IMO 1960 (II International Olympiad)

Numeri di tre cifre divisibili per 11 con N/11 somma quadrati cifre

Determinare tutti i numeri di tre cifre $N$ tali che $N$ sia divisibile per 11 e $N/11$ sia uguale alla somma dei quadrati delle cifre di $N$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Three-digit numbers divisible by 11 with N/11 sum to square digits

Determine all three digit numbers $N$ such that $N$ is divisible by 11 and $N/11$ is equal to the sum of the squares of the digits $N$.

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Valori di x per cui vale la disuguaglianza con radice

Per quali valori della variabile $x$ vale la seguente disuguaglianza: $\frac{4x^2}{{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)}^2}<2x+9?$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Values of x for which the inequality is rooted

For which values of the variable $x$ is the following inequality: $\frac{4x^2}{{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)}^2}<2x+9?$

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Provare tan(alfa)=4nh/((n^2-1)a) nel triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo $ABC$ dato, l’ipotenusa $BC$, di lunghezza $a$, è divisa in $n$ parti uguali ($n$ intero dispari). Sia $\alpha$ l’angolo acuto sotteso da $A$ al segmento che contiene il punto medio dell’ipotenusa. Sia $h$ la lunghezza dell’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo. Dimostrare che: $\tan \alpha =\frac{4nh}{(n^2-1)a}.$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Try tan(alpha)=4nh/(((n^2-1) a) in the rectangular triangle

In a given $ABC$ rectangle, the hypotenuse $BC$, of length $a$, is divided into $n$ equal parts ($n$ odd integer). Either $\alpha$ the acute angle below $A$ to the segment containing the midpoint of the hypotenuse. Either $h$ the length of the height relative to the hypotenuse of the triangle. Provide proof that: $\tan \alpha =\frac{4nh}{(n^2-1)a}.$

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Costruire triangolo dati ha, hb e mediana ma

Costruire il triangolo $ABC$, dati $h_a$, $h_b$ (le altezze da $A$ e da $B$) e $m_a$, la mediana dal vertice $A$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Building triangle data has, hb and median but

Construct the triangle $ABC$, data $h_a$, $h_b$ (heights from $A$ and from $B$) and $m_a$, the median from the vertex $A$.

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Luoghi di medi e di punti su segmenti del cubo

Considerare il cubo $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (con la faccia $ABCD$ direttamente sopra la faccia $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$).

(a) Trovare il luogo geometrico dei punti medi dei segmenti $XY$, dove $X$ è un punto qualsiasi di $AC$ e $Y$ è un punto qualsiasi di $B^{\prime }{D}^{\prime }$.

(b) Trovare il luogo geometrico dei punti $Z$ che giacciono sui segmenti $XY$ della parte (a) con $ZY=2XZ$.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Medium and point locations on cube segments

Consider the $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cube (with the $ABCD$ face directly above the $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ face).

(a) Find the geometric location of the mean points of the $XY$ segments, where $X$ is any point of $AC$ and $Y$ is any point of $B^{\prime }{D}^{\prime }$.

(b) Find the geometric location of the $Z$ points lying on the $XY$ segments of part (a) with $ZY=2XZ$.

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Cono con sfera inscritta e cilindro circoscritto, k minimo

Considerare un cono di rotazione con una sfera inscritta tangente alla base del cono. Un cilindro è circoscritto a questa sfera in modo che una delle sue basi giaccia nella base del cono. Sia $V_1$ il volume del cono e $V_2$ il volume del cilindro.

(a) Dimostrare che $V_1\ne V_2$.

(b) Trovare il più piccolo numero $k$ per cui $V_1=k{V}_2$; per questo caso, costruire l’angolo sotteso da un diametro della base del cono al vertice del cono.

Topic: Geometria solida Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Cone with inscribed sphere and circumscribed cylinder, minimum k

Consider a rotating cone with a tangent inscribed sphere at the base of the cone. A cylinder is surrounded by this sphere so that one of its bases lies at the base of the cone. Both $V_1$ the cone volume and $V_2$ the cylinder volume.

(a) Demonstrate that $V_1\ne V_2$.

(b) Find the smallest number $k$ for which $V_1=k{V}_2$; in this case, construct the angle below a diameter of the base of the cone to the top of the cone.

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Punti sull’asse di un trapezio isoscele con angoli retti

È dato un trapezio isoscele con basi $a$ e $c$ e altezza $h$.

(a) Sull’asse di simmetria di questo trapezio, trovare tutti i punti $P$ tali che entrambi i lati obliqui del trapezio sottendano angoli retti in $P$.

(b) Calcolare la distanza di $P$ da ciascuna delle basi.

(c) Determinare sotto quali condizioni tali punti $P$ esistano effettivamente (discutere i vari casi che possono presentarsi).

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

Points on the axis of an isosceles trapezoid at right angles

An isosceles trapezoid with bases $a$ and $c$ and height $h$ is given.

(a) On the axis of symmetry of this trapezoid, find all points $P$ such that both oblique sides of the trapezoid subtract right angles in $P$.

(b) Calculate the distance $P$ from each base.

(c) Determine under what conditions such$P$points actually exist (discuss the various cases that may arise).

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