IMO 1967 (Ninth International Olympiad)

Four unit circles cover parallelogram iff a-condition holds

Sia $ABCD$ un parallelogramma con lati $AB=a$, $AD=1$ e con $\angle BAD=\alpha$. Se il triangolo $△ABD$ è acutangolo, dimostrare che i quattro cerchi di raggio 1 con centri $A$, $B$, $C$, $D$ ricoprono il parallelogramma se e solo se $a\le \cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha .$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Four unit circles cover parallelograms iff a-condition holds

Whether $ABCD$ a parallelogram with sides $AB=a$, $AD=1$ and $\angle BAD=\alpha$. If the $△ABD$ triangle is acutane, prove that the four radius 1 circles with centers $A$, $B$, $C$, $D$ cover the parallelogram if and only if $a\le \cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha .$

src_imo_1967_all__Q01

Tetrahedron with one edge over 1 has volume at most 1/8

Dimostrare che se uno e un solo spigolo di un tetraedro è maggiore di $1$, allora il suo volume è $\le \frac{1}{8}$.

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.1

Tetrahedron with one edge over 1 has volume at most 1/8

Demonstrate that if one and only one vertex of a tetrahedron is greater than $1$, then its volume is $\le \frac{1}{8}$.

src_imo_1967_all__Q02

Prove product of differences divisible by product of c_i

Siano $k$, $m$, $n$ numeri naturali tali che $m+k+1$ sia un numero primo maggiore di $n+1$. Sia $c_s=s(s+1)$. Dimostrare che il prodotto $(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots (c_{m+n}-c_k)$ è divisibile per il prodotto $c_1{c}_2\cdots c_n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Prove product of differences divisible by product of c_i

If $k$, $m$, $n$ are natural numbers such that $m+k+1$ is a prime number greater than $n+1$. It shall be $c_s=s(s+1)$. Demonstrate that the product $(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots (c_{m+n}-c_k)$ is divisible by the product $c_1{c}_2\cdots c_n$.

src_imo_1967_all__Q03

Max-area triangle similar to A1B1C1 circumscribing A0B0C0

Siano $A_0{B}_0{C}_0$ e $A_1{B}_1{C}_1$ due triangoli acutangoli qualsiasi. Si considerino tutti i triangoli $ABC$ simili a $△A_1{B}_1{C}_1$ (in modo che i vertici $A_1$, $B_1$, $C_1$ corrispondano rispettivamente ai vertici $A$, $B$, $C$) e circoscritti al triangolo $A_0{B}_0{C}_0$ (dove $A_0$ giace su $BC$, $B_0$ su $CA$ e $C_0$ su $AB$). Di tutti questi triangoli possibili, determinare quello di area massima e costruirlo.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Max-area triangle similar to A1B1C1 circumscribing A0B0C0

If $A_0{B}_0{C}_0$ and $A_1{B}_1{C}_1$ are any two acutangular triangles. All $ABC$ triangles are considered to be similar to $△A_1{B}_1{C}_1$ (so that the vertices $A_1$, $B_1$, $C_1$ correspond to the vertices $A$, $B$, $C$ respectively) and bounded by the triangle $A_0{B}_0{C}_0$ (where $A_0$ lies on $BC$, $B_0$ on $CA$ and $C_0$ on $AB$). Of all these possible triangles, determine the one with the maximum area and build it.

src_imo_1967_all__Q04

Find all n with c_n=0 given infinitely many zero power sums

Si consideri la successione $\{c_n\}$, dove $c_1=a_1+a_2+\cdots +a_8,$ $c_2=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_8^2,$ $⋮$ $c_n=a_1^n+a_2^n+\cdots +a_8^n,$ $⋮$ in cui $a_1,a_2,\dots ,a_8$ sono numeri reali non tutti uguali a zero. Supponiamo che un numero infinito di termini della successione $\{c_n\}$ sia uguale a zero. Trovare tutti i numeri naturali $n$ per cui $c_n=0$.

Topic: Algebra, successioni Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Find all n with c_n=0 given infinitely many zero power sums

Consider the sequence $\{c_n\}$, where $c_1=a_1+a_2+\cdots +a_8,$ $c_2=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_8^2,$ $⋮$ $c_n=a_1^n+a_2^n+\cdots +a_8^n,$ $⋮$ where $a_1,a_2,\dots ,a_8$ are real numbers not all equal to zero. Suppose an infinite number of terms of the sequence $\{c_n\}$ is zero. Find all natural numbers $n$ for which $c_n=0$.

src_imo_1967_all__Q05

find number of days and total medals

In una gara sportiva, sono state assegnate $m$ medaglie in $n$ giorni consecutivi ($n>1$). Il primo giorno è stata assegnata una medaglia e $\frac{1}{7}$ delle restanti $m-1$ medaglie. Il secondo giorno sono state assegnate due medaglie e $\frac{1}{7}$ delle medaglie ora rimanenti; e così via. L’$n$-esimo e ultimo giorno sono state assegnate le restanti $n$ medaglie. Quanti giorni è durata la gara e quante medaglie sono state assegnate in totale?

Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Find number of days and total medals

In a sporting event, $m$ medals were awarded in $n$ consecutive days ($n>1$). On the first day, a medal was awarded and the remaining$m-1$medals were awarded. On the second day, two medals were awarded and the remaining medals were$\frac{1}{7}$; and so on. The remaining $n$ medals were awarded on the eighth and final day. How many days did the race last and how many medals were awarded in total?

src_imo_1967_all__Q06