IMO 1964 (VI International Olympiad)

Quando 2^n-1 e 2^n+1 sono divisibili per 7

(a) Trovare tutti gli interi positivi $n$ per cui $2^n-1$ è divisibile per $7$.

(b) Dimostrare che non esiste alcun intero positivo $n$ per cui $2^n+1$ è divisibile per $7$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

When 2^n-1 and 2^n+1 are divisible by 7

(a) Find all positive integers $n$ for which $2^n-1$ is divisible by $7$.

(b) Demonstrate that there is no positive integer $n$ for which $2^n+1$ is divisible by $7$.

src_imho_1964__Q01

Provare a^2(b+c-a)+…<=3abc per lati di triangolo

Siano $a,b,c$ i lati di un triangolo. Dimostrare che

$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Try a^2(b+c-a)+…<=3abc for the sides of a triangle

The sides of a triangle are $a,b,c$. To demonstrate that

$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc.$

src_imho_1964__Q02

Somma aree dei quattro cerchi inscritti in funzione di a,b,c

Una circonferenza è inscritta nel triangolo $ABC$ di lati $a,b,c$. Si costruiscono le tangenti alla circonferenza parallele ai lati del triangolo. Ciascuna di queste tangenti stacca un triangolo da $△ABC$. In ciascuno di questi triangoli si inscrive una circonferenza. Trovare la somma delle aree di tutte e quattro le circonferenze inscritte (in termini di $a,b,c$).

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

sum of areas of the four circles inscribed as a function of a,b,c

A circumference is inscribed in the $ABC$ triangle of sides $a,b,c$. The tangents are constructed parallel to the circumference on the sides of the triangle. Each of these tangents separates a triangle from $△ABC$. Each of these triangles has a circumference. Find the sum of the areas of all four inscribed circumferences (in terms of $a,b,c$).

src_imho_1964__Q03

tre con stesso argomento (Ramsey)

Diciassette persone si corrispondono per posta l’una con tutte le altre. Nelle loro lettere si discutono solo tre argomenti diversi. Ogni coppia di corrispondenti tratta un solo argomento. Dimostrare che esistono almeno tre persone che si scrivono tutte e tre sullo stesso argomento.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: parita Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

*three with the same argument (Ramsey) *

Seventeen people correspond by mail with each other. Their letters only discuss three different topics. Each pair of correspondents deals with only one subject. Demonstrate that there are at least three people who write all three on the same subject.

src_imho_1964__Q04

Massimo numero di intersezioni di perpendicolari da 5 punti

Supponiamo che cinque punti nel piano siano disposti in modo che nessuna delle rette che li congiungono siano parallele, perpendicolari o coincidenti tra loro. Da ciascun punto si tracciano le perpendicolari a tutte le rette che congiungono gli altri quattro punti. Determinare il numero massimo di intersezioni che queste perpendicolari possono avere.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.1

Maximum number of intersections of 5 points perpendicular to each other

Suppose that five points in the plane are arranged so that none of the lines connecting them are parallel, perpendicular or coincident with each other. From each point the perpendiculars to all the lines connecting the other four points are drawn. Determine the maximum number of intersections these perpendiculars can have.

src_imho_1964__Q05

Provare volume ABCD un terzo di A1B1C1D0 nel tetraedro

Nel tetraedro $ABCD$, il vertice $D$ è connesso con $D_0$, il baricentro di $△ABC$. Attraverso $A$, $B$ e $C$ si tracciano rette parallele a $D{D}_0$. Queste rette intersecano i piani $BCD$, $CAD$ e $ABD$ rispettivamente nei punti $A_1$, $B_1$ e $C_1$. Dimostrare che il volume di $ABCD$ è un terzo del volume di $A_1{B}_1{C}_1{D}_0$. Il risultato vale anche se il punto $D_0$ è scelto in qualsiasi punto interno a $△ABC$?

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

Testing ABCD volume one third of A1B1C1D0 in the tetrahedron

In the tetrahedron $ABCD$, the vertex $D$ is connected to $D_0$, the barycenter of $△ABC$. Through $A$, $B$ and $C$ lines parallel to $D{D}_0$ are drawn. These lines intersect $BCD$, $CAD$ and $ABD$ respectively in $A_1$, $B_1$ and $C_1$. Demonstrate that the volume of $ABCD$ is one third of the volume of $A_1{B}_1{C}_1{D}_0$. The result is also valid if the $D_0$ point is chosen at any point within $△ABC$?

src_imho_1964__Q06