IMO 2016 papers

BD, FX, ME concorrenti (parallelogramma AMXE)

Il triangolo $BCF$ ha un angolo retto in $B$. Sia $A$ il punto sulla retta $CF$ tale che $FA=FB$ e $F$ si trova tra $A$ e $C$. Il punto $D$ è scelto in modo che $DA=DC$ e $AC$ è la bisettrice dell’angolo $\angle DAB$. Il punto $E$ è scelto in modo che $EA=ED$ e $AD$ è la bisettrice dell’angolo $\angle EAC$. Sia $M$ il punto medio di $CF$. Sia $X$ il punto tale che $AMXE$ è un parallelogrammo (con $AM\parallel EX$ e $AE\parallel MX$). Dimostrare che le rette $BD$, $FX$ e $ME$ sono concorrenti.

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

*BD, FX, ME competitors (AMXE parallelogram) *

The $BCF$ triangle has a right angle in $B$. Whether $A$ the point on the $CF$ line such that $FA=FB$ and $F$ lie between $A$ and $C$. The point $D$ is chosen so that $DA=DC$ and $AC$ are the angles of the angle $\angle DAB$. The point $E$ is chosen so that $EA=ED$ and $AD$ are the angles of the angle $\angle EAC$. The mean point of $M$ shall be $CF$. If $X$ is the point such that $AMXE$ is a parallelogram (with $AM\parallel EX$ and $AE\parallel MX$). Demonstrate that $BD$, $FX$ and $ME$ are competitors.

src_imo_2016__Q01

Tabella n×n riempita con I,M,O bilanciate

Trovare tutti gli interi positivi $n$ per cui ogni cella di una tabella $n\times n$ può essere riempita con una delle lettere I, M e O in modo tale che:

• in ogni riga e in ogni colonna, un terzo delle voci siano I, un terzo siano M e un terzo siano O;
• in qualsiasi diagonale, se il numero di voci sulla diagonale è un multiplo di tre, allora un terzo delle voci sono I, un terzo sono M e un terzo sono O.

Nota: Le righe e le colonne di una tabella $n\times n$ sono ciascuna etichettate da $1$ a $n$ in ordine naturale. Ogni cella corrisponde a una coppia di interi positivi $(i,j)$ con $1\le i,j\le n$. Per $n>1$, la tabella ha $4n-2$ diagonali di due tipi. Una diagonale del primo tipo consiste di tutte le celle $(i,j)$ per cui $i+j$ è costante, e una diagonale del secondo tipo consiste di tutte le celle $(i,j)$ per cui $i-j$ è costante.

Topic: Combinatoria Metodo: parita, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Table n×n filled with I,M,O balanced*

Find all positive integers $n$ for which each cell in a table $n\times n$ can be filled with one of the letters I, M and O in such a way that:

• in each row and column, one third of the entries are I, one third is M and one third is O; - in any diagonal, if the number of entries on the diagonal is a multiple of three, then one third of the entries are I, one third is M and one third is O.

Note: The rows and columns of a table $n\times n$ are each labelled from $1$ to $n$ in natural order. Each cell corresponds to a pair of positive integers $(i,j)$ with $1\le i,j\le n$. For $n>1$, the table has $4n-2$ diagonal of two types. A diagonal of the first type consists of all cells $(i,j)$ for which $i+j$ is constant, and a diagonal of the second type consists of all cells $(i,j)$ for which $i-j$ is constant.

src_imo_2016__Q02

2S divisibile per n in poligono ciclico intero

Sia $P=A_1{A}_2\dots A_k$ un poligono convesso nel piano. I vertici $A_1,A_2,\dots ,A_k$ hanno coordinate intere e giacciono su un cerchio. Sia $S$ l’area di $P$. È dato un intero positivo dispari $n$ tale che i quadrati delle lunghezze dei lati di $P$ sono interi divisibili per $n$. Dimostrare che $2S$ è un intero divisibile per $n$.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF p.1

2S divisible by n in whole cyclic polygon

Whether $P=A_1{A}_2\dots A_k$ is a polygon convex in the plane. The vertices $A_1,A_2,\dots ,A_k$ have full coordinates and lie on a circle. Whether $S$ the area of $P$. A odd positive integer $n$ is given such that the squares of the side lengths of $P$ are integers divisible by $n$. Show that $2S$ is an integer divisible by $n$.

src_imo_2016__Q03

Minimo b con insieme fragrante di P(n)=n^2+n+1

Un insieme di interi positivi è detto fragrante se contiene almeno due elementi e ciascuno dei suoi elementi ha un fattore primo in comune con almeno uno degli altri elementi. Sia $P(n)=n^2+n+1$. Qual è il minimo valore possibile dell’intero positivo $b$ tale che esiste un intero non negativo $a$ per cui l’insieme $\{P(a+1),P(a+2),\dots ,P(a+b)\}$ è fragrante?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Minimum b with fragrant set of P(n) = n^2+n+1

A set of positive integers is called fragrance if it contains at least two elements and each of its elements has a prime factor in common with at least one of the other elements. It is either $P(n)=n^2+n+1$. What is the minimum possible value of the positive integer $b$ such that there is a non-negative integer $a$ for which the whole $\{P(a+1),P(a+2),\dots ,P(a+b)\}$ is fragrant?

src_imo_2016__Q04

Minimo k fattori da cancellare senza soluzioni reali

L’equazione $(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$ è scritta alla lavagna, con $2016$ fattori lineari su ciascun lato. Qual è il minimo valore possibile di $k$ per cui è possibile cancellare esattamente $k$ di questi $4032$ fattori lineari in modo che rimanga almeno un fattore per lato e l’equazione risultante non abbia soluzioni reali?

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Minimum k factors to be deleted without actual solutions

The equation $(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$ is written on the board, with $2016$ linear factors on each side. What is the minimum possible value of $k$ for which exactly $k$ of these $4032$ linear factors can be deleted so that at least one factor per side remains and the resulting equation has no real solutions?

src_imo_2016__Q05

Rane su segmenti senza collisioni se n dispari

Ci sono $n\ge 2$ segmenti nel piano tali che ogni due segmenti si incrociano e nessun tre segmenti si incontrano in un punto. Geoff deve scegliere un estremo di ciascun segmento e piazzare una rana su di esso, rivolta verso l’altro estremo. Poi batterà le mani $n-1$ volte. Ogni volta che batte le mani, ogni rana salterà immediatamente in avanti al successivo punto di intersezione sul suo segmento. Le rane non cambiano mai la direzione dei loro salti. Geoff desidera piazzare le rane in modo tale che nessuna coppia di rane occupi mai lo stesso punto di intersezione nello stesso momento.

(a) Dimostrare che Geoff può sempre esaudire il suo desiderio se $n$ è dispari.

(b) Dimostrare che Geoff non può mai esaudire il suo desiderio se $n$ è pari.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: parita, monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Fredges on non-collision segments if n occurs

There are $n\ge 2$ segments in the plane such that every two segments intersect and no three segments meet at one point. Geoff must choose one end of each segment and place a frog on it, facing the other end. Then he’ll hit his hands $n-1$ times. Every time it claps its hands, each frog will immediately jump forward to the next intersection point on its segment. Frogs never change the direction of their jumps. Geoff wants to place the frogs so that no pair of frogs ever occupies the same intersection at the same time.

(a) Demonstrate that Geoff can always grant his wish if he is odd.

(b) Demonstrate that Geoff can never fulfill his wish if $n$ is equal.

src_imo_2016__Q06