IMO 1977 (Nineteenth International Olympiad)

Midpoints from equilateral triangles form regular dodecagon

I triangoli equilateri $ABK$, $BCL$, $CDM$, $DAN$ sono costruiti all’interno del quadrato $ABCD$. Dimostrare che i punti medi dei quattro segmenti $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ e i punti medi degli otto segmenti $AK$, $BK$, $BL$, $CL$, $CM$, $DM$, $DN$, $AN$ sono i dodici vertici di un dodecagono regolare.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Midpoints from equilateral triangles form regular dodecagon

The equilateral triangles $ABK$, $BCL$, $CDM$, $DAN$ are constructed within the square $ABCD$. Demonstrate that the mean points of the four segments $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ and the mean points of the eight segments $AK$, $BK$, $BL$, $CL$, $CM$, $DM$, $DN$, $AN$ are the twelve vertices of a regular dodecahedron.

src_imo_1977_all__Q01

any 7 sum negative, any 11 sum positive

In una sequenza finita di numeri reali la somma di qualsiasi sette termini successivi è negativa, e la somma di qualsiasi undici termini successivi è positiva. Determinare il numero massimo di termini della sequenza.

Topic: Algebra Metodo: monovarianti Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

any 7 sum negative, any 11 sum positive

In a finite sequence of real numbers the sum of any seven successive terms is negative, and the sum of any eleven successive terms is positive. Determine the maximum number of terms in the sequence.

src_imo_1977_all__Q02

Non-unique factorization into indecomposables in V_n

Sia $n$ un intero dato $>2$, e sia $V_n$ l’insieme degli interi $1+kn$, con $k=1,2,\dots$. Un numero $m\in V_n$ è detto indecomponibile in $V_n$ se non esistono numeri $p,q\in V_n$ tali che $pq=m$. Dimostrare che esiste un numero $r\in V_n$ che può essere espresso come prodotto di elementi indecomponibili in $V_n$ in più di un modo. (Si considerano uguali i prodotti che differiscono solo nell’ordine dei fattori.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Non-unique factorization into indecomposables in V_n

If $n$ is an integer $>2$, and $V_n$ is the sum of the integers $1+kn$, with $k=1,2,\dots$. A $m\in V_n$ number is said to be unbreakable in $V_n$ if $p,q\in V_n$ numbers such as $pq=m$ do not exist. Demonstrate that there is a number $r\in V_n$ that can be expressed as the product of elements that cannot be broken down into $V_n$ in more than one way. (Products which differ only in order of factors are considered to be the same.)

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f(theta)>=0 implies a^2+b^2<=2 and A^2+B^2<=1

Siano dati quattro costanti reali $a,b,A,B$, e sia $f(\theta )=1-a\cos \theta -b\sin \theta -A\cos 2\theta -B\sin 2\theta .$ Dimostrare che se $f(\theta )\ge 0$ per ogni $\theta$ reale, allora $a^2+b^2\le 2\text{e}{A}^2+B^2\le 1.$

Topic: Trigonometria, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche, Tecniche trigonometriche Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.1

f(theta)>=0 implies a^2+b^2<=2 and A^2+B^2<=1

Show that if $f(\theta )\ge 0$ for every real $\theta$, then $a^2+b^2\le 2\text{e}{A}^2+B^2\le 1.$

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Find pairs (a,b) with q^2+r=1977 for a^2+b^2 over a+b

Siano $a$ e $b$ interi positivi. Quando $a^2+b^2$ viene diviso per $a+b$, il quoziente è $q$ e il resto è $r$. Trovare tutte le coppie $(a,b)$ tali che $q^2+r=1977$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Find pairs (a,b) with q^2+r=1977 for a^2+b^2 over a+b*

The values of $a$ and $b$ are positive integers. When $a^2+b^2$ is divided by $a+b$, the quotient is $q$ and the rest is $r$. Find all pairs $(a,b)$ such as $q^2+r=1977$.

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f(n+1)>f(f(n)) implies f(n)=n for all n

Sia $f(n)$ una funzione definita sull’insieme di tutti gli interi positivi e con valori nello stesso insieme. Dimostrare che se $f(n+1)>f(f(n))$ per ogni intero positivo $n$, allora $f(n)=n\text{per ogni }n.$

Topic: successioni Metodo: Principio di estremalita, Induzione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

f(n+1)>f(f(n)) implies f(n) =n for all n

Whether $f(n)$ is a function defined on the set of all positive integers and with values in the same set. Show that if $f(n+1)>f(f(n))$ for every positive integer $n$, then $f(n)=n\text{per ogni }n.$

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