IMO 1985 (26th International Mathematical Olympiad)

AD+BC=AB

Un cerchio ha il centro sul lato $AB$ del quadrilatero ciclico $ABCD$. Gli altri tre lati sono tangenti al cerchio. Dimostrare che $AD+BC=AB$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

AD+BC=AB

A circle has the centre on the $AB$ side of the cyclic quadrilateral $ABCD$. The other three sides are tangent to the circle. Show that $AD+BC=AB$.

src_imo_1985__Q01

Two-colored set with coprime conditions all same color

Siano $n$ e $k$ numeri naturali relativamente primi dati, con $k<n$. Ogni numero nell’insieme $M=\{1,2,\dots ,n-1\}$ è colorato di blu o di bianco. È dato che:

(i) per ogni $i\in M$, sia $i$ che $n-i$ hanno lo stesso colore;

(ii) per ogni $i\in M$, $i\ne k$, sia $i$ che $|i-k|$ hanno lo stesso colore.

Dimostrare che tutti i numeri in $M$ devono avere lo stesso colore.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: monovarianti Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Two-colored set with covrime conditions to the same colour

They are $n$ and $k$ relatively prime natural numbers, with $k<n$. Each number in the $M=\{1,2,\dots ,n-1\}$ set is coloured in blue or white. This is because:

(i) for each $i\in M$, both $i$ and $n-i$ are the same colour;

(ii) for each $i\in M$, $i\ne k$, both $i$ and $|i-k|$ are the same colour.

Demonstrate that all numbers in $M$ must have the same color.

src_imo_1985__Q02

Odd-coefficient count inequality for sums of binomial polynomials

Per ogni polinomio $P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_k{x}^k$ a coefficienti interi, il numero di coefficienti che sono dispari è denotato da $w(P)$. Per $i=0,1,\dots$, sia $Q_i(x)=(1+x{)}^i$. Dimostrare che se $i_1,i_2,\dots ,i_n$ sono interi tali che $0\le i_1<i_2<\cdots <i_n$, allora

$w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots +Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}).$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Odd-coefficient count inequality for sums of binomial polynomials

For each $P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_k{x}^k$ polynomial with integer coefficients, the number of odd coefficients is denoted by $w(P)$. For $i=0,1,\dots$, be $Q_i(x)=(1+x{)}^i$. Show that if $i_1,i_2,\dots ,i_n$ are integers such that $0\le i_1<i_2<\cdots <i_n$, then

$w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots +Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}).$

src_imo_1985__Q03

four-element product is fourth power

Dato un insieme $M$ di $1985$ interi positivi distinti, nessuno dei quali ha un divisore primo maggiore di $26$. Dimostrare che $M$ contiene almeno un sottoinsieme di quattro elementi distinti il cui prodotto è la quarta potenza di un intero.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

four-element product is fourth power

Given a $M$ set of $1985$ distinct positive integers, none of which has a prime divisor greater than $26$. Show that $M$ contains at least one subset of four distinct elements whose product is the fourth power of an integer.

src_imo_1985__Q04

Prove angle OMB is right in two-circle configuration

Un cerchio con centro $O$ passa per i vertici $A$ e $C$ del triangolo $ABC$ e interseca i segmenti $AB$ e $BC$ nuovamente in punti distinti $K$ e $N$, rispettivamente. I cerchi circoscritti ai triangoli $ABC$ e $KBN$ si intersecano in esattamente due punti distinti $B$ e $M$. Dimostrare che l’angolo $\angle OMB$ è un angolo retto.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Prove angle OMB is right in two-circle configuration

A circle with a centre $O$ passes through the vertices $A$ and $C$ of the $ABC$ triangle and intersects the segments $AB$ and $BC$ again at distinct points $K$ and $N$, respectively. The circles surrounding the $ABC$ and $KBN$ triangles intersect at exactly two distinct points $B$ and $M$. Show that the $\angle OMB$ angle is a right angle.

src_imo_1985__Q05

Unique starting value keeping recurrence sequence in (0,1)

Per ogni numero reale $x_1$, si costruisce la successione $x_1,x_2,\dots$ ponendo

$x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac{1}{n}\right)$

per ogni $n\ge 1$. Dimostrare che esiste esattamente un valore di $x_1$ per cui

$0<x_n<x_{n+1}<1$

per ogni $n$.

Topic: successioni Metodo: Principio di estremalita, Ricorsione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

*Unique starting value keeping recurrence sequence in (0,1) *

For each real number $x_1$, the sequence $x_1,x_2,\dots$ is constructed by

$x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac{1}{n}\right)$

for each $n\ge 1$. Demonstrate that there is exactly a value of $x_1$ for which

$0<x_n<x_{n+1}<1$

for each $n$.

src_imo_1985__Q06