IMO 1991 (32nd IMO)

Bound product of incenter-vertex over bisector ratios

Given a triangle ABC, let I be the center of its inscribed circle. The internal bisectors of the angles A, B, C meet the opposite sides in A′, B′, C′ respectively. Prove that 1 4 < AI · BI · CI AA′ · BB′ · CC′ ≤ 8 27.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.1

Bound product of incenter-vertex over bisector ratios

Given a triangle ABC, let me be the center of its inscribed circle. The internal bisectors of the angles A, B, C meet the opposite sides in A′, B′, C′ respectively. Prove that 1 4 < AI · BI · CI AA ′ · BB ′ · CC ′ ≤ 8 27.

src_imo_1991__Q01

Equally-spaced totatives imply n prime or power of 2

Let n > 6 be an integer and a1, a2, … , ak be all the natural numbers less than n and relatively prime to n. If a2 −a1 = a3 −a2 = · · = ak −ak−1 > 0, prove that n must be either a prime number or a power of 2.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Equally spaced totatives imply n prime or power of 2

Let n > 6 be an integer and a1, a2, … , ak be all the natural numbers less than n and relatively prime to n. If a2 −a1 = a3 −a2 = · · = ak −ak−1 > 0, prove that n must be either a prime number or a power of 2.

src_imo_1991__Q02

Smallest n forcing five pairwise coprime numbers in subset

Let S = {1, 2, 3, … , 280}. Find the smallest integer n such that each nelement subset of S contains five numbers which are pairwise relatively prime. Second Day July 18, 1991 Time Limit: 41 2 hours

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Principio di estremalita Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Smallest n forcing five pairwise coprime numbers in subset

Let S = {1, 2, 3, … , 280}. Find the smallest integer n such that each nelement subset of S contains five numbers which are pairwise relatively prime. Second Day July 18, 1991 Time limit: 41 2 hours

src_imo_1991__Q03

Label graph edges so each vertex has gcd 1

Sia $G$ un grafo connesso con $k$ spigoli. Dimostrare che è possibile etichettare gli spigoli con i numeri $1,2,\dots ,k$ in modo tale che, per ogni vertice appartenente a due o più spigoli, il massimo comune divisore dei numeri con cui sono etichettati tali spigoli sia uguale a $1$.

[Un grafo è un insieme di punti, detti vertici, insieme a un insieme di spigoli che uniscono certe coppie di vertici distinti. Ogni coppia di vertici $u$, $v$ appartiene al più a uno spigolo. Il grafo $G$ è connesso se, per ogni coppia di vertici distinti $x$, $y$, esiste una successione di vertici $x=v_0,v_1,v_2,\dots ,v_m=y$ tale che ogni coppia $v_i,v_{i+1}$ (con $0\le i<m$) sia unita da uno spigolo di $G$.]

Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Label graph edges so each vertex has gcd 1

Whether $G$ is a connected graph with $k$ vertices. Demonstrate that it is possible to label beads with the numbers $1,2,\dots ,k$ so that, for each vertex belonging to two or more beads, the maximum common divisor of the numbers with which those beads are labeled is $1$.

[A graph is a set of points, called vertices, together with a set of vertices that connect certain pairs of distinct vertices. Each pair of vertices $u$, $v$ belongs to at most one beam. The graph $G$ is connected if, for each pair of distinct vertices $x$, $y$, there is a succession of vertices $x=v_0,v_1,v_2,\dots ,v_m=y$ such that each pair $v_i,v_{i+1}$ (with $0\le i<m$) is joined by a beam of $G$.]

src_imo_1991__Q04

Interior point gives an angle at most 30 degrees

Sia $ABC$ un triangolo e $P$ un punto interno ad $ABC$. Dimostrare che almeno uno degli angoli $\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ è minore o uguale a $30°$.

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Interior point gives an angle at most 30 degrees

Whether $ABC$ a triangle and $P$ an internal point at $ABC$. Demonstrate that at least one of the angles $\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ is less than or equal to $30°$.

src_imo_1991__Q05

Construct bounded sequence with separation condition for a>1

Una successione infinita $x_0,x_1,x_2,\dots$ di numeri reali si dice limitata se esiste una costante $C$ tale che $|x_i|\le C$ per ogni $i\ge 0$. Dato un numero reale $a>1$, costruire una successione infinita limitata $x_0,x_1,x_2,\dots$ tale che $|x_i-x_j|\cdot |i-j{|}^a\ge 1$ per ogni coppia di interi non negativi distinti $i$, $j$.

Topic: successioni, Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2

Construct bounded sequence with separation condition for a>1

An infinite sequence $x_0,x_1,x_2,\dots$ of real numbers is said to be finite if there exists a constant $C$ such that $|x_i|\le C$ for each $i\ge 0$. Given a real number $a>1$, construct a finite sequence $x_0,x_1,x_2,\dots$ such that $|x_i-x_j|\cdot |i-j{|}^a\ge 1$ for each pair of distinct nonnegative integers $i$, $j$.

src_imo_1991__Q06