even number is drawn, he must roll the dice again; if $1$ is drawn or $5$ is drawn, he passes the dice to the opponent; if $3$ is drawn, he must roll the coin. If the result of the coin toss is head, he wins, otherwise he passes the turn to the opponent.

Every time a player starts his turn, he must always start with the dice.

What is the probability that the player who plays second wins?

[Give the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms as a response.]

Answer: 0016 src_gsm_2022_squadre__Q11

Minimo numero di consecutivi con prodotto divisibile per 2022

Qual è il minimo numero di interi positivi consecutivi il cui prodotto è sempre divisibile per $2022$?

Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0337 Fonte: apri PDF p.3

Minimum number of sequences with product divisible by 2022

What is the minimum number of consecutive positive integers whose product is always divisible by $2022$?

Answer: 0337 src_gsm_2022_squadre__Q12

Differenza volumi di due piramidi in un cilindro

All’interno di un cilindro di altezza $h$ e raggio di base $r$, stanno due piramidi rette con base coincidente. I vertici delle due piramidi toccano ciascuna una diversa base del cilindro nel suo centro. La base delle due piramidi è un triangolo equilatero i cui vertici toccano tutti la superficie laterale del cilindro. Sapendo che il prodotto $rh=100$ e che $r$ e $h$ assumono solo valori interi, quanto vale la differenza tra il volume massimo e il volume minimo occupato dalle due piramidi?

Topic: Geometria solida, Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4286 Fonte: apri PDF p.4

Different volumes of two pyramids in a cylinder

Within a cylinder of height $h$ and base radius $r$, there are two straight pyramids with a coinciding base. The peaks of the two pyramids each touch a different base of the cylinder in its center. The base of the two pyramids is an equilateral triangle whose vertices all touch the lateral surface of the cylinder. Knowing that the product $rh=100$ and that $r$ and $h$ take only whole values, what is the difference between the maximum volume and the minimum volume occupied by the two pyramids?

Answer: 4286 src_gsm_2022_squadre__Q13

Modi di scrivere 2022 come somma con differenza al piu 1

In quanti modi il numero $2022$ può essere scritto come somma di due o più interi positivi posti in ordine non decrescente ed in modo tale che la differenza fra l’ultimo e il primo termine sia al più $1$?

Topic: Combinatoria, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione, generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2021 Fonte: apri PDF p.4

Mode of writing 2022 as sum with difference at most 1

In how many ways can the number $2022$ be written as the sum of two or more positive integers in non-decreasing order and so that the difference between the last and the first term is at most $1$?

Answer: 2021 src_gsm_2022_squadre__Q14

Tragitto minimo di una formica su un parallelepipedo

Su un parallelepipedo a base quadrata di spigolo $5$ cm e alto $10$ cm, una formica parte da un vertice $A$ della base quadrata e si reca inizialmente sul vertice $B$ diametralmente opposto sull’altra base. Poi si reca al centro di quella base e da lì ritorna in $A$. Qual è la lunghezza minima in mm di tale tragitto?

Topic: Geometria solida, Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0304 Fonte: apri PDF p.4

Minimum trajectory of an ant on a parallel piped

On a parallel piped square base of $5$ cm and high $10$ cm, an ant starts from a vertex $A$ of the square base and initially reaches the vertex $B$ diametrically opposite the other base. Then it goes to the center of that base and from there it goes back to$A$. What is the minimum length in mm of such a route?

Answer: 0304 src_gsm_2022_squadre__Q15

Massimo di 1/(32a^5)+a^5 data 1/(4a^2)+a^2

Sapendo che $\frac{1}{4a^2}+a^2=8,$ quanto vale al massimo $\frac{1}{32a^5}+a^5$?

Topic: Algebra, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0179 Fonte: apri PDF p.4

Maximum of 1/(32a^5) +a^5 given 1/(4a^2) +a^2

Knowing that $\frac{1}{4a^2}+a^2=8,$ what is the maximum value of $\frac{1}{32a^5}+a^5$?

Answer: 0179 src_gsm_2022_squadre__Q16

Area del quadrato su AK in una costruzione nel quadrato

In un quadrato $ABCD$ di lato $2$ cm si tracci la circonferenza inscritta. Sia $M$ il punto medio del lato $BC$. Il segmento $MD$ interseca la circonferenza in un ulteriore punto $K$ oltre al punto $M$. Quanto vale l’area del quadrato costruito su $AK$ in ${\text{mm}}^2$?

Topic: Geometria piana, Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0340 Fonte: apri PDF p.4

Area of the square on AK in a building in the square

In a square $ABCD$ side $2$ cm, the inscribed circumference is plotted. Whether $M$ the middle point of the $BC$ side. The $MD$ segment intersects the circumference at an additional point $K$ beyond the point $M$. What is the area of the square constructed on $AK$ in ${\text{mm}}^2$?

