IMO 1970 (Twelfth International Olympiad)

Inradius/exradius product relation for split triangle

Sia $M$ un punto sul lato $AB$ del triangolo $△ABC$. Siano $r_1$, $r_2$ e $r$ i raggi dei cerchi inscritti nei triangoli $AMC$, $BMC$ e $ABC$ rispettivamente. Siano $q_1$, $q_2$ e $q$ i raggi dei cerchi exscritti degli stessi triangoli che giacciono nell’angolo $ACB$. Dimostrare che $\frac{r_1}{q_1}\cdot \frac{r_2}{q_2}=\frac{r}{q}.$

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Inradius/exradius product relation for split triangle

Whether $M$ a point on the $AB$ side of the $△ABC$ triangle. The radii of the circles inscribed in the triangles $AMC$, $BMC$ and $ABC$ are $r_1$, $r_2$ and $r$ respectively. $q_1$, $q_2$ and $q$ shall be the radii of the circles expressed by the same triangles lying at the angle $ACB$. Show that $\frac{r_1}{q_1}\cdot \frac{r_2}{q_2}=\frac{r}{q}.$

src_imo_1970_all__Q01

Base-a vs base-b digit ratio inequality iff a>b

Siano $a$, $b$ e $n$ interi maggiori di $1$, e siano $a$ e $b$ le basi di due sistemi di numerazione. $A_{n-1}$ e $A_n$ sono numeri nel sistema in base $a$, e $B_{n-1}$ e $B_n$ sono numeri nel sistema in base $b$; questi sono legati dalle relazioni: $A_n=x_n{x}_{n-1}\cdots x_0,A_{n-1}=x_{n-1}{x}_{n-2}\cdots x_0,$ $B_n=x_n{x}_{n-1}\cdots x_0,B_{n-1}=x_{n-1}{x}_{n-2}\cdots x_0,$ $x_n\ne 0,x_{n-1}\ne 0.$ Dimostrare che: $\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}\text{se e solo se}a>b.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Based-a vs. base-b digit ratio inequality iff a>b

$a$, $b$ and $n$ integers greater than $1$, and $a$ and $b$ are the bases of two numbering systems. $A_{n-1}$ and $A_n$ are numbers in the system based on $a$, and $B_{n-1}$ and $B_n$ are numbers in the system based on $b$; these are linked by the relationships: $A_n=x_n{x}_{n-1}\cdots x_0,A_{n-1}=x_{n-1}{x}_{n-2}\cdots x_0,$ $B_n=x_n{x}_{n-1}\cdots x_0,B_{n-1}=x_{n-1}{x}_{n-2}\cdots x_0,$ $x_n\ne 0,x_{n-1}\ne 0.$ Show that: $\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}\text{se e solo se}a>b.$

src_imo_1970_all__Q02

Prove bounds 0<=b_n<2 for telescoping sequence sum

I numeri reali $a_0,a_1,\dots ,a_n,\dots$ soddisfano la condizione: $1=a_0\le a_1\le a_2\le \cdots \le a_n\le \cdots .$ I numeri $b_1,b_2,\dots ,b_n,\dots$ sono definiti da $b_n={\sum }_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}.$ (a) Dimostrare che $0\le b_n<2$ per ogni $n$. (b) Dato $c$ con $0\le c<2$, dimostrare che esistono numeri $a_0,a_1,\dots$ con le proprietà suddette tali che $b_n>c$ per $n$ sufficientemente grande.

Topic: Disuguaglianze, successioni Metodo: Somme telescopiche Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Prove bounds 0<=b_n<2 for telescoping sequence sum

The real numbers $a_0,a_1,\dots ,a_n,\dots$ satisfy the condition: $1=a_0\le a_1\le a_2\le \cdots \le a_n\le \cdots .$ The numbers $b_1,b_2,\dots ,b_n,\dots$ are defined by $b_n={\sum }_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}.$ (a) Prove that $0\le b_n<2$ for each $n$. (b) Given $c$ with $0\le c<2$, prove that there are $a_0,a_1,\dots$ numbers with the above properties such as $b_n>c$ for $n$ sufficiently large.

src_imo_1970_all__Q03

Find n where six consecutive integers split into equal products

Trovare l’insieme di tutti gli interi positivi $n$ con la proprietà che l’insieme $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$ possa essere partizionato in due sottoinsiemi tali che il prodotto dei numeri in un sottoinsieme sia uguale al prodotto dei numeri nell’altro sottoinsieme.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Find n where six consecutive integers split into equal products

Find the set of all positive integers $n$ with the property that the set $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$ can be divided into two subsets such that the product of the numbers in one subset is equal to the product of the numbers in the other subset.

src_imo_1970_all__Q04

Tetrahedron perimeter-squared inequality with equality case

Nel tetraedro $ABCD$, l’angolo $BDC$ è un angolo retto. Si supponga che il piede $H$ della perpendicolare da $D$ al piano $ABC$ sia l’intersezione delle altezze del triangolo $△ABC$. Dimostrare che $(AB+BC+CA{)}^2\le 6(A{D}^2+B{D}^2+C{D}^2).$ Per quali tetraedri vale l’uguaglianza?

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.2

Tetrahedron perimeter-squared inequality with equality case

In the $ABCD$ tetrahedron, the angle $BDC$ is a right angle. Assume that the $H$ foot of the perpendicular from $D$ to the plane $ABC$ is the intersection of the heights of the $△ABC$ triangle. Demonstrate which tetrahedra are equal to $(AB+BC+CA{)}^2\le 6(A{D}^2+B{D}^2+C{D}^2).$

src_imo_1970_all__Q05

At most 70% of triangles from 100 points are acute

In un piano vi sono 100 punti, nessuno dei quali è collineare con altri due. Si considerino tutti i possibili triangoli aventi tali punti come vertici. Dimostrare che non più del $70\%$ di questi triangoli è acutangolo.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Doppio conteggio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.2

At most 70% of triangles from 100 points are acute

In one plane there are 100 points, none of which are collinear with two others. Consider all possible triangles having such points as vertices. Demonstrate that no more than $70\%$ of these triangles is acutaneous.

src_imo_1970_all__Q06