IMO 1979 (Twenty-first International Olympiad)

Prove numerator p of alternating harmonic sum divisible by 1979

Siano $p$ e $q$ numeri naturali tali che $\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}.$ Dimostrare che $p$ è divisibile per $1979$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Prove numerator p of alternating harmonic sum divisible by 1979

If $p$ and $q$ are natural numbers such that $\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}.$ Show that $p$ is divisible by $1979$.

src_imo_1979_all__Q01

top and bottom edges all same color

Note. A path of n jumps is a sequence of vertices (P0, …, Pn) such that (i) P0 = A, Pn = E; (ii) for every i, 0 ≤i ≤n −1, Pi is distinct from E; (iii) for every i, 0 ≤i ≤n −1, Pi and Pi+1 are adjacent.

Topic: Combinatoria Metodo: parita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

top and bottom edges all the same colour

Notes. A path of n jumps is a sequence of vertices (P0, …, Pn) such that (i) P0 = A, Pn = E; (ii) for every i, 0 ≤i ≤n −1, Pi is distinct from E; (iii) for every i, 0 ≤i ≤n −1, Pi and Pi+1 are adjacent.

src_imo_1979_all__Q02

Fixed point equidistant from two points moving on circles

Due circonferenze in un piano si intersecano. Sia $A$ uno dei punti di intersezione. Partendo simultaneamente da $A$, due punti si muovono con velocità costanti, ciascuno lungo la propria circonferenza nello stesso verso. I due punti ritornano in $A$ simultaneamente dopo un giro completo. Dimostrare che esiste un punto fisso $P$ nel piano tale che, in qualsiasi istante, le distanze da $P$ ai due punti in movimento sono uguali.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Sfruttamento della simmetria Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Fixed point equidistant from two points moving on circles

Two circles in a plane intersect. Be $A$ one of the intersection points. Starting simultaneously from $A$, two points move at constant speed, each along its circumference in the same direction. The two points return to $A$ simultaneously after a full lap. Demonstrate that there is a fixed point $P$ in the plane such that, at any moment, the distances from $P$ to the two moving points are equal.

src_imo_1979_all__Q03

Find points R maximizing ratio (QP+PA)/QR in plane

Data una retta (piano) $\pi$, un punto $P$ in questo piano e un punto $Q$ non in $\pi$, trovare tutti i punti $R$ in $\pi$ tali che il rapporto $\frac{QP+PA}{QR}$ sia massimo.

Topic: Geometria solida Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Find points R maximizing ratio (QP+PA)/QR in plane

Given a straight (plane) $\pi$, a point $P$ in this plane and a point $Q$ not in $\pi$, find all points $R$ in $\pi$ such that the ratio $\frac{QP+PA}{QR}$ is maximum.

src_imo_1979_all__Q04

Find a with nonneg x_k satisfying three power-sum relations

Trovare tutti i numeri reali $a$ per i quali esistono numeri reali non negativi $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ che soddisfano le relazioni ${\sum }_{k=1}^{5}k{x}_k=a,{\sum }_{k=1}^5{k}^3{x}_k=a^2,{\sum }_{k=1}^5{k}^5{x}_k=a^3.$

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche, manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Find a with nonneg x_k satisfying three power-sum relations

Find all real numbers $a$ for which there are non-negative real numbers $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ that satisfy the ${\sum }_{k=1}^{5}k{x}_k=a,{\sum }_{k=1}^5{k}^3{x}_k=a^2,{\sum }_{k=1}^5{k}^5{x}_k=a^3.$ relationships

src_imo_1979_all__Q05

prove formula for count of n-jump paths

Siano $A$ ed $E$ vertici opposti di un ottagono regolare. Una rana comincia a saltare dal vertice $A$. Da qualsiasi vertice dell’ottagono eccetto $E$, essa può saltare verso uno qualsiasi dei due vertici adiacenti. Quando raggiunge il vertice $E$, la rana si ferma e rimane lì. Sia $a_n$ il numero di percorsi distinti di esattamente $n$ salti che terminano in $E$. Dimostrare che $a_{2n-1}=0$ e $a_{2n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x^{n-1}-y^{n-1}\right),n=1,2,3,\dots ,$ dove $x=2+\sqrt{2}$ e $y=2-\sqrt{2}$.

Nota. Un percorso di $n$ salti è una sequenza di vertici $(P_0,\dots ,P_n)$ tale che: (i) $P_0=A$, $P_n=E$; (ii) per ogni $i$, $0\le i\le n-1$, $P_i$ è distinto da $E$; (iii) per ogni $i$, $0\le i\le n-1$, $P_i$ e $P_{i+1}$ sono adiacenti.

Topic: Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

prove formula for count of n-jump paths

They are $A$ and $E$ opposite vertices of a regular octagon. A frog starts jumping from the summit. From any vertex of the octagon except $E$, it can jump to any of the two adjacent vertices. When it reaches the summit, the frog stops and stays there. Whether $a_n$ the number of distinct paths of exactly $n$ jumps ending in $E$. Show that $a_{2n-1}=0$ and $a_{2n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x^{n-1}-y^{n-1}\right),n=1,2,3,\dots ,$ where $x=2+\sqrt{2}$ and $y=2-\sqrt{2}$.

Note. A $n$ jump path is a sequence of vertices $(P_0,\dots ,P_n)$ such that: (i) $P_0=A$, $P_n=E$; (ii) for each $i$, $0\le i\le n-1$, $P_i$ is distinct from $E$; (iii) for each $i$, $0\le i\le n-1$, $P_i$ and $P_{i+1}$ are adjacent.

src_imo_1979_all__Q06