IMO 1959 (I International Olympiad)

Provare che (21n+4)/(14n+3) e irriducibile

Dimostrare che la frazione $\frac{21n+4}{14n+3}$ è irriducibile per ogni numero naturale $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Prove that (21n+4)/(14n+3) is irreducible

Demonstrate that the fraction $\frac{21n+4}{14n+3}$ is irreducible for any natural number $n$.

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Valori reali di x per una equazione con radici annidate

Per quali valori reali di $x$ è soddisfatta l’equazione $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A,$ dato (a) $A=\sqrt{2}$, (b) $A=1$, (c) $A=2$, dove si ammettono solo radici quadrate di numeri reali non negativi?

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Real values of x for an equation with nested roots

For which real values of $x$ is the equation $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A,$ given (a) $A=\sqrt{2}$, (b) $A=1$, (c) $A=2$ satisfied, where only square roots of non-negative real numbers are allowed?

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Da equazione in cos x formare equazione in cos 2x

Siano $a$, $b$, $c$ numeri reali. Si consideri l’equazione di secondo grado in $\cos x$: $a{\cos }^{2}x+b\cos x+c=0.$ Usando i numeri $a$, $b$, $c$, formare un’equazione di secondo grado in $\cos 2x$ che abbia le stesse radici dell’equazione originale. Confrontare le equazioni in $\cos x$ e in $\cos 2x$ per $a=4$, $b=2$, $c=-1$.

Topic: Trigonometria, Algebra Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.1

From equation in cos x to equation in cos 2x

They shall be $a$, $b$, $c$ real numbers. Consider the second degree equation in $\cos x$: $a{\cos }^{2}x+b\cos x+c=0.$ Using the numbers $a$, $b$, $c$, form a second degree equation in $\cos 2x$ that has the same roots as the original equation. Compare the equations in $\cos x$ and in $\cos 2x$ for $a=4$, $b=2$, $c=-1$.

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Costruire triangolo rettangolo con mediana media geometrica

Costruire un triangolo rettangolo con ipotenusa $c$ data, tale che la mediana relativa all’ipotenusa sia la media geometrica dei due cateti del triangolo.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

*Building a rectangular triangle with a geometric mean *

Build a rectangular triangle with a given $c$ hypotenuse, such that the median relative to the hypotenuse is the geometric mean of the two cathetes of the triangle.

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coincidenza di punti e luogo dei medi

Un punto arbitrario $M$ è scelto all’interno del segmento $AB$. I quadrati $AMCD$ e $MBEF$ sono costruiti dallo stesso lato di $AB$, aventi rispettivamente i segmenti $AM$ e $MB$ come basi. I cerchi circoscritti a questi quadrati, con centri $P$ e $Q$, si intersecano in $M$ e in un altro punto $N$. Si denoti con $N^{\prime }$ il punto di intersezione delle rette $AF$ e $BC$.

(a) Dimostrare che i punti $N$ e $N^{\prime }$ coincidono.

(b) Dimostrare che la retta $MN$ passa per un punto fisso $S$ indipendente dalla scelta di $M$.

(c) Trovare il luogo geometrico dei punti medi dei segmenti $PQ$ al variare di $M$ tra $A$ e $B$.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

coincidence of points and location of the media

An arbitrary point $M$ is selected within the $AB$ segment. The $AMCD$ and $MBEF$ squares are constructed from the same side of $AB$, having the $AM$ and $MB$ segments as bases respectively. The circles surrounded by these squares, with centres $P$ and $Q$, intersect at $M$ and at another point $N$. The intersection point of lines $AF$ and $BC$ shall be indicated by $N^{\prime }$.

(a) Demonstrate that the $N$ and $N^{\prime }$ points coincide.

(b) Demonstrate that the straight $MN$ passes through a fixed point $S$ independent of the choice of $M$.

(c) Find the geometric location of the mean points of the $PQ$ segments when $M$ varies between $A$ and $B$.

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Costruire trapezio isoscele circoscrittibile tra due piani

Due piani, $P$ e $Q$, si intersecano lungo la retta $p$. Il punto $A$ è dato nel piano $P$ e il punto $C$ nel piano $Q$; nessuno di questi punti giace sulla retta $p$. Costruire un trapezio isoscele $ABCD$ (con $AB$ parallelo a $CD$) in cui si possa inscrivere un cerchio, con i vertici $B$ e $D$ giacenti rispettivamente nei piani $P$ e $Q$.

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

Build a circular isosceles trapezoid between two planes

Two planes, $P$ and $Q$, intersect along the straight $p$. The point $A$ is given in the plane $P$ and the point $C$ in the plane $Q$; neither of these points lies on the straight $p$. Build an isosceles trapezoid $ABCD$ (with $AB$ parallel to $CD$) into which a circle can be inscribed, with the vertices $B$ and $D$ lying in the planes $P$ and $Q$ respectively.

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