IMO 1974 (Sixteenth International Olympiad)

who received q on first round

Tre giocatori $A$, $B$ e $C$ giocano al seguente gioco: su ognuna di tre carte è scritto un intero. Questi tre numeri $p,q,r$ soddisfano $0<p<q<r$. Le tre carte vengono mescolate e una viene distribuita a ciascun giocatore. Ciascuno riceve poi il numero di gettoni indicato dalla carta che tiene in mano. Le carte vengono quindi mescolate di nuovo; i gettoni rimangono ai giocatori.

Questo processo (mescolare, distribuire, dare i gettoni) ha luogo per almeno due turni. Dopo l’ultimo turno, $A$ ha in totale 20 gettoni, $B$ ne ha 10 e $C$ ne ha 9. All’ultimo turno $B$ ha ricevuto $r$ gettoni. Chi ha ricevuto $q$ gettoni al primo turno?

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

who received q on first round

Three players $A$, $B$ and $C$ play the following game: on each of the three cards a whole is written. These three numbers $p,q,r$ correspond to $0<p<q<r$. The three cards are mixed and one is dealt to each player. Each player then receives the number of tokens indicated by the card in his hand. The cards are then mixed again; the chips remain with the players.

This process (mixing, distributing, giving tokens) takes place for at least two shifts. After the last round, $A$ has a total of 20 tokens, $B$ has 10 and $C$ has 9. In the last round $B$ received $r$ tokens. Who received $q$ tokens in the first round?

src_imo_1974_all__Q01

Point D with CD geometric mean iff sinA sinB<=sin^2(C/2)

Nel triangolo $ABC$, dimostrare che esiste un punto $D$ sul lato $AB$ tale che $CD$ è la media geometrica di $AD$ e $DB$ se e solo se $\sin A\sin B\le {\sin }^2\frac{C}{2}.$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

*Point D with CD geometric mean iff sinA sinB<=sin^2(C/2) *

In the $ABC$ triangle, prove that there is a point $D$ on the $AB$ side such that $CD$ is the geometric mean of $AD$ and $DB$ if and only if $\sin A\sin B\le {\sin }^2\frac{C}{2}.$

src_imo_1974_all__Q02

Prove binomial-sum with 2^3k not divisible by 5

Dimostrare che il numero ${\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2k+1}\right)2^{3k}$ non è divisibile per 5 per alcun intero $n\ge 0$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Prove binomial-sum with 2^3k not divisible by 5

Demonstrate that the number ${\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2k+1}\right)2^{3k}$ is not divisible by 5 for any integer $n\ge 0$.

src_imo_1974_all__Q03

Max rectangles partitioning chessboard with balanced colors

Si considerino le decomposizioni di una scacchiera $8\times 8$ in $p$ rettangoli non sovrapposti soggetti alle seguenti condizioni:

(i) Ogni rettangolo ha tanti quadrati bianchi quanti quadrati neri.

(ii) Se $a_i$ è il numero di quadrati bianchi nel $i$-esimo rettangolo, allora $a_1<a_2<\cdots <a_p$.

Trovare il valore massimo di $p$ per cui tale decomposizione è possibile. Per questo valore di $p$, determinare tutte le possibili successioni $a_1,a_2,\dots ,a_p$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Max rectangles partitioning chessboard with balanced colors

Decompositions of a $8\times 8$ chessboard into $p$ non-overlapping rectangles shall be considered subject to the following conditions:

(i) Each rectangle has as many white squares as black squares.

(ii) If $a_i$ is the number of white squares in the $i$-eighth rectangle, then $a_1<a_2<\cdots <a_p$.

Find the maximum value of $p$ for which such decomposition is possible. For this value of $p$, determine all possible successions $a_1,a_2,\dots ,a_p$.

src_imo_1974_all__Q04

Determine all values of cyclic four-fraction sum S

Determinare tutti i possibili valori di $S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$ dove $a,b,c,d$ sono numeri positivi arbitrari.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Determine the values of cyclic four-fraction sum S*

Determine all possible values of $S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$ where $a,b,c,d$ are arbitrary positive numbers.

src_imo_1974_all__Q05

Bound n(P)-deg(P)<=2 for P(k)^2=1 integer roots

Sia $P$ un polinomio non costante a coefficienti interi. Se $n(P)$ è il numero di interi distinti $k$ tali che $(P(k){)}^2=1$, dimostrare che $n(P)-\mathrm{deg}(P)\le 2,$ dove $\mathrm{deg}(P)$ denota il grado del polinomio $P$.

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2

Bound n(P) -deg(P) <=2 for P(k) ^2=1 integer roots

Whether $P$ is a non-constant polynomial with integer coefficients. If $n(P)$ is the number of distinct integers $k$ such as $(P(k){)}^2=1$, prove that $n(P)-\mathrm{deg}(P)\le 2,$ where $\mathrm{deg}(P)$ denotes the degree of the $P$ polynomial.

src_imo_1974_all__Q06