IMO 1973 (Fifteenth International Olympiad)

sum length >=1

Il punto $O$ giace sulla retta $g$; $\overrightarrow{O{P}_1},\overrightarrow{O{P}_2},\dots ,\overrightarrow{O{P}_n}$ sono vettori unitari tali che i punti $P_1,P_2,\dots ,P_n$ giacciono tutti in un piano contenente $g$ e da un solo lato di $g$. Dimostrare che se $n$ è dispari, allora $\left|\overrightarrow{O{P}_1}+\overrightarrow{O{P}_2}+\cdots +\overrightarrow{O{P}_n}\right|\ge 1.$ Qui $\left|\overrightarrow{OM}\right|$ denota la lunghezza del vettore $\overrightarrow{OM}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

sum length >=1

The $O$ point lies on the straight $g$; $\overrightarrow{O{P}_1},\overrightarrow{O{P}_2},\dots ,\overrightarrow{O{P}_n}$ are unit vectors such that the $P_1,P_2,\dots ,P_n$ points lie all in a plane containing $g$ and on one side of $g$. Show that if $n$ is odd, then $\left|\overrightarrow{O{P}_1}+\overrightarrow{O{P}_2}+\cdots +\overrightarrow{O{P}_n}\right|\ge 1.$ Here $\left|\overrightarrow{OM}\right|$ denotes the length of the $\overrightarrow{OM}$ vector.

src_imo_1973_all__Q01

Finite non-coplanar set with parallel-pairs property exists?

Determinare se esiste o meno un insieme finito $M$ di punti nello spazio, non giacenti nello stesso piano, tale che per qualsiasi coppia di punti $A$ e $B$ di $M$ si possano scegliere altri due punti $C$ e $D$ di $M$ in modo che le rette $AB$ e $CD$ siano parallele e non coincidenti.

Topic: Geometria solida Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Finite non-coplanar set with parallel-pairs property exists?

Determine whether or not there is a finite set $M$ of points in space, not lying on the same plane, such that for any pair of points $A$ and $B$ of $M$ two other points $C$ and $D$ of $M$ may be chosen so that the lines $AB$ and $CD$ are parallel and not coincident.

src_imo_1973_all__Q02

Minimize a^2+b^2 for quartic with a real root

Siano $a$ e $b$ numeri reali per cui l’equazione $x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1=0$ ha almeno una soluzione reale. Per tutte le coppie $(a,b)$ con questa proprietà, trovare il valore minimo di $a^2+b^2$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Minimize a^2+b^2 for quartic with a real root

They are $a$ and $b$ real numbers for which the equation $x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1=0$ has at least one real solution. For all pairs $(a,b)$ with this property, find the minimum value of $a^2+b^2$.

src_imo_1973_all__Q03

Shortest mine-sweeping path in equilateral triangle

Un soldato deve controllare la presenza di mine in una regione a forma di triangolo equilatero. Il raggio d’azione del suo rilevatore è uguale alla metà dell’altezza del triangolo. Il soldato parte da un vertice del triangolo. Quale percorso deve seguire per percorrere la distanza minima possibile e portare comunque a termine la sua missione?

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Shortest mine-sweeping path in an equilateral triangle

A soldier must check for mines in an equilateral triangle region. The radius of action of its detector is half the height of the triangle. The soldier starts at the top of the triangle. What path must he follow to cover the shortest possible distance and still complete his mission?

src_imo_1973_all__Q04

Group of affine maps has common fixed point

$G$ è un insieme di funzioni non costanti della variabile reale $x$ della forma $f(x)=ax+b,a,b\in \mathbb{R},$ e $G$ gode delle seguenti proprietà:

(a) Se $f$ e $g$ appartengono a $G$, allora $g\circ f$ appartiene a $G$; qui $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$.

(b) Se $f$ appartiene a $G$, allora la sua inversa $f^{-1}$ appartiene a $G$; qui l’inversa di $f(x)=ax+b$ è $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$.

(c) Per ogni $f\in G$ esiste un numero reale $x_f$ tale che $f(x_f)=x_f$.

Dimostrare che esiste un numero reale $k$ tale che $f(k)=k$ per ogni $f\in G$.

Topic: Insiemi e funzioni Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Group of affine maps has common fixed point

$G$ is a set of non-constant functions of the real variable $x$ of the form $f(x)=ax+b,a,b\in \mathbb{R},$ and $G$ has the following properties:

(a) If $f$ and $g$ belong to $G$, then $g\circ f$ belongs to $G$; here $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$.

(b) If $f$ belongs to $G$, then its inverse $f^{-1}$ belongs to $G$; here the inverse of $f(x)=ax+b$ is $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$.

(c) For each $f\in G$ there is a real number $x_f$ such as $f(x_f)=x_f$.

Demonstrate that there is a real number $k$ such that $f(k)=k$ for each $f\in G$.

src_imo_1973_all__Q05

Construct b_k bounding a_k with ratio and sum conditions

Siano $a_1,a_2,\dots ,a_n$ $n$ numeri positivi e sia $q$ un numero reale dato con $0<q<1$. Trovare $n$ numeri $b_1,b_2,\dots ,b_n$ tali che:

(a) $a_k<b_k$ per $k=1,2,\dots ,n$,

(b) $q<\frac{b_{k+1}}{b_k}<\frac{1}{q}$ per $k=1,2,\dots ,n-1$,

(c) $b_1+b_2+\cdots +b_n<\frac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots +a_n)$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2

Construct b_k bounding a_k with ratio and sum conditions

If $a_1,a_2,\dots ,a_n$ $n$ are positive numbers and $q$ is a real number with $0<q<1$. Find $n$ numbers $b_1,b_2,\dots ,b_n$ such that:

(a) $a_k<b_k$ for $k=1,2,\dots ,n$,

(b) $q<\frac{b_{k+1}}{b_k}<\frac{1}{q}$ for $k=1,2,\dots ,n-1$,

(c) $b_1+b_2+\cdots +b_n<\frac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots +a_n)$.

src_imo_1973_all__Q06