Answer: 0340 src_gsm_2022_squadre__Q17

Massima differenza di soldi attorno a una tavola rotonda

Intorno a una tavola rotonda sono sedute $2022$ persone. Chiacchierando tra di loro, scoprono che il valore assoluto della differenza di soldi nei portafogli di due persone sedute vicine è sempre di $4\text{€}$ o di $5\text{€}$. Notano anche che nessuna coppia di persone possiede la stessa quantità di soldi. Qual è la massima differenza di soldi posseduti fra due persone?

Topic: Combinatoria, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5054 Fonte: apri PDF p.4

Most difference in money around a round table

Around a round table there are $2022$ people. By talking to each other, they discover that the absolute value of the difference in money in the wallets of two people sitting next to each other is always $4\text{€}$ or $5\text{€}$. They also note that no couple of people have the same amount of money. What’s the biggest difference between two people’s money?

Answer: 5054 src_gsm_2022_squadre__Q18

Numero di terne pitagoriche primitive con area quadrato perfetto

Una terna pitagorica è una tripla $(a,b,c)$ di numeri interi positivi che verifica le seguenti condizioni:

• $a^2+b^2=c^2$
• $a<b$

Una terna pitagorica si dice primitiva se non esistono una terna pitagorica $(d,e,f)$ e un numero intero $k>1$ tali che $a=kd$, $b=ke$, $c=kf$.

Si dimostra facilmente che esistono infinite terne pitagoriche primitive, ma si dimostra che sono in numero finito le terne pitagoriche primitive $(a,b,c)$ tali che l’area del triangolo determinato dalla terna è un quadrato perfetto.

Quante sono tali terne pitagoriche?

Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0000 Fonte: apri PDF p.5

Number of primitive Pythagorean terns with perfect square area

A Pythagorean Number is a triple $(a,b,c)$ of positive integers that has the following conditions: - $a^2+b^2=c^2$ - $a<b$

A Pythagorean number is called primitive if there is no Pythagorean number $(d,e,f)$ and an integer $k>1$ such as $a=kd$, $b=ke$, $c=kf$.

It is easily shown that there are infinite primitive Pythagorean terns, but it is shown that there are finite numbers of primitive Pythagorean terns $(a,b,c)$ such that the area of the triangle determined by the tern is a perfect square.

How many of those Pythagorean terns are there?

Answer: 0000 src_gsm_2022_squadre__Q19

Ampiezza angolo PND data DKH in un quadrato

Siano $M$ e $N$ rispettivamente i punti medi dei lati $AB$ e $CD$ di un quadrato $ABCD$. Si consideri il punto $P$, appartenente al prolungamento di $BD$ dalla parte di $D$; sia $H$ l’intersezione di $PM$ con $AD$ e $K$ l’intersezione di $HN$ con $BD$. L’ampiezza dell’angolo $\widehat{DKH}$ è $81°$. Qual è l’ampiezza dell’angolo $\widehat{PND}$?

Topic: Geometria piana, Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0036 Fonte: apri PDF p.5

Enhance the angle PND given DKH in a square

The mean points of the sides $AB$ and $CD$ of a square $ABCD$ shall be $M$ and $N$ respectively. Consider the $P$ point, which belongs to the $BD$ extension of the part of $D$; both $H$ the intersection of $PM$ with $AD$ and $K$ the intersection of $HN$ with $BD$. The width of the angle $\widehat{DKH}$ is $81°$. What is the width of the angle $\widehat{PND}$?

Answer: 0036 src_gsm_2022_squadre__Q20

Coppie (m,n) con numero di iniezioni quadrato perfetto

Dati insiemi $A$ e $B$, una iniezione da $A$ a $B$ è una funzione $f:A\to B$ tale che per ogni $a,a^{\prime }\in A$, se $f(a)=f(a^{\prime })$, allora $a=a^{\prime }$.

Ad esempio la funzione $d:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ che manda un numero nel suo doppio è una iniezione da $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}$; la funzione $q:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}$ che manda un numero nel suo quadrato non è una iniezione da $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{N}$.

Quante sono le coppie di numeri $(m,n)$ con $m$ e $n$ compresi tra $1$ e $30$ (estremi inclusi) tali che il numero di iniezioni dall’insieme $\{1,2,\dots ,n\}$ all’insieme $\{1,2,\dots ,m\}$ è un quadrato perfetto?

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni, Insiemi e funzioni, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0440 Fonte: apri PDF p.5

Pairs (m,n) with perfect square number of injections

Given sets $A$ and $B$, a injection from $A$ to $B$ is a $f:A\to B$ function such that for each $a,a^{\prime }\in A$, if $f(a)=f(a^{\prime })$, then $a=a^{\prime }$.

For example, the $d:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ function that sends a number in its double is an injection from $\mathbb{Z}$ to $\mathbb{Z}$; the $q:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}$ function that sends a number in its square is not an injection from $\mathbb{Z}$ to $\mathbb{N}$.

How many pairs of numbers $(m,n)$ with $m$ and $n$ between $1$ and $30$ (extremes included) are such that the number of injections from the set $\{1,2,\dots ,n\}$ to the set $\{1,2,\dots ,m\}$ is a perfect square?

Answer: 0440 src_gsm_2022_squadre__Q21