IMO 2020 papers

Tre rette concorrenti in quadrilatero con rapporti angoli

Considera il quadrilatero convesso $ABCD$. Il punto $P$ è interno ad $ABCD$. Valgono le seguenti uguaglianze di rapporti: $\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC.$ Dimostra che le seguenti tre rette si incontrano in un punto: le bisettrici interne degli angoli $\angle ADP$ e $\angle PCB$ e la mediatrice del segmento $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Three competing squared lines with angular ratios

Consider the convex quadrilateral $ABCD$. The point $P$ is within $ABCD$. The following equations of proportions are valid: $\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC.$ It shows that the following three lines meet at a point: the inner intersections of the $\angle ADP$ and $\angle PCB$ angles and the mediator of the $AB$ segment.

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Disuguaglianza (a+2b+3c+4d)a^a b^b c^c d^d<1

I numeri reali $a,b,c,d$ sono tali che $a\ge b\ge c\ge d>0$ e $a+b+c+d=1$. Dimostra che $(a+2b+3c+4d)a^a{b}^b{c}^c{d}^d<1.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

This is the same as the previous one.

The real numbers $a,b,c,d$ are $a\ge b\ge c\ge d>0$ and $a+b+c+d=1$. Indicates that $(a+2b+3c+4d)a^a{b}^b{c}^c{d}^d<1.$

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4n sassi colorati in due mucchi bilanciati

Ci sono $4n$ sassi di pesi $1,2,3,\dots ,4n$. Ogni sasso è colorato in uno di $n$ colori e ci sono quattro sassi di ciascun colore. Mostra che possiamo disporre i sassi in due pile in modo che siano soddisfatte entrambe le seguenti condizioni:

• Il peso totale di entrambe le pile è uguale.
• Ogni pila contiene due sassi di ciascun colore.

Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

4n coloured rocks in two balanced heaps

There are $4n$ rocks of $1,2,3,\dots ,4n$ weight. Each stone is colored in one of $n$ colors and there are four stones of each color. It shows that we can arrange the rocks in two piles so that both of the following conditions are met:

• The total weight of both batteries is the same. - Each pile contains two stones of each color.

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Minimo k funivie con due stazioni collegate da entrambe

Sia $n>1$ un intero. Ci sono $n^2$ stazioni su un versante di una montagna, tutte a quote diverse. Ciascuna di due compagnie di funivie, $A$ e $B$, gestisce $k$ funivie; ogni funivia fornisce un trasferimento da una delle stazioni a una più alta (senza fermate intermedie). Le $k$ funivie di $A$ hanno $k$ punti di partenza diversi e $k$ punti di arrivo diversi, e una funivia che parte da una quota più alta arriva anche a una quota più alta. Le stesse condizioni valgono per $B$. Diciamo che due stazioni sono collegate da una compagnia se si può partire dalla stazione inferiore e raggiungere quella superiore usando uno o più mezzi di quella compagnia (non sono consentiti altri spostamenti tra stazioni).

Determina il più piccolo intero positivo $k$ per cui si può garantire che esistano due stazioni collegate da entrambe le compagnie.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita, Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

*Minimum k cableways with two stations connected by both *

It is $n>1$ a whole. There are $n^2$ stations on one side of a mountain, all at different heights. Each of the two cable car companies, $A$ and $B$, operates $k$ cable cars; each cable car provides a transfer from one of the stations to a higher one (without intermediate stops). The $k$ cableways of $A$ have different $k$ starting points and $k$ different arrival points, and a cableway that starts at a higher altitude also reaches a higher altitude. The same conditions apply to $B$. Let’s say that two stations are connected by a company if you can start from the lower station and reach the upper one using one or more means of that company (no other movements between stations are allowed).

It determines the smallest positive integer $k$ so that it can be guaranteed that there are two stations connected by both companies.

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n con media aritmetica=media geometrica forza uguali

È dato un mazzo di $n>1$ carte. Su ogni carta è scritto un numero intero positivo. Il mazzo ha la proprietà che la media aritmetica dei numeri su ogni coppia di carte è anche la media geometrica dei numeri su qualche collezione di una o più carte.

Per quali $n$ ne segue che i numeri sulle carte sono tutti uguali?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

n with arithmetic mean=geometric mean equal force

A deck of $n>1$ cards is given. On each card is written a positive integer. The deck has the property that the arithmetic mean of the numbers on each pair of cards is also the geometric mean of the numbers on some collection of one or more cards.

So what does it mean that the numbers on the cards are all the same?

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Retta separante con distanza >=c·n^(-1/3)

Dimostra che esiste una costante positiva $c$ tale che la seguente affermazione è vera:

Considera un intero $n>1$ e un insieme $S$ di $n$ punti nel piano tale che la distanza tra due punti distinti qualsiasi di $S$ è almeno $1$. Ne segue che esiste una retta $\ell$ che separa $S$ tale che la distanza da ogni punto di $S$ a $\ell$ è almeno $c{n}^{-1/3}$.

(Una retta $\ell$ separa un insieme di punti $S$ se qualche segmento che congiunge due punti di $S$ interseca $\ell$.)

Nota. Risultati più deboli con $c{n}^{-1/3}$ sostituito da $c{n}^{-\alpha }$ possono ricevere punti a seconda del valore della costante $\alpha >1/3$.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.2

*Separating straight with distance >= n^(-1/3) *

It shows that there is such a positive constant $c$ that the following statement is true:

Consider an integer $n>1$ and a set $S$ of $n$ points in the plane such that the distance between any two distinct points of $S$ is at least $1$. It follows that there is a $\ell$ line separating $S$ such that the distance from each point of $S$ to $\ell$ is at least $c{n}^{-1/3}$.

(A straight $\ell$ separates a set of points $S$ if any segment connecting two points of $S$ intersects $\ell$.)

Note. Weaker results with $c{n}^{-1/3}$ replaced by $c{n}^{-\alpha }$ may receive points depending on the value of the $\alpha >1/3$ constant.

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