IMO 2017 papers

Valori a0 con successione radice/+3 periodica

Per ogni intero $a_0>1$, si definisce la successione $a_0,a_1,a_2,\dots$ nel modo seguente: $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\sqrt{a_n}& \text{se }\sqrt{a_n}\text{ eˋ un intero,}\\ a_n+3& \text{altrimenti,}\end{array}$ per ogni $n\ge 0$. Determinare tutti i valori di $a_0$ per i quali esiste un numero $A$ tale che $a_n=A$ per infiniti valori di $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Values a0 with roots/+3 periodic succession

For each integer $a_0>1$, the succession $a_0,a_1,a_2,\dots$ is defined as follows: $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\sqrt{a_n}& \text{se }\sqrt{a_n}\text{ eˋ un intero,}\\ a_n+3& \text{altrimenti,}\end{array}$ for each $n\ge 0$. Determine all $a_0$ values for which there exists a $A$ number such that $a_n=A$ for infinite $n$ values.

src_imo_2017__Q01

Equazione funzionale f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)

Sia $\mathbb{R}$ l’insieme dei numeri reali. Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tali che, per tutti i numeri reali $x$ e $y$, $f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).$

Topic: successioni Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

*Functional equation f(f(x) f(y))+f(x+y)=f(xy) *

Whether $\mathbb{R}$ is the set of real numbers. Determine all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that, for all real numbers $x$ and $y$, $f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).$

src_imo_2017__Q02

Cacciatore e coniglio invisibile nel piano

Un cacciatore e un coniglio invisibile giocano una partita nel piano euclideo. Il punto di partenza del coniglio, $A_0$, e il punto di partenza del cacciatore, $B_0$, coincidono. Dopo $n-1$ turni di gioco, il coniglio si trova nel punto $A_{n-1}$ e il cacciatore nel punto $B_{n-1}$. Nel turno $n$-esimo del gioco, avvengono nell’ordine le seguenti tre cose:

(i) Il coniglio si sposta invisibilmente in un punto $A_n$ tale che la distanza tra $A_{n-1}$ e $A_n$ è esattamente $1$.

(ii) Un dispositivo di localizzazione comunica al cacciatore un punto $P_n$. L’unica garanzia fornita dal dispositivo è che la distanza tra $P_n$ e $A_n$ è al più $1$.

(iii) Il cacciatore si sposta visibilmente in un punto $B_n$ tale che la distanza tra $B_{n-1}$ e $B_n$ è esattamente $1$.

È sempre possibile, indipendentemente da come si muova il coniglio e da quali punti vengano comunicati dal dispositivo, che il cacciatore scelga le proprie mosse in modo tale che dopo $10^9$ turni possa garantire che la distanza tra lui e il coniglio sia al più $100$?

Topic: Logica, giochi, strategie, Geometria piana Metodo: Principio di estremalita, monovarianti Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.1

Hunter and rabbit invisible in the plane

A hunter and an invisible rabbit play a game in the Euclidean plane. The starting point of the rabbit, $A_0$, and the starting point of the hunter, $B_0$, coincide. After $n-1$ play turns, the rabbit is in $A_{n-1}$ and the hunter is in $B_{n-1}$. In the $n$-eighth turn of the game, the following three things happen in the order:

(i) The rabbit moves invisibly at a point $A_n$ such that the distance between $A_{n-1}$ and $A_n$ is exactly $1$.

(ii) A tracking device shall communicate to the hunter a point $P_n$. The only guarantee provided by the device is that the distance between $P_n$ and $A_n$ is at most $1$.

(iii) The hunter moves visibly at a point $B_n$ such that the distance between $B_{n-1}$ and $B_n$ is exactly $1$.

Is it always possible, regardless of how the rabbit moves and from which points the device communicates, for the hunter to choose his movements so that after $10^9$ turns he can ensure that the distance between him and the rabbit is at most $100$?

src_imo_2017__Q03

KT tangente a Gamma (punti su cerchio)

Siano $R$ e $S$ due punti distinti su una circonferenza $\Omega$ tali che $RS$ non sia un diametro. Sia $\ell$ la retta tangente a $\Omega$ in $R$. Il punto $T$ è tale che $S$ è il punto medio del segmento $RT$. Il punto $J$ è scelto sull’arco minore $RS$ di $\Omega$ in modo che la circonferenza circoscritta $\Gamma$ al triangolo $JST$ intersechi $\ell$ in due punti distinti. Sia $A$ il punto comune di $\Gamma$ e $\ell$ più vicino a $R$. La retta $AJ$ incontra di nuovo $\Omega$ nel punto $K$. Dimostrare che la retta $KT$ è tangente a $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

*KT tangent to the Gamma (points on a circle) *

If $R$ and $S$ are two distinct points on a circumference $\Omega$ such that $RS$ is not a diameter. If $\ell$ is the tangent line to $\Omega$ in $R$. The $T$ point is such that $S$ is the middle point of the $RT$ segment. The $J$ point is selected on the $RS$ minor arc of $\Omega$ so that the circumference circumscribed $\Gamma$ to the $JST$ triangle intersects $\ell$ at two distinct points. Either $A$ the common point of $\Gamma$ and $\ell$ nearest to $R$. The $AJ$ line is again $\Omega$ in $K$. Demonstrate that the straight $KT$ is tangent to $\Gamma$.

src_imo_2017__Q04

Rimuovere giocatori lasciando 2N con condizioni altezza

È dato un intero $N\ge 2$. Una raccolta di $N(N+1)$ calciatori, di cui non ci sono due della stessa altezza, è disposta in fila. Sir Alex vuole eliminare $N(N-1)$ giocatori da questa fila, lasciando una nuova fila di $2N$ giocatori in cui valgono le seguenti $N$ condizioni:

(1) nessuno si trova tra i due giocatori più alti,

(2) nessuno si trova tra il terzo e il quarto giocatore più alti,

$⋮$

(N) nessuno si trova tra i due giocatori più bassi.

Dimostrare che ciò è sempre possibile.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Remove players by leaving 2N with height conditions

A whole $N\ge 2$ is given. A collection of $N(N+1)$ footballers, of which there are no two of the same height, is arranged in a row. Sir Alex wants to remove $N(N-1)$ players from this row, leaving a new row of $2N$ players where the following $N$ conditions apply:

(1) no one is between the two highest players,

(2) No player is between the third and fourth highest,

$⋮$

(N) No one is between the two lowest players.

Prove that this is always possible.

src_imo_2017__Q05

Polinomio omogeneo =1 su punti primitivi

Una coppia ordinata $(x,y)$ di interi è un punto primitivo se il massimo comune divisore di $x$ e $y$ è $1$. Dato un insieme finito $S$ di punti primitivi, dimostrare che esistono un intero positivo $n$ e interi $a_0,a_1,\dots ,a_n$ tali che, per ogni $(x,y)\in S$, si abbia: $a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}y+a_2{x}^{n-2}{y}^2+\cdots +a_{n-1}x{y}^{n-1}+a_n{y}^n=1.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2

Homogeneous polynomial =1 on primitive points

An ordered pair $(x,y)$ of integers is a * prime point* if the maximum common divisor of $x$ and $y$ is $1$. Given a finite set $S$ of primitive points, prove that there exists a positive integer $n$ and an integer $a_0,a_1,\dots ,a_n$ such that for each $(x,y)\in S$: $a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}y+a_2{x}^{n-2}{y}^2+\cdots +a_{n-1}x{y}^{n-1}+a_n{y}^n=1.$

src_imo_2017__Q06