IMO 1981 (Twenty-second International Olympiad)

Minimize BC/PD+CA/PE+AB/PF for interior point P

Sia $P$ un punto interno al triangolo $ABC$. Siano $D$, $E$, $F$ i piedi delle perpendicolari condotte da $P$ alle rette $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente. Trovare tutti i punti $P$ per cui $\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}$ è minimo.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.1

Minimise BC/PD+CA/PE+AB/PF for interior point P

Whether $P$ is an interior point of the $ABC$ triangle. The feet of the perpendiculars led by $P$ to the lines $BC$, $CA$ and $AB$ shall be $D$, $E$, $F$ respectively. Find all $P$ points for which $\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}$ is minimum.

src_imo_1981_all__Q01

Mean of smallest elements of r-subsets equals (n+1)/(r+1)

Siano $1\le r\le n$ e si considerino tutti i sottoinsiemi di $r$ elementi dell’insieme $\{1,2,\dots ,n\}$. Ognuno di questi sottoinsiemi ha un elemento minimo. Sia $F(n,r)$ la media aritmetica di questi elementi minimi; dimostrare che $F(n,r)=\frac{n+1}{r+1}.$

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Mean of smallest elements of r-subsets equals (n+1)/(r+1)

They are $1\le r\le n$ and all $r$ subset elements of the $\{1,2,\dots ,n\}$ set are considered. Each of these sub-sets has a minimum element. Whether $F(n,r)$ the arithmetic mean of these minimum elements; prove that $F(n,r)=\frac{n+1}{r+1}.$

src_imo_1981_all__Q02

Max m^3+n^3 with (n^2-mn-m^2)^2=1 up to 1981

Determinare il valore massimo di $m^3+n^3$, dove $m$ e $n$ sono interi con $m,n\in \{1,2,\dots ,1981\}$ e $(n^2-mn-m^2{)}^2=1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica, Ricorsione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Max m^3+n^3 with (n^2-mn-m^2)^2=1 up to 1981

Determine the maximum value of $m^3+n^3$, where $m$ and $n$ are integers with $m,n\in \{1,2,\dots ,1981\}$ and $(n^2-mn-m^2{)}^2=1$.

src_imo_1981_all__Q03

largest divides lcm of others

(a) Per quali valori di $n>2$ esiste un insieme di $n$ interi positivi consecutivi tale che il numero più grande dell’insieme sia un divisore del minimo comune multiplo degli altri $n-1$ numeri?

(b) Per quali valori di $n>2$ esiste esattamente un insieme con la proprietà descritta?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

largest divides lcm of others

(a) For which values of $n>2$ is there a set of $n$ consecutive positive integers such that the largest number of the set is a divisor of the common minimum multiple of the other $n-1$ numbers?

(b) For which values of $n>2$ exactly does a set with the property described exist?

src_imo_1981_all__Q04

incenter, circumcenter, O collinear

Tre cerchi congruenti hanno un punto comune $O$ e sono contenuti in un dato triangolo. Ciascun cerchio è tangente a una coppia di lati del triangolo. Dimostrare che l’incentro, il circumcentro del triangolo e il punto $O$ sono collineari.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

*incenter, circumcenter, or hill *

Three congruent circles have a common point $O$ and are contained in a given triangle. Each circle is tangent to a pair of triangle sides. Demonstrate that the center, circumcenter of the triangle and the point $O$ are collinear.

src_imo_1981_all__Q05

Compute Ackermann-type function f(4,1981)

La funzione $f(x,y)$ soddisfa le condizioni:

(1) $f(0,y)=y+1$,

(2) $f(x+1,0)=f(x,1)$,

(3) $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$,

per tutti gli interi non negativi $x$, $y$. Determinare $f(4,1981)$.

Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

This is the case with the Ackermann type function.

The $f(x,y)$ function satisfies the following conditions:

(1) $f(0,y)=y+1$,

(2) $f(x+1,0)=f(x,1)$,

(3) $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$,

for all non-negative integers $x$, $y$. Determine $f(4,1981)$.

src_imo_1981_all__Q06