IMO 2021 papers

Un mucchio contiene due carte con somma quadrato

Sia $n\ge 100$ un intero. Ivan scrive i numeri $n,n+1,\dots ,2n$ ciascuno su una cartolina diversa. Poi mescola queste $n+1$ cartoline e le divide in due pile. Dimostrare che almeno una delle due pile contiene due cartoline tali che la somma dei loro numeri è un quadrato perfetto.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: parita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

A pile contains two cards with a square sum

It is $n\ge 100$ a whole. Ivan writes the numbers $n,n+1,\dots ,2n$ each on a different card. Then he mixes these$n+1$cards and divides them into two piles. Demonstrate that at least one of the two stacks contains two cards such that the sum of their numbers is a perfect square.

src_imo_2021__Q01

Disuguaglianza somme radici |xi-xj|<=|xi+xj|

Dimostrare che la disuguaglianza ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le {\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$ vale per tutti i numeri reali $x_1,\dots ,x_n$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

This is the main reason why the European Parliament and the Council have voted in favour of this resolution.

Demonstrate that the inequality ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le {\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$ applies to all real numbers $x_1,\dots ,x_n$.

src_imo_2021__Q02

BC, EF, O1O2 concorrenti (punto interno D)

Sia $D$ un punto interno al triangolo acutangolo $ABC$ con $AB>AC$, tale che $\angle DAB=\angle CAD$. Il punto $E$ sul segmento $AC$ soddisfa $\angle ADE=\angle BCD$, il punto $F$ sul segmento $AB$ soddisfa $\angle FDA=\angle DBC$, e il punto $X$ sulla retta $AC$ soddisfa $CX=BX$. Siano $O_1$ e $O_2$ i circocentri dei triangoli $ADC$ ed $EXD$, rispettivamente. Dimostrare che le rette $BC$, $EF$ e $O_1{O}_2$ sono concorrenti.

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

*BC, EF, O1O2 competitors (internal point D) *

Whether $D$ is an inner point of the acute triangle $ABC$ with $AB>AC$, such that $\angle DAB=\angle CAD$. The $E$ point on the $AC$ segment satisfies $\angle ADE=\angle BCD$, the $F$ point on the $AB$ segment satisfies $\angle FDA=\angle DBC$, and the $X$ point on the $AC$ straight line satisfies $CX=BX$. The circus centers of the triangles $O_1$ and $O_2$ are $ADC$ and $EXD$, respectively. Demonstrate that $BC$, $EF$ and $O_1{O}_2$ are competitors.

src_imo_2021__Q03

Uguaglianza somme tangenti AD+DT+TX+XA=…

Sia $\Gamma$ un cerchio con centro $I$, e $ABCD$ un quadrilatero convesso tale che ciascuno dei segmenti $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$ è tangente a $\Gamma$. Sia $\Omega$ il cerchio circoscritto al triangolo $AIC$. Il prolungamento di $BA$ oltre $A$ incontra $\Omega$ in $X$, e il prolungamento di $BC$ oltre $C$ incontra $\Omega$ in $Z$. I prolungamenti di $AD$ e $CD$ oltre $D$ incontrano $\Omega$ rispettivamente in $Y$ e $T$. Dimostrare che $AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

This is the sum of the tangent equations AD+DT+TX+XA=…

Both $\Gamma$ a circle with a centre $I$, and $ABCD$ a convex quadrilateral such that each of the segments $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$ is tangent to $\Gamma$. If $\Omega$ the circle surrounding the $AIC$ triangle. The extension of $BA$ beyond $A$ is $\Omega$ in $X$, and the extension of $BC$ beyond $C$ is $\Omega$ in $Z$. The lengths of $AD$ and $CD$ beyond $D$ meet $\Omega$ in $Y$ and $T$ respectively. Show that $AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.$

src_imo_2021__Q04

Scoiattoli e noci, esiste k con a<k<b

Due scoiattoli, Folto e Saltarello, hanno raccolto 2021 noci per l’inverno. Saltarello numera le noci da 1 a 2021 e scava 2021 buchette in cerchio intorno al loro albero preferito. La mattina seguente Saltarello nota che Folto ha messo una noce in ogni buchetta, ma senza badare alla numerazione. Scontento, Saltarello decide di riordinare le noci eseguendo una sequenza di 2021 mosse. Alla $k$-esima mossa, Saltarello scambia le posizioni delle due noci adiacenti alla noce $k$.

Dimostrare che esiste un valore di $k$ tale che, alla $k$-esima mossa, Saltarello scambia due noci $a$ e $b$ con $a<k<b$.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita, monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Scoyotes and nuts, there is k with a< k< b

Two squirrels, Folto and Saltarello, have harvested 2021 nuts for the winter. Saltarello counts the nuts from 1 to 2021 and digs 2021 bushes in a circle around their favorite tree. The next morning Saltarello notices that Folto has put a nut in each bush, but without paying attention to the numbering. Unsatisfied, Saltarello decides to reorder the nuts by performing a sequence of 2021 moves. On the $k$-eighth move, Saltarello changes the positions of the two nuts adjacent to the $k$ nut.

Demonstrate that a value of $k$ exists such that, on the $k$-eighth move, Saltarello exchanges two nuts $a$ and $b$ for $a<k<b$.

src_imo_2021__Q05

A contiene almeno m/2 elementi (sottoinsiemi somma m^k)

Siano $m\ge 2$ un intero, $A$ un insieme finito di interi (non necessariamente positivi), e $B_1,B_2,B_3,\dots ,B_m$ sottoinsiemi di $A$. Si supponga che per ogni $k=1,2,\dots ,m$ la somma degli elementi di $B_k$ sia $m^k$. Dimostrare che $A$ contiene almeno $\frac{m}{2}$ elementi.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

*A contains at least m/2 elements (sub-sets of sum m^k) *

They are $m\ge 2$ an integer, $A$ a finite set of integers (not necessarily positive), and $B_1,B_2,B_3,\dots ,B_m$ subsets of $A$. For each $k=1,2,\dots ,m$ the sum of the elements of $B_k$ shall be $m^k$. Demonstrate that $A$ contains at least $\frac{m}{2}$ elements.

src_imo_2021__Q06