IMO 2014 (shortlist/papers)

Esiste unico n con an<media prefissi<=an+1

Sia $a_0<a_1<a_2<\cdots$ una successione infinita di interi positivi. Dimostrare che esiste un unico intero $n\ge 1$ tale che $a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots +a_n}{n}\le a_{n+1}.$

Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

*There is a single n with an <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Whether $a_0<a_1<a_2<\cdots$ is an infinite sequence of positive integers. Demonstrate that there is a single integer $n\ge 1$ such that $a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots +a_n}{n}\le a_{n+1}.$

src_imo_2014__Q01

Massimo k con quadrato k×k libero da torri pacifiche

Sia $n\ge 2$ un intero. Si consideri una scacchiera $n\times n$ composta da $n^2$ unità quadrate. Una configurazione di $n$ torri su questa scacchiera si dice pacifica se ogni riga e ogni colonna contiene esattamente una torre. Trovare il più grande intero positivo $k$ tale che, per ogni configurazione pacifica di $n$ torri, esiste un quadrato $k\times k$ che non contiene alcuna torre su nessuno dei suoi $k^2$ quadrati unitari.

Topic: Combinatoria Metodo: parita, Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Maximum k with square k×k free of peace towers

It is $n\ge 2$ a whole. A chessboard $n\times n$ composed of $n^2$ square units shall be considered. A configuration of $n$ towers on this chessboard is said to be pacific if each row and column contains exactly one tower. Find the largest positive integer $k$ such that, for each peaceful configuration of $n$ towers, there exists a square $k\times k$ that contains no tower on any of its $k^2$ unit squares.

src_imo_2014__Q02

BD tangente al circumcircle di TSH

Il quadrilatero convesso $ABCD$ ha $\angle ABC=\angle CDA=90°$. Il punto $H$ è il piede della perpendicolare condotta da $A$ a $BD$. I punti $S$ e $T$ giacciono rispettivamente sui lati $AB$ e $AD$, in modo tale che $H$ si trovi all’interno del triangolo $SCT$ e $\angle CHS-\angle CSB=90°,\angle THC-\angle DTC=90°.$ Dimostrare che la retta $BD$ è tangente alla circonferenza circoscritta al triangolo $TSH$.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

BD tangent to the circle of TSH

The convex quadrilateral $ABCD$ has $\angle ABC=\angle CDA=90°$. The point $H$ is the foot of the perpendicular run from $A$ to $BD$. The points $S$ and $T$ lie on the sides $AB$ and $AD$ respectively, such that $H$ lies within the $SCT$ and $\angle CHS-\angle CSB=90°,\angle THC-\angle DTC=90°.$ triangle.

src_imo_2014__Q03

BM e CN si incontrano sul circumcircle di ABC

I punti $P$ e $Q$ giacciono sul lato $BC$ del triangolo acutangolo $ABC$ in modo tale che $\angle PAB=\angle BCA$ e $\angle CAQ=\angle ABC$. I punti $M$ e $N$ giacciono rispettivamente sulle rette $AP$ e $AQ$, in modo tale che $P$ sia il punto medio di $AM$ e $Q$ sia il punto medio di $AN$. Dimostrare che le rette $BM$ e $CN$ si intersecano sulla circonferenza circoscritta al triangolo $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

BM and CN meet on the circumcircle of ABC

The $P$ and $Q$ points lie on the $BC$ side of the $ABC$ acute triangle so that $\angle PAB=\angle BCA$ and $\angle CAQ=\angle ABC$. The points $M$ and $N$ lie on the lines $AP$ and $AQ$ respectively, so that $P$ is the mean point of $AM$ and $Q$ is the mean point of $AN$. Demonstrate that the lines $BM$ and $CN$ intersect on the circumference circumscribed at the triangle $ABC$.

src_imo_2014__Q04

Suddividere monete di valore 1/n in <=100 gruppi

Per ogni intero positivo $n$, la Banca di Città del Capo emette monete di taglio $\frac{1}{n}$. Data una collezione finita di tali monete (non necessariamente di tagli diversi) con valore totale al più $99+\frac{1}{2}$, dimostrare che è possibile suddividere la collezione in 100 o meno gruppi, in modo che ogni gruppo abbia valore totale al più $1$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Principio di estremalita, monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Sharing coins of 1/n value into <=100 groups

For every positive $n$, the Cape Town Bank issues cut coins $\frac{1}{n}$. Given a finite collection of such coins (not necessarily in different cuts) with a total value of at most $99+\frac{1}{2}$, demonstrate that the collection can be divided into 100 or fewer groups, so that each group has a total value of at most $1$.

src_imo_2014__Q05

Colorare radice-n rette senza regione blu

Un insieme di rette nel piano è in posizione generale se nessuna coppia è parallela e nessuna terna passa per uno stesso punto. Un insieme di rette in posizione generale divide il piano in regioni, alcune delle quali hanno area finita; tali regioni sono chiamate regioni finite. Dimostrare che per tutti gli $n$ sufficientemente grandi, in qualsiasi insieme di $n$ rette in posizione generale è possibile colorare di blu almeno $\sqrt{n}$ rette in modo tale che nessuna regione finita abbia il bordo interamente blu.

Nota: Risultati in cui $\sqrt{n}$ è sostituito da $c\sqrt{n}$ saranno valutati in base al valore della costante $c$.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: parita, Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.2

Coloring straight roots without blue region

A set of lines in the plane is in ** general position** if no pair is parallel and no tern passes through the same point. A set of lines in general position divides the plan into regions, some of which have finite area; these regions are called finite regions. Demonstrate that for all $n$ sufficiently large, in any set of $n$ lines in general position it is possible to colour at least $\sqrt{n}$ lines in blue so that no finite region has an entirely blue edge.

Note: Results in which $\sqrt{n}$ is replaced by $c\sqrt{n}$ will be evaluated on the basis of the value of the constant $c$.

src_imo_2014__Q06