IMO 1982 (23rd International Mathematical Olympiad)

Determine f(1982) for a subadditive integer function

La funzione $f(n)$ è definita per tutti gli interi positivi $n$ e prende valori interi non negativi. Inoltre, per tutti gli $m,n$: $f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ oppure }1$ $f(2)=0$, $f(3)>0$, e $f(9999)=3333$.

Determinare $f(1982)$.

Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Definition of the subadditive integer function

The $f(n)$ function is defined for all positive integers $n$ and takes non-negative integers. In addition, for all $m,n$: $f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ oppure }1$ $f(2)=0$, $f(3)>0$, and $f(9999)=3333$.

Determine $f(1982)$.

src_imo_1982__Q01

Prove three lines through midpoints and reflected touch-points concurrent

È dato un triangolo non isoscele $A_1{A}_2{A}_3$ con lati $a_1,a_2,a_3$ (dove $a_i$ è il lato opposto ad $A_i$). Per ogni $i=1,2,3$, $M_i$ è il punto medio del lato $a_i$ e $T_i$ è il punto in cui il cerchio inscritto tocca il lato $a_i$. Si denoti con $S_i$ la riflessione di $T_i$ rispetto alla bisettrice interna dell’angolo $A_i$. Dimostrare che le rette $M_1{S}_1$, $M_2{S}_2$ e $M_3{S}_3$ sono concorrenti.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Prove three lines through midpoints and reflected touch-points concurrent

A non-isosceles triangle $A_1{A}_2{A}_3$ with sides $a_1,a_2,a_3$ (where $a_i$ is the opposite side to $A_i$) is given. For each $i=1,2,3$, $M_i$ is the middle point of the $a_i$ side and $T_i$ is the point where the inscribed circle touches the $a_i$ side. The reflection of $T_i$ with respect to the inner beam of the angle $A_i$ shall be indicated by $S_i$. Demonstrate that the directions $M_1{S}_1$, $M_2{S}_2$ and $M_3{S}_3$ are competitors.

src_imo_1982__Q02

Decreasing sequence sums of squared ratios bounded near 4

Si consideri la successione infinita $\{x_n\}$ di numeri reali positivi con le seguenti proprietà: $x_0=1,\text{e per ogni }i\ge 0,x_{i+1}\le x_i.$

(a) Dimostrare che per ogni tale successione esiste un $n\ge 1$ tale che $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge 3,999.$

(b) Trovare una tale successione per cui $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4.$

Topic: successioni, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche, Somme telescopiche Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Decreasing sequence sums of squared ratios bounded near 4

Consider the infinite succession $\{x_n\}$ of positive real numbers with the following properties: $x_0=1,\text{e per ogni }i\ge 0,x_{i+1}\le x_i.$

(a) Demonstrate that for each such succession there is a $n\ge 1$ such that $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge 3,999.$

(b) Find such a succession for which $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4.$

src_imo_1982__Q03

Cubic Diophantine equation has at least three integer solutions

Dimostrare che se $n$ è un intero positivo tale che l’equazione $x^3-3x{y}^2+y^3=n$ ha una soluzione in interi $(x,y)$, allora ha almeno tre tali soluzioni.

Mostrare inoltre che l’equazione non ha soluzioni in interi quando $n=2891$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Cubic Diophantine equation has at least three integer solutions

Demonstrate that if $n$ is a positive integer such that the equation $x^3-3x{y}^2+y^3=n$ has a solution in integers $(x,y)$, then it has at least three such solutions.

Also show that the equation has no solutions in integers when $n=2891$.

src_imo_1982__Q04

Find ratio r making B, M, N collinear in hexagon

Le diagonali $AC$ e $CE$ dell’esagono regolare $ABCDEF$ sono divise dai punti interni $M$ e $N$, rispettivamente, in modo che $\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r.$ Determinare $r$ sapendo che $B$, $M$ e $N$ sono collineari.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Find ratio r making B, M, N hillinear in hexagon

The diagonal $AC$ and $CE$ of the regular hexagon $ABCDEF$ are divided by the interior points $M$ and $N$, respectively, so that $\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r.$ Determine $r$ knowing that $B$, $M$ and $N$ are collinear.

src_imo_1982__Q05

Path covering square boundary has two close far-apart points

Sia $S$ un quadrato di lato $100$, e sia $L$ un percorso all’interno di $S$ che non si interseca e che è composto da segmenti $A_0{A}_1,A_1{A}_2,\dots ,A_{n-1}{A}_n$ con $A_0\ne A_n$. Si supponga che per ogni punto $P$ del bordo di $S$ esista un punto di $L$ a distanza da $P$ non maggiore di $\frac{1}{2}$. Dimostrare che esistono due punti $X$ e $Y$ su $L$ tali che la distanza tra $X$ e $Y$ non è maggiore di $1$, e la lunghezza della parte di $L$ compresa tra $X$ e $Y$ non è minore di $198$.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.2

Path covering square boundary has two close far-apart points

either $S$ a side square $100$, or $L$ a path within $S$ that does not intersect and is composed of segments $A_0{A}_1,A_1{A}_2,\dots ,A_{n-1}{A}_n$ with $A_0\ne A_n$. For each $P$ point on the edge of $S$ there shall be a point of $L$ at a distance from $P$ not greater than $\frac{1}{2}$. Demonstrate that there are two $X$ and $Y$ points on $L$ such that the distance between $X$ and $Y$ is not greater than $1$, and the length of the part of $L$ between $X$ and $Y$ is not less than $198$.

src_imo_1982__Q06