IMO 1975 (Seventeenth International Olympiad)

sorted matching minimizes sum of squared diffs

Siano $x_i,y_i$ ($i=1,2,\dots ,n$) numeri reali tali che $x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n\text{e}{y}_1\ge y_2\ge \cdots \ge y_n.$ Dimostrare che, se $z_1,z_2,\dots ,z_n$ è una qualsiasi permutazione di $y_1,y_2,\dots ,y_n$, allora ${\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2\le {\sum }_{i=1}^n(x_i-z_i{)}^2.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

sorted matching minimizes sum of squared diffs

Let $x_i,y_i$ ($i=1,2,\dots ,n$) be real numbers such that $x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n\text{e}{y}_1\ge y_2\ge \cdots \ge y_n.$ Show that if $z_1,z_2,\dots ,z_n$ is any permutation of $y_1,y_2,\dots ,y_n$, then ${\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2\le {\sum }_{i=1}^n(x_i-z_i{)}^2.$

src_imo_1975_all__Q01

Infinitely many a_m of form x a_p + y a_q

Sia $a_1,a_2,a_3,\dots$ una successione infinita crescente di interi positivi. Dimostrare che per ogni $p\ge 1$ esistono infiniti $a_m$ che possono essere scritti nella forma $a_m=x{a}_p+y{a}_q$ con $x,y$ interi positivi e $q>p$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Infinitely many a_m of form x a_p + y a_q

Whether $a_1,a_2,a_3,\dots$ is an infinite succession of increasing positive integers. Demonstrate that for each $p\ge 1$ there are infinitesimal $a_m$ which can be written in the form $a_m=x{a}_p+y{a}_q$ with $x,y$ positive integers and $q>p$.

src_imo_1975_all__Q02

prove angle QRP=90 and QR=RP

Sui lati di un triangolo arbitrario $ABC$ vengono costruiti esternamente i triangoli $ABR$, $BCP$, $CAQ$ con $\angle CBP=\angle CAQ=45^{\circ }$, $\angle BCP=\angle ACQ=30^{\circ }$, $\angle ABR=\angle BAR=15^{\circ }$. Dimostrare che $\angle QRP=90^{\circ }$ e $QR=RP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

proves angle QRP=90 and QR=RP

On the sides of an arbitrary $ABC$ triangle, the triangles $ABR$, $BCP$, $CAQ$ with $\angle CBP=\angle CAQ=45^{\circ }$, $\angle BCP=\angle ACQ=30^{\circ }$, $\angle ABR=\angle BAR=15^{\circ }$ are constructed externally. Show that $\angle QRP=90^{\circ }$ and $QR=RP$.

src_imo_1975_all__Q03

Iterated digit sum of 4444^4444

Quando $4444^{4444}$ è scritto in notazione decimale, la somma delle sue cifre è $A$. Sia $B$ la somma delle cifre di $A$. Trovare la somma delle cifre di $B$. ($A$ e $B$ sono scritti in notazione decimale.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Iterated digit sum of 4444^4444

When $4444^{4444}$ is written in decimal notation, the sum of its digits is $A$. Whether $B$ is the sum of the digits of $A$. Find the sum of the digits $B$. ($A$ and $B$ are written in decimal notation.)

src_imo_1975_all__Q04

1975 points on unit circle with rational pairwise distances

Determinare, con dimostrazione, se è possibile o meno trovare 1975 punti sulla circonferenza di un cerchio di raggio unitario tali che la distanza tra due qualsiasi di essi sia un numero razionale.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Tecniche trigonometriche Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF p.1

1975 points on unit circle with rational pairwise distances

Determine, by demonstration, whether or not it is possible to find 1975 points on the circumference of a circle of unit radius such that the distance between any two of them is a rational number.

src_imo_1975_all__Q05

Find homogeneous two-variable polynomials with cyclic condition

Trovare tutti i polinomi $P$, in due variabili, con le seguenti proprietà:

(i) per un intero positivo $n$ e per tutti i reali $t,x,y$ $P(tx,ty)=t^{n}P(x,y)$ (cioè $P$ è omogeneo di grado $n$),

(ii) per tutti i reali $a,b,c$ $P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0,$

(iii) $P(1,0)=1$.

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Find homogeneous two-variable polynomials with cyclic condition

Find all $P$ polynomials, in two variables, with the following properties:

(i) for a positive integer $n$ and for all real $t,x,y$ $P(tx,ty)=t^{n}P(x,y)$ (i.e. $P$ is homogeneous in degree $n$),

(ii) for all real $a,b,c$ $P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0,$

(iii)$P(1,0)=1$.

src_imo_1975_all__Q06