IMO 2019 papers

Z->Z con f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))

Sia $\mathbb{Z}$ l’insieme degli interi. Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tali che, per tutti gli interi $a$ e $b$, $f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$

Topic: successioni Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Z->Z with f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))

It is $\mathbb{Z}$ the set of integers. Determine all functions $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ such that, for all integers $a$ and $b$, $f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$

src_imo_2019__Q01

P,Q,P1,Q1 conciclici nel triangolo

Nel triangolo $ABC$, il punto $A_1$ giace sul lato $BC$ e il punto $B_1$ giace sul lato $AC$. Siano $P$ e $Q$ punti sui segmenti $A{A}_1$ e $B{B}_1$, rispettivamente, tali che $PQ$ sia parallelo ad $AB$. Sia $P_1$ un punto sulla retta $P{B}_1$, tale che $B_1$ si trovi strettamente tra $P$ e $P_1$, e $\angle P{P}_{1}C=\angle BAC$. Analogamente, sia $Q_1$ un punto sulla retta $Q{A}_1$, tale che $A_1$ si trovi strettamente tra $Q$ e $Q_1$, e $\angle C{Q}_{1}Q=\angle CBA$.

Dimostrare che i punti $P$, $Q$, $P_1$ e $Q_1$ sono concliclici.

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

P,Q,P1,Q1 conical in the triangle

In the $ABC$ triangle, the point $A_1$ lies on the $BC$ side and the point $B_1$ lies on the $AC$ side. $P$ and $Q$ points on the $A{A}_1$ and $B{B}_1$ segments respectively, such that $PQ$ is parallel to $AB$. Whether $P_1$ is a point on the $P{B}_1$ line such that $B_1$ is located between $P$ and $P_1$, and $\angle P{P}_{1}C=\angle BAC$. Similarly, $Q_1$ is a point on the $Q{A}_1$ line such that $A_1$ is close to $Q$ and $Q_1$, and $\angle C{Q}_{1}Q=\angle CBA$.

To demonstrate that $P$, $Q$, $P_1$ and $Q_1$ are complicated.

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Rete sociale 2019 utenti, eventi amicizia

Un social network ha $2019$ utenti, alcune coppie dei quali sono amici. Ogni volta che l’utente $A$ è amico dell’utente $B$, anche $B$ è amico di $A$. Possono avvenire ripetutamente, uno alla volta, eventi del seguente tipo:

Tre utenti $A$, $B$ e $C$ tali che $A$ è amico sia di $B$ che di $C$, ma $B$ e $C$ non sono amici, modificano i loro stati di amicizia in modo che $B$ e $C$ diventino amici, ma $A$ non sia più amico di $B$ e non sia più amico di $C$. Tutti gli altri stati di amicizia rimangono invariati.

Inizialmente, $1010$ utenti hanno ciascuno $1009$ amici e $1009$ utenti hanno ciascuno $1010$ amici. Dimostrare che esiste una sequenza di tali eventi dopo la quale ogni utente è amico di al più un altro utente.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Social network 2019 users, friendship events

A social network has $2019$ users, some of whom are friends. Whenever the user $A$ is a friend of the user $B$, $B$ is also a friend of $A$. Events of the following type may occur repeatedly, one at a time:

Three users $A$, $B$ and $C$ such that $A$ is a friend of both $B$ and $C$, but $B$ and $C$ are not friends, change their friendship states so that $B$ and $C$ become friends, but $A$ is no longer a friend of $B$ and is no longer a friend of $C$. All other states of friendship remain unchanged.

Initially, $1010$ users each have $1009$ friends and $1009$ users each have $1010$ friends. Demonstrate that there is a sequence of such events after which each user is friends with at most one other user.

src_imo_2019__Q03

Coppie (k,n) con k!=(2^n-1)(2^n-2)…

Trovare tutte le coppie $(k,n)$ di interi positivi tali che $k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1}).$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2

Couples (k,n) with k!=(2^n-1)(2^n-2)…

Find all positive integers $(k,n)$ pairs such as $k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1}).$

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Monete Bank of Bath, valore medio L(C)

La Banca di Bath emette monete con una $H$ su un lato e una $T$ sull’altro. Harry ha $n$ di queste monete disposte in fila da sinistra a destra. Egli esegue ripetutamente la seguente operazione: se ci sono esattamente $k>0$ monete che mostrano $H$, allora gira la $k$-esima moneta da sinistra; altrimenti, tutte le monete mostrano $T$ e si ferma. Ad esempio, se $n=3$ il processo che parte dalla configurazione $THT$ è $THT\to HHT\to HTT\to TTT$, che si ferma dopo tre operazioni.

(a) Mostrare che, per ogni configurazione iniziale, Harry si ferma dopo un numero finito di operazioni.

(b) Per ogni configurazione iniziale $C$, sia $L(C)$ il numero di operazioni prima che Harry si fermi. Ad esempio, $L(THT)=3$ e $L(TTT)=0$. Determinare il valore medio di $L(C)$ su tutte le $2^n$ possibili configurazioni iniziali $C$.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

*Bank of Bath currency, mean value L(C) *

The Bank of Bath issues coins with a $H$ on one side and a $T$ on the other. Harry has$n$of these coins lined up from left to right. He repeatedly performs the following operation: if there are exactly $k>0$ coins showing $H$, then the $k$-eighth coin turns left; otherwise, all coins show $T$ and stops. For example, if $n=3$ the process starting from the $THT$ configuration is $THT\to HHT\to HTT\to TTT$, which stops after three operations.

(a) Show that for each initial configuration, Harry stops after a finite number of operations.

(b) For each initial configuration $C$, be $L(C)$ the number of operations before Harry stops. For example, $L(THT)=3$ and $L(TTT)=0$. Determine the mean value of $L(C)$ over all possible initial configurations $2^n$.

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DI e PQ si incontrano su retta per A perp AI

Sia $I$ il centro del cerchio inscritto del triangolo acutangolo $ABC$ con $AB\ne AC$. Il cerchio inscritto $\omega$ di $ABC$ è tangente ai lati $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente in $D$, $E$ e $F$. La retta passante per $D$ perpendicolare ad $EF$ incontra nuovamente $\omega$ in $R$. La retta $AR$ incontra nuovamente $\omega$ in $P$. I circonferenze circoscritte ai triangoli $PCE$ e $PBF$ si incontrano nuovamente in $Q$.

Dimostrare che le rette $DI$ e $PQ$ si incontrano sulla retta passante per $A$ perpendicolare ad $AI$.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

DI and PQ meet on a straight line for A perp AI

Whether $I$ the center of the inscribed circle of the acutangol triangle $ABC$ with $AB\ne AC$. The circle inscribed $\omega$ of $ABC$ is tangent to the sides $BC$, $CA$ and $AB$ respectively in $D$, $E$ and $F$. The straight line passing through $D$ perpendicular to $EF$ meets $\omega$ again in $R$. The $AR$ line is again $\omega$ in $P$. The circumferences circumscribed to the $PCE$ and $PBF$ triangles meet again in $Q$.

Show that the lines $DI$ and $PQ$ meet on the straight line passing by $A$ perpendicular to $AI$.

src_imo_2019__Q06