IMO 2023 papers

Composti n con di divide di+1+di+2

Determinare tutti gli interi composti $n>1$ che soddisfano la seguente proprietà: se $d_1,d_2,\dots ,d_k$ sono tutti i divisori positivi di $n$ con $1=d_1<d_2<\cdots <d_k=n$, allora $d_i$ divide $d_{i+1}+d_{i+2}$ per ogni $1\le i\le k-2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Compounds n with divisible by +1+di+2

Determine all $n>1$ integers that satisfy the following property: if $d_1,d_2,\dots ,d_k$ are all positive divisors of $n$ with $1=d_1<d_2<\cdots <d_k=n$, then $d_i$ divides $d_{i+1}+d_{i+2}$ by each $1\le i\le k-2$.

src_imo_2023__Q01

Tangente a omega in P incontra BS sul bisettore

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo con $AB<AC$. Sia $\Omega$ la circonferenza circoscritta di $ABC$. Sia $S$ il punto medio dell’arco $CB$ di $\Omega$ contenente $A$. La perpendicolare da $A$ a $BC$ incontra $BS$ in $D$ e incontra $\Omega$ di nuovo in $E\ne A$. La retta per $D$ parallela a $BC$ incontra la retta $BE$ in $L$. Sia $\omega$ la circonferenza circoscritta al triangolo $BDL$. Sia $P\ne B$ il secondo punto di intersezione di $\omega$ con $\Omega$.

Dimostrare che la tangente a $\omega$ in $P$ incontra la retta $BS$ sulla bisettrice interna di $\angle BAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Omega tangent in P meets BS on the visor

Whether $ABC$ is an acute triangle with $AB<AC$. Whether $\Omega$ the circumscribed circumference of $ABC$. Whether $S$ is the middle point of the $CB$ arc of $\Omega$ containing $A$. The perpendicular from $A$ to $BC$ meets $BS$ in $D$ and meets $\Omega$ again in $E\ne A$. The line for $D$ parallel to $BC$ meets the line $BE$ in $L$. Whether $\omega$ the circumference circumscribed at the $BDL$ triangle. Be $P\ne B$ the second intersection point of $\omega$ with $\Omega$.

Demonstrate that the tangent to $\omega$ in $P$ meets the line $BS$ on the inner beam of $\angle BAC$.

src_imo_2023__Q02

Successioni con P(an)=an+1…an+k polinomio monico

Per ogni intero $k\ge 2$, determinare tutte le successioni infinite di interi positivi $a_1,a_2,\dots$ per cui esiste un polinomio $P$ della forma $P(x)=x^k+c_{k-1}{x}^{k-1}+\cdots +c_{1}x+c_0,$ dove $c_0,c_1,\dots ,c_{k-1}$ sono interi non negativi, tale che $P(a_n)=a_{n+1}{a}_{n+2}\cdots a_{n+k}$ per ogni intero $n\ge 1$.

Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Successes with P(an) = an+1…an+k monic polynomial

For each integer $k\ge 2$, determine all the infinite sequences of positive integers $a_1,a_2,\dots$ for which there exists a $P$ polynomial of the form $P(x)=x^k+c_{k-1}{x}^{k-1}+\cdots +c_{1}x+c_0,$ where $c_0,c_1,\dots ,c_{k-1}$ are nonnegative integers, such that $P(a_n)=a_{n+1}{a}_{n+2}\cdots a_{n+k}$ for each integer $n\ge 1$.

src_imo_2023__Q03

Dimostrare a2023>=3034 (radici di somme e reciproci)

Siano $x_1,x_2,\dots ,x_{2023}$ numeri reali positivi a due a due distinti tali che $a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots +x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}\right)}$ sia un intero per ogni $n=1,2,\dots ,2023$. Dimostrare che $a_{2023}\ge 3034$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2

*Demonstrate a2023>=3034 (roots of sums and reciprocal) *

$x_1,x_2,\dots ,x_{2023}$ are real positive numbers with two to two distinct ones such that $a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots +x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}\right)}$ is an integer for each $n=1,2,\dots ,2023$. Show that $a_{2023}\ge 3034$.

src_imo_2023__Q04

Triangolo giapponese, max k cerchi rossi su ninja path

Sia $n$ un intero positivo. Un triangolo giapponese è composto da $1+2+\cdots +n$ cerchi disposti in forma triangolare equilatera, in modo che per ogni $i=1,2,\dots ,n$, la $i$-esima riga contenga esattamente $i$ cerchi, esattamente uno dei quali è colorato di rosso. Un percorso ninja in un triangolo giapponese è una sequenza di $n$ cerchi ottenuta partendo dalla riga in cima, poi scendendo ripetutamente da un cerchio a uno dei due cerchi immediatamente sotto di esso, e terminando nella riga inferiore.

In funzione di $n$, trovare il più grande intero $k$ tale che in ogni triangolo giapponese esiste un percorso ninja contenente almeno $k$ cerchi rossi.

Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Japanese triangle, max k red circles on ninja path

It should be a positive integer. A Japanese triangle is composed of $1+2+\cdots +n$ circles arranged in an equilateral triangular shape, so that for each $i=1,2,\dots ,n$, the $i$-eighth row contains exactly $i$ circles, exactly one of which is colored red. A ninja path in a Japanese triangle is a sequence of $n$ circles obtained starting from the top line, then descending repeatedly from a circle to one of the two circles immediately below it, and ending in the bottom line.

For $n$, find the largest integer $k$ such that in every Japanese triangle there is a ninja path containing at least $k$ red circles.

src_imo_2023__Q05

Tre circumcircle passano per due punti comuni

Sia $ABC$ un triangolo equilatero. Siano $A_1,B_1,C_1$ punti interni di $ABC$ tali che $B{A}_1=A_{1}C$, $C{B}_1=B_{1}A$, $A{C}_1=C_{1}B$, e $\angle B{A}_{1}C+\angle C{B}_{1}A+\angle A{C}_{1}B=480^{\circ }.$ Siano $B{C}_1$ e $C{B}_1$ che si incontrano in $A_2$, $C{A}_1$ e $A{C}_1$ che si incontrano in $B_2$, e $A{B}_1$ e $B{A}_1$ che si incontrano in $C_2$.

Dimostrare che se il triangolo $A_1{B}_1{C}_1$ è scaleno, allora le tre circonferenze circoscritte ai triangoli $A{A}_1{A}_2$, $B{B}_1{B}_2$ e $C{C}_1{C}_2$ passano tutte per due punti comuni.

(Nota: un triangolo scaleno è un triangolo in cui nessun lato ha la stessa lunghezza degli altri.)

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

Three circles pass through two common points

Whether $ABC$ is an equilateral triangle. They are $A_1,B_1,C_1$ internal points of $ABC$ such as $B{A}_1=A_{1}C$, $C{B}_1=B_{1}A$, $A{C}_1=C_{1}B$, and $\angle B{A}_{1}C+\angle C{B}_{1}A+\angle A{C}_{1}B=480^{\circ }.$ They are $B{C}_1$ and $C{B}_1$ meeting in $A_2$, $C{A}_1$ and $A{C}_1$ meeting in $B_2$, and $A{B}_1$ and $B{A}_1$ meeting in $C_2$.

Demonstrate that if the $A_1{B}_1{C}_1$ triangle is slender, then the three circumferences surrounding the $A{A}_1{A}_2$, $B{B}_1{B}_2$ and $C{C}_1{C}_2$ triangles all pass through two common points.

(Note: a scalene triangle is a triangle in which no side has the same length as the others.)

src_imo_2023__Q06