IMO 1966 (Eighth International Olympiad)

how many solved only problem B

In una gara matematica vengono proposti tre problemi $A$ , $B$ , $C$ . Tra i partecipanti vi erano 25 studenti che hanno risolto almeno uno dei problemi. Di tutti i concorrenti che non hanno risolto il problema $A$ , il numero di quelli che hanno risolto $B$ era il doppio del numero di quelli che hanno risolto $C$ . Il numero di studenti che hanno risolto solo il problema $A$ era uno in più del numero di studenti che hanno risolto $A$ e almeno un altro problema. Di tutti gli studenti che hanno risolto esattamente un problema, la metà non ha risolto il problema $A$ . Quanti studenti hanno risolto solo il problema $B$ ?

Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

How many solved only problem B

In a mathematical competition three problems are proposed $A$ , $B$ , $C$ . Among the participants were 25 students who solved at least one of the problems. Of all the competitors who did not solve the $A$ problem, the number of those who solved $B$ was twice the number of those who solved $C$ . The number of students who solved only the $A$ problem was one more than the number of students who solved $A$ and at least one other problem. Of all the students who solved exactly one problem, half didn’t solve the $A$ problem. How many students have solved only the $B$ problem?

src_imo_1966_all__Q01

Prove triangle isosceles from given tangent relation

Siano $a, b, c$ le lunghezze dei lati di un triangolo e $α, β, γ$ rispettivamente gli angoli opposti a tali lati. Dimostrare che se $a + b = tan \frac{γ}{2} (a tan α + b tan β),$ allora il triangolo è isoscele.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Prove triangle isosceles from given tangent relation

The lengths of the sides of a triangle are $a, b, c$ and the angles opposite those sides are $α, β, γ$ respectively. Prove that if $a + b = tan \frac{γ}{2} (a tan α + b tan β),$ then the triangle is isosceles.

src_imo_1966_all__Q02

center minimizes sum of vertex distances

Dimostrare che la somma delle distanze dei vertici di un tetraedro regolare dal centro della sua sfera circoscritta è minore della somma delle distanze di tali vertici da qualsiasi altro punto dello spazio.

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.1

center minimizes sum of vertex distances

Demonstrate that the sum of the distances of the vertices of a regular tetrahedron from the center of its circumscribed sphere is less than the sum of the distances of those vertices from any other point in space.

src_imo_1966_all__Q03

Prove telescoping cosecant sum equals cot x minus cot 2^n x

Dimostrare che per ogni numero naturale $n$ e per ogni numero reale $x \neq = \frac{k π}{2 ^{t}}$ ( $k$ intero qualsiasi, $t = 0, 1, \dots, n$ ): $\frac{1}{s i n 2 x} + \frac{1}{s i n 4 x} + \dots + \frac{1}{s i n 2 ^{n} x} = cot x - cot 2^{n} x .$

Topic: Trigonometria Metodo: Induzione, Somme telescopiche Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

*Tests of telescoping such as sum equals cot x minus cot 2^n x *

Demonstrate that for each natural number $n$ and for each real number $x \neq = \frac{k π}{2 ^{t}}$ ( $k$ any integer, $t = 0, 1, \dots, n$ ): $\frac{1}{s i n 2 x} + \frac{1}{s i n 4 x} + \dots + \frac{1}{s i n 2 ^{n} x} = cot x - cot 2^{n} x .$

src_imo_1966_all__Q04

Solve linear system with absolute-value coefficients

Risolvere il sistema di equazioni $\sum_{j = 1 j \neq = i}^{4} ∣ a_{i} - a_{j} ∣ x_{j} = 1, i = 1, 2, 3, 4,$ ovvero: $⎩ ⎨ ⎧ ∣ a_{1} - a_{2} ∣ x_{2} + ∣ a_{1} - a_{3} ∣ x_{3} + ∣ a_{1} - a_{4} ∣ x_{4} = 1 ∣ a_{2} - a_{1} ∣ x_{1} + ∣ a_{2} - a_{3} ∣ x_{3} + ∣ a_{2} - a_{4} ∣ x_{4} = 1 ∣ a_{3} - a_{1} ∣ x_{1} + ∣ a_{3} - a_{2} ∣ x_{2} + ∣ a_{3} - a_{4} ∣ x_{4} = 1 ∣ a_{4} - a_{1} ∣ x_{1} + ∣ a_{4} - a_{2} ∣ x_{2} + ∣ a_{4} - a_{3} ∣ x_{3} = 1$ dove $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ sono quattro numeri reali distinti.

Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Solve linear system with absolute-value coefficients

Solve the system of equations $\sum_{j = 1 j \neq = i}^{4} ∣ a_{i} - a_{j} ∣ x_{j} = 1, i = 1, 2, 3, 4,$ or: $⎩ ⎨ ⎧ ∣ a_{1} - a_{2} ∣ x_{2} + ∣ a_{1} - a_{3} ∣ x_{3} + ∣ a_{1} - a_{4} ∣ x_{4} = 1 ∣ a_{2} - a_{1} ∣ x_{1} + ∣ a_{2} - a_{3} ∣ x_{3} + ∣ a_{2} - a_{4} ∣ x_{4} = 1 ∣ a_{3} - a_{1} ∣ x_{1} + ∣ a_{3} - a_{2} ∣ x_{2} + ∣ a_{3} - a_{4} ∣ x_{4} = 1 ∣ a_{4} - a_{1} ∣ x_{1} + ∣ a_{4} - a_{2} ∣ x_{2} + ∣ a_{4} - a_{3} ∣ x_{3} = 1$ where $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ are four distinct real numbers.

src_imo_1966_all__Q05

One sub-triangle has area at most quarter of ABC

Nell’interno dei lati $B C$ , $C A$ , $A B$ del triangolo $A B C$ vengono scelti, rispettivamente, punti qualsiasi $K$ , $L$ , $M$ . Dimostrare che l’area di almeno uno dei triangoli $A M L$ , $B K M$ , $C L K$ è minore o uguale a un quarto dell’area del triangolo $A B C$ .

Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

One sub-triangle has area at most quarter of ABC

Within the $B C$ , $C A$ , $A B$ sides of the $A B C$ triangle, any $K$ , $L$ , $M$ points are selected, respectively. Show that the area of at least one of the $A M L$ , $B K M$ , $C L K$ triangles is less than or equal to one quarter of the area of the $A B C$ triangle.

src_imo_1966_all__Q06

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